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第1 讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形
一．选择题（共8 小题）
1．已知椭圆
的焦点为
，
，过点
的直线与椭圆
交于
，
两点．若
，
，则
的方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
又
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
在
轴上．
在
△
中，
，
在△
中，由余弦定理可得
，
根据
，可得
，解得
，
．
．
所以椭圆
的方程为：
．
故选：
．
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2．若椭圆
和双曲线
有相同的焦点
，
，
是
两条曲线的一个交点，则
的值是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
在第一象限，
，
，
由椭圆的定义可得
，
由双曲线的定义可得
，
解得
，
，
则
，
故选：
．
3．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，
是双曲线右支上一
点，
，△
的面积为
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
是双曲线右支上一点，所以
，
在△
中，由余弦定理有
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
所以离心率
，
故选：
．
4．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，以
为直径的圆
与此双曲线在第一象限内的交点为
，且
，则此双曲线的离心率是
A．
B．2
C．4
D．5
【解答】解：由题意可得：
，
，
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解得
，
，
又
，
代入化简可得
，
，
所以
，解得
．
故选：
．
5．在平面直角坐标系
中，双曲线的
右支与焦点为
的抛物线
交于
，
两点，若
，则该双曲线的渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：把
代入双曲线
，
可得：
，
，
，
，
，
．
该双曲线的渐近线方程为：
．
故选：
．
6．已知双曲线
的右支与焦点为
的抛物线
交
于
，
两点，若
，则双曲线
的渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：把
代入双曲线双曲线
，可得：
4
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，
．
，
．
，
，
则双曲线
的渐近线方程为
，
故选：
．
7．将两个顶点在抛物线
上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记
为
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
的焦点
，
等边三角形的一个顶点位于抛物线
的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则
等边三角形关于
轴轴对称
两个边的斜率
，其方程为：
，
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．
故
，
故选：
．
8．在平面直角坐标系
中，双曲线
的右支与焦点为
的抛物
线
交于
，
两点，已知双曲线
的一条渐近线方程为
，且
，则实数
的值为
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：由题意可知
，
联立方程组
，消去
可得：
，
设
，
，
，
，则
，
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，
又
，
，
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
9．过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
，
两点，
为
的中点，则
A．以线段
为直径的圆与
轴相切
B．当
时，
C．以线段
为直径的圆与直线
相离
D．
的最小值为3
【解答】解：当直线
的斜率不存在时，以线段
为直径的圆与
轴相切；
当直线
的斜率存在且不为0，可设直线
的方程为
，联立
，可得
，
设
，
，
，
，
可得
，
，设
，
，
可得
的横坐标为
，
的中点的横坐标为
，
，
当
时，
的中点的横坐标为
，
，得以线段
为直径的圆与
轴
相交，故
错；
以
为极点，
轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为
，
设
，
，
，
，可得
，
，
可得
，又
，可得
，
，
则
，故
正确；
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的焦点
，准线方程为
，
设
，
，
在准线上的射影为
