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专题04 不等式及基本不等式
备战2026 年高考数学命题背景探究（全国通用）
目录
真题命题背景19 以一元二次不等式为命题背景...........................................................................1
真题命题背景20 以分式不等式为命题背景...................................................................................2
真题命题背景21 以根式不等式为命题背景...................................................................................3
真题命题背景22 以三次不等式为命题背景...................................................................................3
真题命题背景23 以单绝对值不等式为命题背景...........................................................................3
真题命题背景24 以基本不等式为命题背景...................................................................................4
基础过关练.....................................................................................................................7
提升巩固练...................................................................................................................11
培优压轴练...................................................................................................................16
真题命题背景19 以一元二次不等式为命题背景
判别式Δ=b
2−4 ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y =a x
2+bx +c (a>0)
的图象
一元二次方程
a x
2+bx +c =0(a>0)
的根
有两个相异实根x1
，x2（x1< x2）
有两个相等实根
x1= x2=−b
2a
没有实根
一元二次不等式
a x
2+bx +c>0(a>0)
的解集
¿或x > x2}
{x| x≠−b
2a}
R
一元二次不等式
a x
2+bx +c<0(a>0)
{x| x1< x< x2}
∅
∅
1
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的解集
真题练1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
真题命题背景20 以分式不等式为命题背景
①
②
③
④
真题练1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】
即为
即
，故
，
故解集为
.
故选：C.
2
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真题命题背景21 以根式不等式为命题背景
真题练1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后可求
.
【详解】
，故
，
故选：D
真题命题背景22 以三次不等式为命题背景
真题练1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
真题命题背景23 以单绝对值不等式为命题背景
3
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真题练1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合
后可求
.
【详解】[方法一]：直接法
因为
，故
，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合
，可得
，不满足，排除A、D；
代入集合
，可得
，不满足，排除C.
故选：B.
真题命题背景24 以基本不等式为命题背景
1.
，
，
（积定和最小）
2.
，
，
（和定积最大）
3.
，
，
4. 推广公式：
真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断
选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出
不符合题意，
符合题意．
4
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【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
真题练2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ ）
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到
，借助基本不等式
即
可得到答案．
【详解】由题，
，则
，
所以
（当且仅当
时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
真题练3．（2022·全国甲卷·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
，再利用基本不等式，换底公式
可得
，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
5
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由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
真题练4．（2020·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据
，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
6
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对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
真题练5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为
（
R），由
可变形为，
，
解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B
正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
一、单选题
7
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1．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合
，
，则
的元素个数为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】化简集合
，根据集合交集运算求解
，可判断
的元素个数.
【详解】因为集合
，
集合
，
所以
，
所以
的元素个数为5.
故选：C
2．（2025·广西·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解得集合A，再由集合的交集的定义可得.
【详解】由
，解得
或
，
所以
或
，
因为
，所以
.如图：
故选：B.
3．（2025·宁夏吴忠·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解不等式求出集合
，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】由题意知
，解得
，所以
.
故选：B
4．（2025·湖南长沙·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先解不等式得出集合，再根据交集定义计算求解.
8
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【详解】集合
，
，
则
.
故选：D.
5．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【详解】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合
、
，再按照集合的并集运算即可．
【分析】在集合
中，因为
，所以
，
则
，解得
，所以
，
因为
，故
.
故选：B．
6．（2025·全国·模拟预测）设集合
{
是小于10 的自然数}，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式可化简B，C，然后由交集，并集定义可得答案.
【详解】
,则
；
，则
.
则
，则
.
故选：C
7．（2025·四川广元·模拟预测）对于任意
，
都有意义，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可.
9
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【详解】易知
恒成立，
显然当
时，符合题意；
当
时，要满足题意需
，即
，
综上
.
故选：C
8．（2025·安徽合肥·三模）已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.
【详解】由题意得
，
当且仅当
时，即
时，
取得最小值9．
故选：D.
9．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
【答案】C
【分析】由
可得
，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由
，则
，即
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是
.
故选：C.
10．（2025·山东临沂·二模）已知
为正项等差数列，若
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
10
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【答案】C
【分析】由题意求得
，
，进一步将所求转换为关于
的二次式子即可求解.
【详解】
，解得
，
由于
为正项等差数列，则
，解得
，
，等号成立当且仅当
，
所以
的最大值为8.
故选：C.
一、单选题
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解一元二次不等式求解集合
，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
.
故选：C.
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集
，集合
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】化简集合
，再利用集合的包含关系列式求解.
【详解】依题意，
，
，
或
，
由
，得
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
故选：B
3．（2025·广东梅州·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】将已知等式变形为
，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得.
