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重难点培优12 导数中的不等式证明问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 常规构造差函数型（★★★★★）................................................................................................4
题型二 同构构造函数型（★★★★★）....................................................................................................5
题型三 换元后构造函数型（★★★★★）................................................................................................6
题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）（★★★★）..............................................................7
题型五 利用隐零点（★★★★★）............................................................................................................8
题型六 利用凹凸反转（★★★★）............................................................................................................9
题型七 含多变量型（★★★★）................................................................................................................9
题型八 导数结合三角函数（★★★★）..................................................................................................10
题型九 导数结合数列（★★★★★）......................................................................................................11
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................13
检测
组 重难知识巩固
Ⅰ
..............................................................................................................................13
检测
组 创新能力提升
Ⅱ
..............................................................................................................................15
一、导数证明不等式，核心思维如下：
1、构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立.
2、构造函数常见思路
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函
数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x
（x＞0），当且仅当x＝1 时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x R
∈），当且仅当x＝0 时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1
＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造形似函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为
“
”
左、右两边是相同结构的式子的形式，根据相同结构构造辅助函数；
“
”
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都
不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处
f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x 的值．
”
（5）同构构造函数
①积型
对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
②商型
对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
③和差型
对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
比如
令
，得
．
3、利用函数不等式来放缩.涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维
（1）先放缩再求和证明；
（2）先求和再放缩证明.
4、切线放缩放缩的结构
（1）指数函数的切线不等式
①
；②
．
（2）对数函数的切线不等式
①
；②
；③
．
（3）三角函数的切线不等式
当
①
时，
；当
时，
；
当
②
时，
；当
时，
．
切线与割线相结合的形式：当
③
时，
．
5、基于泰勒展开的结构
（1）常见函数的泰勒展开式
①
，其中
；
②
，其中
；
③
，其中
；
④
，其中
；
⑤
；
⑥
；
⑦
；
⑧
．
（2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式
①
，
，
，
②
，
，
，
③
，
，
．
二、证明不等式的一般思维和基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数
；
（3）利用导数研究
的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
三、不等式证明的借式子思维：
“
”
首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方
向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配.其次，还需要联想要证的不
等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系.
题型
一
构
数型
常规
造差函
【技巧通法·提分快招】
证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－
g(x)；
1．证明不等式：
(1)
，
；
(2)
．
2．（23-24 高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求证：
．
3．（2025·山东聊城·三模）已知函数
．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
时，（i）求
的最小值；（ii）证明：
．
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的最小值；
(3)求证：
.
题型二
构构
数型
同
造函
【技巧通法·提分快招】
1、对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
2、对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
不等式两边同时取对数变形：
令
，得
3、对数化:
令
，得
指数化:
令
，得
1．已知函数
，
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立.
2．已知函数
，
，
，
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
的最大值为1，证明：对任意的
，
；
(3)当
时，若
恒成立，求实数
的取值范围．
3．（24-25 高三下·河南·月考）已知函数
的图象在
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，证明：
.
4．（24-25 高三下·黑龙江·月考）已知函数
，
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间和极值；
(3)若
，函数
，证明：当
，
.
5．已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两根，求a 的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
题型三
构
数型
换元后
造函
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线的倾斜角；
(2)若
是函数
的极值点，
（i）求实数
的值；
（ii）设函数
．证明：
．
2．（24-25 高三下·广东江门·月考）已知函数
，
，设
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)若
有两个不同的零点
，求证：
.
3．已知函数
．
(1)若
，判断
的单调性；
(2)已知
有两个零点
，
，（
）
证明：
①
；
证明：
②
题型四
法 （
）
利用放缩
含切线放缩、泰勒展开
【技巧通法·提分快招】
1、常见不等式（大题使用需要证明）
①
，
，
，
②
，
；
；
③
；
；
④
；
⑤
；
⑥
；
；
，
1．（24-25 高三下·湖南·月考）已知函数
．
(1)判断
在区间
的单调性；
(2)求
的最小值；
(3)证明：当
时，
．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，
为
的导函数.
(1)若函数
的图象与
的图象的交点的横坐标
，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
3．函数
，
，其中
为常数，当
时，证明：
．
4．证明不等式：
．
5．给出以下三个材料：
若函数
①
可导，我们通常把导函数
的导数叫做
的二阶导数，记作
．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三阶导数的导数叫做四阶导数
一般地
……
，
阶导数的导数叫做
阶导数，记作
．
若
②
，定义
．
若函数
③
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，那么对
于任一
有
，
我们将
称为函数
在点
处的
阶泰勒展开式．例如，
在点
处的
阶泰勒展开式为
．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰
勒展开式
；
（2）比较（1）中
与
的大小．
（3）已知
不小于其在点
处的阶泰勒展开式，证明：
．
题型五
点
利用隐零
1．（24-25 高三上·云南丽江·月考）设函数
其中
(1)若曲线
在点
处切线的倾斜角为
，求
的值;
(2)已知导函数
在区间
上存在零点，证明:当
时，
.
2．已知函数
，
.
(1)求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
且
时，求证
.
3．（24-25 高三下·天津河北·月考）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若对任意
不等式
恒成立，求a 的取值范围.
