文档文本内容
重难点培优03 解三角形中三角形的面积、周长、边（角）
的最值与范围问题
目录（Ctrl 并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 面积的最值（范围）问题（★★★★★）....................................................................................4
题型二 周长的最值（范围）问题（★★★★★）....................................................................................5
题型三 与边有关的最值（范围）问题（★★★★★）............................................................................6
题型四 与角有关的最值（范围）问题（★★★★）................................................................................7
题型五 其他式子的最值（范围）问题（★★★★）................................................................................8
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................9
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................9
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................12
一、正余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)
，
，
；
(2)
，
，
；
；
；
.
2、面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
1、正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
2、
内角和定理：
①
②
；
③在
中，内角
成等差数列
.
【常用结论】
（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
.
三、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
①
②
ab≤( a+b
2
)2
(当且仅当
时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角
有关的三角函数。
①和差角公式：
，
②辅助角公式：asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)
（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
（6）解题思路步骤
①利用基本不等式：
，再利用
及
，求出
的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：
，结合辅助角公式及三角函
数求最值
四、解三角形中最值或范围问题常用处理思路
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
题型一 面积的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1、面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
2、解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用）
（1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之
间的关系.
（2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
（3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性
求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
1．（23-24 高三上·广东东莞·月考）在
中，角
所对的边分别为
，
，，已知
(1)求A；
(2)若
，求
面积的最大值．
2．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，满足
.
(1)求角
；
(2)若点D 在AB 上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC 面积的最小值.
3．（24-25 高三下·广东深圳·月考）记锐角
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
面积的取值范围.
4．已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若
为锐角
的内角，且
，求
面积的取值范围．
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
6．（24-25 高三上·福建福州·开学考试）已知
的三个内角
的对边分别为
，
．
(1)求a；
(2)若
，求
面积的取值范围．
题型二 周长的最值（范围）问题
1．（23-24 高三上·江苏盐城·月考）已知
的内角
的对边分别为
，
且
的面积为
(1)求
；
(2)求
周长的最小值.
2．（2024·四川南充·模拟预测）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长的最大值.
3．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求C 的大小;
(2)若
，且
，求
周长的最小值.
4．（2024·广西·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三
个正三角形的面积依次为
，
，
.已知
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
周长的最大值.
5．（2025·广东·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
.
(1)求A；
(2)若
，求
周长的取值范围.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
分别为锐角
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
；求
周长的取值范围.
7．（2025·湖南益阳·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
．
(1)若
，求A；
(2)若
是锐角三角形，求
周长的取值范围．
题型三 与边有关的最值（范围）问题
1．（23-24 高三上·北京大兴·期中）在
中，
，且满足该条件的
有两个，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·重庆·期末）在锐角
中，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，为
的面积，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．若
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、、，若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三下·河北沧州·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
的取值范围．
7．（24-25 高三下·江西·月考）在非等腰
中，角
的对边分别为
，已知
，
．
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围．
8．（24-25 高三上·湖北·期末）记锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求
(2)已知边
，求
的取值范围.
题型四 与角有关的最值（范围）问题
1．在
中，角
所对的边分别是
，若
，
边上的高为
，则角
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
的角
，
，
所对边
，
，，且满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知点
为
外接圆的圆心，角
所对的边分别为
，且
，若
，则当角
取到最大值时
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
的内角
满足
，则当角
取最大值时，角
的大小为 ．
6．在锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的取值范围
为 ．
7．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
的取值范围为 .
8．在
中，
、
、分别是
的三个内角
、
、
所对的边，已知
(1)求证：
、
、满足
；
(2)求角
的取值范围.
题型五 其他式子的最值（范围）问题
1．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，若
，
，则AC 边上的高的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·江苏无锡·月考）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
成等差数列，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
3．已知
的面积为，且
所对的边记为
，满足
，则
的最大值为
.
4．已知锐角
中，角
的对边分别为
，满足条件
，则
的取
值范围为 ．
5．（24-25 高三上·湖北·月考）在锐角三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，且
.
(1)求
的值；
(2)若点
，
分别在边
和
上，且
与
的面积之比为
，求
的最小值.
6．（2025·湖南·二模）已知在
中，a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边，且
，
，D 为
外一点.
(1)求角A；
(2)若A，B，C，D 四点共圆，求四边形
面积的最大值.
7．（2025·福建泉州·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积与周长的比值的最大值.
8．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，
，求
的面积；
(2)求
的最大值．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·河北张家口·月考）已知
是锐角三角形，角
所对的边分别为
为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南许昌·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中， 角A， B，C 所对的边分别为a， b， c，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·江苏南京·期中）已知
分别为
内角
的对边.若
，则
的最小值为 .
6．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，为
的面积，
，则
的取值范围为 ．
7．（24-25 高三上·江苏无锡·月考）在
中，内角
所对的边分别为
（
）.已知
，则
的最大值是 .
8．（24-25 高三下·江苏·开学考试）在
中，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，已知
，
，则
的内切圆半径r 的最大值为 .
9．（2025·山东德州·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，．已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的边的最大值．
10．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·月考）在锐角
中，角A，
，
的对边分别为a，b，c，S
为
的面积，且
.
(1)求
的值；
(2)已知
，求
的面积的最大值.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知
、
、分别为斜
中角
、
、
的对边，
．
(1)求
；
(2)已知
的面积为
，求
的最小值．
12．（23-24 高三上·黑龙江大兴安岭地·月考）已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求边长
和角A；
(2)求
的周长的取值范围.
13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知
的内角A、
、
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的取值范围．
14．（24-25 高三下·黑龙江·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
.
(1)求角C；
(2)若
，M 为
内一动点，且
，求
的最小值.
15．（24-25 高三上·山东德州·月考）从①
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在
中，
a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若 .
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围；
(3)若
为锐角三角形，
，求
面积的取值范围.
16．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形且
，求
面积的取值范围.
17．（24-25 高三上·江苏南京·期中）记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
，
且
.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的取值范围.
18．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角
的内角
的对边分别为
，且
成等差数列.
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
周长的取值范围.
19．（2025·江苏·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)若
，求
的周长；
(2)若
的内切圆、外接圆半径分别为
，求
的取值范围．
20．在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)若
，
，求；
(2)若
是锐角三角形
，求
的取值范围．
21．已知在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)当
时，求
的取值范围；
(3)当
时，求
的取值范围．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知在
中，点
在BC 上的射影
落在线段BC 上（不含端点），且满足
，则角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三下·重庆·竞赛）在
中，
的最小值为 .
4．（24-25 高三下·河北保定·开学考试）在
中，已知角
的对边分别为
的平分线
交
于点
，
的外接圆的半径分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)求
；
(3)若
，求
的取值范围.
5．（24-25 高三上·安徽·月考）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积
，内切圆的半径为
，求；
(3)若
的平分线交
于
，且
，求
的面积的最小值．
6．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
.
(1)求证：
；
(2)若
为锐角三角形，D 为AB 中点，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）求CD 的取值范围.