【详解】由
得
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为8.
故选：D
4．（2025·山西·三模）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．7
【答案】D
【分析】对于
，利用以值代参，求解基本不等式.
【详解】
，
当且仅当
,即
取等号．
故选：D．
12
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5．（2025·全国·模拟预测）已知x，y 为正数，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由x，y 均为正数，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
的最小值为
.
故选：D.
6．（2025·湖北黄冈·一模）已知
为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】由题可得
，然后由基本不等式可得答案.
【详解】
.
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B
7．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数
，
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】C
【分析】由
结合对数的运算性质可得
，利用基本不等式1 的代换即可求得最小值.
【详解】由题意可知：
的定义域为
，
令
，解得
；令
，解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
当
时，
，故
，所以
，
所以
；
13
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故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
故选：C.
8．（2025·河南许昌·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出
，再将
转化，借助基本不
等式求最小值.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
所以
.又因为
，
所以
，
所以
，即
.所以
，
，
显然
必为正，否则
和
都为负，就两个钝角，
所以
，
当且仅当
，即
，
取等号，
所以
的最小值是
，
故选：C.
二、多选题
9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
14
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C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式进行求解.
【详解】因为正实数
满足
，
对A 选项：
，当且仅当
时等号成立，故A 正确；
对B 选项：
，
，当
时等号成立，
故B 错误；
对C 选项：由
，则
，当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对D 选项：
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确.
故选：ACD.
10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出
的范围，即可判断；对于
C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得
的范围即
可判断.
【详解】对于A，因
，则
，即得
，当且仅当
时，等号成立，
故A 正确；
对于B ，因
，由
可得
，故
在
时取得最小值
，
，故B 错误；
对于C，由
，当且仅当
时，等号成立，
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故C 正确；
对于D，因
，由
，当且仅当
时等号成立，由上分析
，故有
，即D 正确.
故选：ACD.
一、单选题
1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】对
进行变形，结合
，运用基本不等式计算即可.
【详解】
,
由于
，
当且仅当
，即
取等号.
则
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对
进行变形，然后结合
进行配凑放缩，即
可求出最值.
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记
表示实数a，b 中的较大的数，已知x，y，z 均为正数，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
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【答案】C
【分析】本题分两种情况讨论，当
和
时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值.
【详解】设
，
当
时，
，
因为
均为正数，所以
，
当且仅当
，
，
时，等式成立；
当
时，
，
当且仅当
，
，
时，等式成立.
综上可知，t 的最小值为
.
故选：C.
二、多选题
3．（23-24 高三上·山东青岛·期末）若实数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A 项，只需将
通过基本不等式放大为
，解不等式即得；对于B 项，只需将
通
过基本不等式缩小为
，解不等式即得；对于C 项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运
用基本不等式即得；对于D 项，应注意到
与
的关系，即可整体运用基本不等式求
得.
【详解】对于选项A，由
，当且仅当
时等号成立，不妨设
，则得
，
解得：
或
，因
，则
，故A 项错误；
对于选项B，由
，当且仅当
时等号成立，不妨设
，则
，
17
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解得：
或
，因
，则
，即
，故B 项正确；
对于选项C，由
可得：
，则
，且
，
则
，当且仅当
时取等
号，
即
时，
有最小值
，故C 项正确；
对于选项D，由
可得：
，即
，且
，
则
，当且仅当
时等号成立，
由
解得：
，即当且仅当
时，
有最小值
，故D 项正确.
故选：BCD.
4．（2025·湖南郴州·三模）设正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A：设
，整理可得得
，结合
运算求解；对于BD：
利用基本不等式分析判断；对于C：先证
，即可得结果.
【详解】对于选项A：因为正实数
满足
，
设
，则
，
因为
，
即
，整理可得得
，
将其看为关于
的一元二次方程，则
，解得
，
即
，故A 正确；
对于选项D：因为
，且
，
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，故D 正确；
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对于选项B：因为
，则
，
当且仅当
时，等号成立，
则
，得
，当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，
因为
，则
，
，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
，可得
，
即
，当且仅当
时，等号成立
所以
，故C 正确；
故选：ACD.
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）若
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式计算可得A 正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B 正确，将表达式
化简计算可得
，解不等式可得
，即可得C 错误，D 正确.
【详解】对于A，由
可得
，
因此
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，即A 正确；
对于B，将表达式
化简可得
，
将方程参数化可知
，
；
19
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所以
，其中
；
又
，所以
，可得B 正确；
对于C，由
可得
，
即
，
因此
，解得
，
当且仅当
时，等号成立，即C 错误，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：在求解
的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式
计算即可得出结论.
20
