第四章 三 角 形
4.7相似三角形的判定与性质
考点：1.平行线分线段成比例定理；2.相似三角形的判定与性质；
3.相似三角形的实际应用.
第1练 练速度
1.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C 都在横线上.若
线段 AB=3,则线段BC的长是 ( )
2 3
A. B.1 C. D.2
3 2
2.如图,正方形 CEFG 的顶点 G在正方形 ABCD 的边 CD 上,AF 与 DC 交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为 (
)
5 8
A.2 B.3 C. D.
2 3
3.如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是 2：5，若三角
板的面积是6cm²，则其投影的面积是 ( )
A.15cm2 B.30cm2
75
C.8❑√5cm2 D. cm2
2
4.两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 .
5.如图,AB∥CD,AD 与BC 相交于点O,且△AOB与△DOC的面积比是1:4,若AB=6,则CD的长为 .
6.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛
(竖直放置)AB经小孔 O 在屏幕(竖直放置)上成像 A'B'.设AB=36cm,A'B'=24 cm.小孔O到AB 的距离为 30
cm,则小孔 O 到 A'B'的距离为 cm.
学科网（北京）股份有限公司7.如图,点 E,F 分别在正方形ABCD的边 BC、CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
第2关练准确率
8. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点 O,点 E 为 OC 的中点,EF∥AB 交 BC 于点 F.若AB=4,则 EF
的长为
( )
1 4
A. B.1 C. D.2
2 3
9.如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，A、B、C、D 四个点均在格点上，AC与 BD 相交于点 E,连接
AB、CD,则△ABE 与△CDE的周长比为 ( )
A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1
10.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,则OG= ( )
125❑√5 125
A. B.
64 64
32❑√3
C.⁶⁴27 D.
27
11.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,点 E 是 BC 边上的动点,连接AE、DE,过点A 作AF⊥DE于点 F.设
DE=x,AF=y，则y与x之间的函数表达式为(不考虑自变量x的取值范围) ( )
学科网（北京）股份有限公司9 12
A.y= B.y=
x x
18 36
C.y= D.y=
x x
S 1 S
12. 如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,若 △ABD= ,则 △AOD= .
S 3 S
△BCD △BOC
13.如图,在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC 的顶点均在格点上，将△ABC 向右平移
1个单位长度得到△A'B'C'.
(1)△ABC 的面积为 ;
(2)阴影部分的面积为 .
14. 如图,在 △ABC 中, AC =2,AB=3,直线 CM∥AB,E 是 BC 上的动点(端点除外),射线 AE 交 CM 于点 D.在
射线 AE 上取一点 P,使得 AP = 2ED,作 PQ∥AB,交射线 AC 于点 Q.设 AQ=x,PQ=y.当 x=y 时,CD=
;在点 E 运动的过程中，y关于x 的函数表达式为 .
15.【数学眼光】
学校比邻一座大楼，如图①所示.九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得
到大楼的高度，小星选择把数学知识和物理知识相结合，利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图
②所示.
【问题提出】
问题一:现测量得到BC=a,CE=b,DE=c.问:大楼AB的高度为多少?(用a、b、c表示)
【数学思维】
在进一步观察大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼
底部到平面镜的距离，如图③所示.在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测
学科网（北京）股份有限公司量平面镜到大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如
图④所示.
问题二:小星测量得到 EG= 16.8 m,DF=1.6m,GN=1.8 m,DE=1.45 m,请你求出大楼AB的高度.
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现该大楼高度为81 m，请你尝试着分析出现这样误差的
原因.
第35练思维宽度
16.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是△ABC 的一条角平分线,E 为 AD中点,连接 BE.若 BE = BC, CD =
2, 则BD= .
17.(1)【观察发现】如图①,在△ABC中,点 D 在边 BC 上.若∠BAD=∠C,则 AB2=BD⋅BC,，请证明.
(2)【灵活运用】如图②,在 △ABC 中,∠BAC= 60°,点 D 为边 BC 的中点, CA =CD= 2, 点 E 在 AB
上,连接 AD、DE.若∠AED=∠CAD,求 BE的长.
(3)【拓展延伸】如图③,在菱形 ABCD中,AB =5,点 E、F 分别在边 AD、CD 上,∠ABC=2∠EBF,延长AD、
BF 相交于点 G.若BE=4,DG=6,求 FG的长.
学科网（北京）股份有限公司4.7相似三角形的判定与性质
1. C 2. B 3. D 4.1:2 5.12 6.20
7.∵ BE=3,EC=6,∴ BC=9.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ,∴ AB=CB=9,
AB 9 3 BE 3 AB BE
∠B=∠C=90∘.∵ = = , = ,∴ = .又
EC 6 2 CF 2 EC CF
∵∠B=∠C=90°,∴△ABE∽△ECF.
