文档文本内容
专题04 基本不等式及其应用
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................2
02 思维导图..........................................................................................................................................3
03 考点统计..........................................................................................................................................4
04 知识点梳理......................................................................................................................................5
知识点一：基本不等式............................................................5
知识点二：基本不等式的应用......................................................5
05 题型归纳，举一反三......................................................................................................................7
题型一：基本不等式的概念与应用..................................................7
题型二：直接法求函数最值........................................................8
题型三：配凑法求最值............................................................9
题型四：换元消元法求最值.......................................................11
题型五：常数 “1” 的代换求最值................................................13
题型六：基本不等式的实际应用...................................................14
题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题.........................................15
06 模拟题精练....................................................................................................................................18
1
2
3
近3 年（2023—2025 年）高考中，基本不等式作为高中数学高频工具性考点，考查形式、
分值及难度保持稳定，核心围绕公式应用与综合能力展开，适配新高考与全国卷命题趋势。
考查形式以选择、填空题为主，偶见解答题第一问，分值稳定在5—8 分，难度集中在基础至
中档，侧重考查学生的运算求解与逻辑推理能力。
核心考点始终聚焦“一正二定三相等”的应用，高频考查配凑定值、“1”的代换、消元
法求最值，同时兼顾不等式变形与条件判断。2023 年多结合圆锥曲线、解三角形综合考查范
围求解；2024 年侧重“1”的代换变形，偶与导数结合考查函数最值；2025 年新增实际应用场
景，涉及生活优化问题建模，同时延续恒成立问题的考查。
整体命题重基础、重应用，避免复杂技巧，强调基本不等式的工具性，常与函数、向量、
解析几何等知识交汇，突出对数学核心素养的考查，命题趋势稳定且贴合考纲要求。
4
知识点一：基本不等式
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的算术平均
数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
，则
，当且仅当
时取等号；
基本不等式2：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
知识点二：基本不等式的应用
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
特例：
（
同号）．
（3）其他变形：
①
（沟通两和
与两平方和
的不等关系式）
②
（沟通两积
与两平方和
的不等关系式）
③
（沟通两积
与两和
的不等关系式）
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知
．
5
（1）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即“和为定值，
积有最大值”．
（2）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：
，当且仅当
时等号成立；
模型二：
，当且仅当
时等号成立；
模型三：
，当且仅当
时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时
等号成立．
6
题型一：基本不等式的概念与应用
【例1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
【变式1-1】下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得
，由此即可判断B 是否
正确；对选项C、D 通过举例即可判断是否正确.A.由基本不等式可知
，故A 不正确；
B.
，即
恒成立，故B 正确；
C.当
时，不等式不成立，故C 不正确；
D.当
时，不等式不成立，故D 不正确.
故选：B.
【变式1-2】设
，若
，
，
，则下列关系式中
正确的是
A．
B．
C．
D．
7
【答案】C
【解析】
，
，
，函数
在
上单调递增，因为
，所以
，所以
，故选C．
【变式1-3】（2026·广西柳州·二模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A：当
时，
，所以不正确；
B：
，
因为
，
，所以当
时，
，
当
时，
，当
时，
，因此不正确；
C：因为
，
，所以有
，正确；
D：因为
，
，所以有
，
即
，所以不正确.
故选：C
题型二：直接法求函数最值
【例2】（24-25 高三上·贵州·月考）若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．
C．7
D．
【答案】D
【解析】
，解得
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：D.
【变式2-1】若实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．18
B．6
C．
D．
【答案】B
8
【解析】由基本不等式得：
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值是6
故选：B
【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）若
且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】B
【解析】由基本不等式可得：
，
所以
，当且仅当
时等号成立；
所以
的最大值为
；
故选：B
【变式2-3】已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
范围可直接由基本不等式得到，
可先将
平方再利用基本不等式关系．由
，
，且
，
，当且仅当
时取等号
而
，当且仅当
时取等号
.
故选：C．
题型三：配凑法求最值
【例3】（25-26 高三上·北京·月考）若
，则函数
的最小值为 ，此时
.
【答案】
【解析】由
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，故
最小值为.
故答案为：，
【变式3-1】已知
，则
的最小值是 ．
【答案】2
【解析】因为
，
9
所以
，
当且仅当
．即
时，等号成立．
故答案为：2
【变式3-2】（25-26 高三上·吉林长春·月考）已知
，
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，
令
，
，可得
，
解得
或
（舍去），
即
.