(3)证明不等式：
题型六
利用凹凸反转
【技巧通法·提分快招】
1、凸凹反转：欲证明f ( x)>0 ，若可将不等式左端f ( x)拆成g( x)>h( x)，且gmin( x)>hmax( x)的话，
就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取g( x)为上凸型函数，h( x)为下凹型函数来完成证明.
x
y
y=h(x)
y=g(x)
O
2、利用端点效应解决问题的一般步骤可分为以下几步
“
”
①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条
件
②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至
得到使不等式恒成立的充要条件
1．已知
，
，
，求证：
．
2．已知函数
，
．
(1)若函数
的最小值与
的最小值之和为
，求
的值．
(2)若
，
，证明：
．
题型七
型
含多变量
1．（23-24 高三下·河南·月考）已知函数
．
(1)若
对
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
时，若关于
的方程
有三个不相等的实数根
，
，
，且
，
求
的取值范围，并证明：
．
2．（2025·河北石家庄·三模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在定义域内有三个零点a，b，c（
）．
（
）求实数
ⅰ
m 的取值范围；
（
）求证：
ⅱ
．
3．已知函数
有三个极值点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
．
4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数
，
(1)若
与
的图象恰好相切，求实数
的值；
(2)
时，证明：当
时，
(3)若
有三个零点
，
，
，且
．
（
）求实数
ⅰ
的取值范围；
（
）求证：
ⅱ
．
题型八 导数
数
结合三角函
【技巧通法·提分快招】
对于含有三角函数型不等式证明：
1、证明思路和普通不等式一样。
2、充分利用正余弦的有界性
3、三角函数与函数的重要放缩公式：
.
1．（2025·湖南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
恒成立，求
的值；
(3)求证：
.
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
在其定义域上单调，求
的取值范围；
(2)若
．
（
）证明：
ⅰ
；
（ii）若
，求
的取值范围．
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
．
(1)判断
的单调性；
(2)若函数
图象在
处切线斜率为
，求
；
(3)求证：
．
4．（2025·湖南长沙·三模）若存在正实数
，对任意
，使得
，则称函数
在
上是一个
“
函数”.
(1)已知函数
在区间
上是一个
“
函数，求
”
；
(2)证明: 函数
在区间
上是一个
“
函数”;
(3)证明:
.
题型九 导数
数
结合
列
【技巧通法·提分快招】
1、证明不等式
，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通
过变形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设
，
则只需证
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关
系，即如果能够证出
恒成立，则原不等式也就成立.
2、累加列项相消证明法
证明不等式
为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过
变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型
这样一来，设
，
则只需证
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，
即如果能够证出
恒成立，则原不等式也就成立.
1．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
，
；
(3)设
，证明：
．
2．（24-25 高三下·广东佛山·月考）已知函数
(1)当
时，求
的最大值；
(2)设
，讨论
的单调性；
(3)证明：对于任意的正整数
，都有
．
3．已知函数
，
.
(1)设函数
；
（i）讨论函数
的单调性；
（ii）若函数
无极值，求实数
的取值范围；
(2)记
数列的前
项和为
，证明：
.
检测
重难知识
固
Ⅰ组
巩
1．求证：
(1)
（
）；
(2)
；
(3)
（
）．
2．（2025·四川·三模）已知函数
．
(1)若
，试判断函数
在区间
内的极值点个数，并说明理由；
(2)当
，
时，求证：
．（参考数据：
）
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，求证：对任意的
，
恒成立；
4．（24-25 高三下·湖北·月考）已知
.
(1)若
在
上单调递增，求a 的取值范围；
(2)若
的图像在
处的切线为
，求a 与b 的值，并证明
时，
.
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：当
时，
．
6．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
，
．
8．已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
且
时，求证
．
9．已知函数
，m，
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)当
时，讨论
的单调性；
(3)当
时，证明：
，
．
10．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
切线斜率的最小值；
(2)若
有两个不同的极值点
，
．
（i）求a 的取值范围；
（ii）求证：
．
11．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
；
(3)若
对于
恒成立，求a 的取值范围．
12．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)解方程
，其中e 为自然对数的底（
）；
…
(3)若a，b 为均大于1 的不等实数，满足
，求证：
．
13．（2025·河南·三模）已知函数
，设
的图象在
处的切线为l：
．
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
有三个零点
，
，
（
）．
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明：
．
14．已知函数
，数列
满足
正整数
(1)求
的最大值；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数
是
的一个极值点.
(1)求实数
的值.
(2)判断函数
在
上的零点个数，并加以证明.
(3)证明:
. 其中
检测
能力提
Ⅱ组
创新
升
1．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，且
与
有相同的最小值．
（i）求a 的值；
（ii）已知
，
，且
，求证：
．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
有三个极值点
，其中
.
(1)求
的取值范围；
(2)求证：
；
(3)求证：
.
3．（2025·上海松江·二模）已知
.
(1)若
是函数
的一个极值点，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)已知实数
，若点
是曲线
上两点，直线AB 的斜率为
，求证：
.
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数
，且
.
(1)求
;
(2)已知
为函数
的导函数，证明：对任意的
，均有
；
(3)证明：对任意的
，均有
.
5．英国数学家泰勒是18 世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学
分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：
函数
的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：
，
，
为佩亚
诺余项，在解决问题时可以忽略不计．
(1)若
，利用泰勒展开式证明：
；
(2)当
时，证明：
；
(3)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
6．已知函数
．
(1)若函数
在
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)若
存在三个极值点
，
，
，且
，求证
．