8. B 9. D 10. C 11. C
1 9 3
12. 13.(1)5 (2) 14.2 y= x²=2x
9 5 8
15. 问 题 一 : 由 反 射 特 点 可 知 ∠ ACB=∠ DCE, 又 ∵ ∠ ABC=∠ DEC=
AB BC AB
90∘,∴△ABC△DEC,∴ = ∵BC=a,CE=b,DE=c,∴ =
DE EC c
a ac
,∴AB= .
b b
问题二:由反射特点可知∠AEB = ∠FED,∠AGB = ∠MGN,∵∠ABC=∠FDE =∠MNG =
90°,∴ △ AEB ∽ △ FED,△ AGB∽
AB EB AB GB EB GB
△MGN,∴ = , = ·∵FD=MN,∴ = ∵EG=16.8mDF=1.
FD ED MN GN ED GN
AB 69.6
6m,GN=1.8 m,,DE=1.45m,∴ EB/₄ ₅ =BB+18.⁸ , 解 得 EB= 69.6m,∴ = ,解 得
1.6 1.45
AB=76.8m.
问题三：(1)理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到
∠AEB=∠FED 和∠AGB=∠MGN,但在实际操作中有误差；(2)实际中测量两点之间的距离
也存在误差.(合理即可)
❑√17+1
16. 解析:如图,连接CE,过E 作 EF⊥CD 于 F,设 BD=x,EF=m,
2
∵∠ACB = 90°, E 为 AD 中点,
1
∴ CE=AE=DE. 又 CD=2,∴ CF = DF= CD=1,∠EAC=∠ECA,
2
∠ ECD = ∠ EDC, ∴ ∠ CED =2∠ CAE,AC=2EF=2m.∵
BE=BC,∴ ∠ BEC=∠ ECB, 则 ∠ BEC=∠ EDC. 又
∠ BCE=∠ ECD,∴ △ CBE∽ △ CED,∴ CE/CBCE,∠ CBE=∠ CED=2∠ CAE,∴
CE²=CD·CB=2(2+x)=4+2x,则 AD 是△ABC的一条角
m2=EF2=CE2−CF2=3+2x.⋅
平 分 线 ,∴ ∠ CAB=2∠ CAE=∠ CBE. 又 ∠ ACB=∠ BFE=90°,
AC BC 2m x+2
∴△CAB△FBE,∴ = ,∴ = ,则 2m2=(x+1)⋅
BF EF x+1 m
❑√17+1
(x+2),∴2(3+2x)=(x+1)(x+2),即 x2−x−4=0,解得 x= (负值已舍去)，故答
2
学科网（北京）股份有限公司❑√17+1
案为 .
2
17.(1)∵∠BAD=∠C,∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA,∴ABC=BDAB, ∴AB2=BD⋅BC.
(2)过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,过点 D 作 DG⊥AB 于点 G,如图①所示,则
∠ AFC=∠ AGD=90°,∴ CF∥ DG.∵ ∠ BAC=60°,∴ CF=AC×
❑√3 1
sin60∘=2× =❑√3,AF=AC×cos60∘=2× =1.⋅∵ D 为 BC 的 中 点 ,
2 2
1 DG BG
∴BD=CD= BC=2.∵CF‖DG,∴△BDG△BCF,∴ = =
2 CF BF
BD 1 1 ❑√3
= ,∴DG= CF= ,∴BG=❑√BD2−DG2=
BC 2 2 2
❑
√
22−
(❑√3) 2
=
❑√13
,∴BF=2BG=❑√13,∴AB=AF+BF=1+ ❑√13
2 2
.∵ AC=CD,∴ ∠ CAD=∠ CDA.∵ ∠ AED=∠ CAD,∴ ∠ AED=∠ CDA,∴ ∠ AED+∠ BED
=∠ADC+∠ADB = 180°,∴ ∠BED =∠ADB.∵∠DBE=∠ABD,∴ △BDE∽△BAD,.
BE BD BE 2 ❑√13−1
∴ = ,即 = ,解得 BE= .
BD AB 2 1+❑√13 3
1
(3) 连 接 BD, 如 图 ② 所 示 ,∵ 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ,∴ ∠ ABD=∠ CBD=
2
∠ ABC,AD=AB=BC=5,AD∥ BC.∵ ∠ ABC=2∠ EBF,∴ ∠ ABD=∠ CBD=∠ EBF,∴ ∠ EBF-
∠ DBF=∠ CBD-∠ DBF, 即 ∠ DBE=∠ CBF.∵ AD∥ BC,∴ ∠ CBF =∠ G,∴ ∠ DBE
=∠ G.∵ ∠ DEB=∠ BEG,∴ △ BED∽ △ GEB,∴ DE=BEC∵ DG=6,∴ EG=
DE 4
DE+6,∴ = ,解 得 DE=2( 负 值 舍 去 ),∴ EG=2+6=8,
4 DE+6
E 为 直 角 三 角
.AE=AD−DE=3.∵AE2+BE2=32+42=52=AB2,∴△ABE
形 ,∠ AEB=90°,∴ ∠ BEG=180°-90°=90°. 在 Rt△ BEG 中 , 根 据 勾 股 定 理 得
4 -FG.∵ AD∥ BC,∴
BG=❑√BE2+EG2=❑√42+82=4❑√5,∴BF=BG−FG= ❑√5
FG 6 24❑√5
△DFG∽△CFB,∴FCF=DC,即 = ,解得 FG= .
4❑√5−FG 5 11
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