，
，
，
由
，
，
，
可得线段
为直径的圆与准线相切，与直线
轴相交，故
正确；
当直线
垂直于
轴，可得
为通径，取得最小值4，故
错误．
故选：
．
10．已知抛物线
，过焦点
的直线交抛物线
于
，
，
，
两点，
直线
，
分别于直线
相交于
，
两点．则下列说法正确的是
A．焦点
的坐标为
B．
C．
的最小值为4
D．
与
的面积之比为定值
【解答】解：抛物线的方程整理可得：
，所以焦点
，所以
不正确；
由椭圆的焦点在
轴可得，直线
的斜率一点存在，设直线
的方程为：
，
联立
，整理可得：
，所以
，所以
，故
正确；
所以△
，
，
当
轴时
最小，这时直线
的方程为
，代入抛物线的方程可得，
，所以
，所以
最小值为4；所以
正确；
由题意可得直线
，
的方程分别为：
，
，与
的交点分别为
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，
，
，
，
所以
；
到直线
的距离
，弦长
，
所以
，
所以
，
所以
与
的面积之比为定值，故
正确；
故选：
．
三．填空题（共7 小题）
11．已知椭圆
的两个焦点为
，
，过
的直线与椭圆
交于
、
两点，
若
，
，则
的方程为
．
【解答】解：由题意可得
，设：
，由
可得
，
由椭圆的定义可得
，
，
，
又因为
，所以在△
中，
，即
，①
在
中，
，即
，整理可得
，②
将②代入①中可得
，所以
，
所以椭圆的方程为：
；
故答案为：
．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上一点，且
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满足
为坐标原点）．若
，则椭圆的离心率为
．
【解答】解：取
的中点
，连接
，
所以可得
，
又因为
，所以
，
即
，而
为
的中点，所以
，
可得
，
因为
，而
，所以可得：
，
，
在
△
中，由勾股定理可得
，
即
，
可得
，
所以
，
故答案为：
．
13．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过
的通径
（过焦点垂直于
长轴的弦叫做通径），则
的内切圆方程为
．
【解答】解：设
内切圆的半径为
，
椭圆
，
其中
，
，
，则
，
与
轴垂直，
则有
，
，
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解得：
，
，
的周长
，
其面积
，
由内切圆的性质可知，有
，解得
．
圆心横坐标为
，即圆心坐标为
，
，
则
的内切圆方程是
，
故答案为：
．
14．过抛物线
的焦点作斜率为1 的直线与该抛物线交于
，
两点，
，
在
轴上的正射影分别为
，
．若梯形
的面积为
，则
2
．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为
，则过焦点斜率为1 的直线方程为
，
设
，
，
，
，由题意可知
，
由
，消去
得
，
由韦达定理得，
，
所
以
梯
形
的
面
积
为
：
所以
，又
，所以
故答案为2．
15．过抛物线
的焦点作斜率为
的直线与该抛物线交于
，
两点，
，
在
轴上的正射影分别为
，
，若梯形
的面积为
，则
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．
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【解答】解：抛物线方程为
，设
，
点坐标分别为
，
，，
，
，
焦点
坐标为
，
，
直线
的方程为
，
代入抛物线方程得
，
，
，
，
则梯形
的面积为
，
．
故答案为：3
16．过抛物线
的焦点作斜率为1 的直线与该抛物线交于
，
两点，又过
，
两点作
轴的垂线，垂足分别为
，
，若梯形
的面积为
，则
【解答】解：抛物线的焦点坐标为
，则过焦点斜率为1 的直线方程为
，
设
，
，
，
，由题意可知
，
．
由
，消去
得
，
由韦达定理得，
，
梯形
的面积为：
，
又
，
．
故答案为
．
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17．在平面直角坐标系
中，双曲线
．
的右支与焦点为
的抛物
线
交于
，
两点，已知双曲线的离心率为
，若
．则
4
．
【解答】解：双曲线的离心率为
，即为
，
即有
，即
，
设
，
，
，
，
抛物线
的焦点
，准线为
，
可得
，
联立抛物线方程
和双曲线方程
可得：
，即
，
可得
，
即有
，即
．
故答案为：4．
四．解答题（共1 小题）
18．已知椭圆
过点
，
，椭圆
与
轴交于
，
两点，与
轴交于
，
两点．
（1）求四边形
的面积；
（2）若四边形
的内切圆
的半径为
，点
，
在椭圆
上，直线
斜率存在，
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且与圆
相切，切点为
，求证：
．
【解答】解：（1）依题意，
，解得
，
，
所以椭圆的方程为
．
故四边形
的面积
．
（2）证明：要证
，只需证
，
因为直线
的方程为
，即
，
所以原点
到直线
的距离
，
所以
，
设直线
方程为：
，
，
，
，
，
则
，所以
；①
由
，得
当△
，
，
，
所以
，
由①得
，所以
．