故选：D
【变式3-3】函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
，又
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以原函数的最小值为
.
故答案为：
【变式3-4】（25-26 高三上·河南驻马店·开学考试）已知
，则
的最大值为
．
【答案】
【解析】解法一：
，
当且仅当
，即
时等号成立．
10
解法二：
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
取得最大值
．
故答案为：
.
【变式3-5】已知
，则函数
的最小值是 ，此时
.
【答案】 7
【解析】因为
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值是7，此时
.
故答案为：7；
.
题型四：换元消元法求最值
【例4】（22-23 高三上·福建泉州·期中）函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
，令
，则
，
则
，
当且仅当
，
即
时，等号成立．
故
的最大值为
．
故答案为：
11
【变式4-1】函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
，令
，则
，
又因为
，可得
，
因为
，当且仅当
时，即
，即
时，等号成立，
所以
，即
的最小值为.
故答案为：.
【变式4-2】已知
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，可得
，
由
，可得
且
，解得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故选：B
【变式4-3】（2026·福建泉州·二模）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
为正数，且
，则
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
12
则
的最大值为
.
故选：A
题型五：常数 “1” 的代换求最值
【例5】（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【解析】因为
，所以
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
时取等．
故选：B
【变式5-1】（2026·湖北十堰·一模）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解析】因为正数
，
满足
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为9.
故选：D.
【变式5-2】（25-26 高三上·甘肃张掖·期末）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】因为正实数
满足
，所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为1.
13
故选：C
【变式5-3】（25-26 高三上·河北保定·期中）设
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】B
【解析】由题设
，
当且仅当
，即
时取等号，故
的最小值为9.
故选：B
题型六：基本不等式的实际应用
【例6】设计用
的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设长方体车厢（无盖）的长为
，高为
，
，
则由题得
，即
，
所以
，
即
，当且仅当
时等号成立，
由
，解
，得
，即
，
因为车厢的容积为
且
，仅当
时等号成立，所以车厢的最大容积是
.
故选：D.
【变式6-1】若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A．
B．8
C．16
D．
【答案】C
【解析】设直角三角的两条直角边分别为
，
因为直角三角形的面积为32，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以两条直角边的和的最小值是
.
故选：C
【变式6-2】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合
14
理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200 元，池壁每平方米的造价为
180 元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为
，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高
应为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【解析】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为
，长为5m，高为
，宽
，
，
则总造价
，
当且仅当
，即
时取等号，且
，
所以当垃圾池的高为
时，垃圾池总造价最低.
故选：C.
【变式6-3】某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为
，第二年的增长率为
，第三年的增长率为
，
这两年的平均增长率为
（
均大于零），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
且
，
则由基本不等式可得
，
当且仅当
，即
时取等号，故
.
故选：B
题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题
【例7】已知实数
，
，
，且
恒成立，则实数
的取值范围为 .
15
【答案】
【解析】
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
故
，解得
.
故答案为：
.
【变式7-1】已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取值范围是
【答案】
【解析】因为正实数
，
满足
，所以
，
则：
，
当且仅当
时取等号，因为不等式
恒成立，所以
；
故答案为：
【变式7-2】（25-26 高三上·北京西城·月考）若
，不等式
恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为不等式
，当
时恒成立，
所以
.
当
时，
，
当且仅当
时取等号.
所以
.
故选：C
【变式7-3】若
，使得
成立是真命题，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
16
【答案】B
【解析】
，使得
成立是真命题，
所以
,
恒成立.
所以
在
上恒成立，
所以
，
因为
，当且仅当
即
时等号成立，
所以
，所以
，即实数
的最大值为
.
故选：B.
17
1．（25-26 高三上·甘肃兰州·期末）若
，则
的最小值等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为
，所以
.
所以
，当且仅当
，即
时等号成立.
故选：C.
2．（25-26 高三上·安徽马鞍山·月考）若
，且
，则
的最大值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
且
，则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，即
，
所以
，即
的最大值为
.
故选：A.
3．（2025 高三上·江苏·学业考试）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故函数
的最小值为
.
故选：B.
4．（25-26 高三上·山东烟台·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
18
【答案】C
【解析】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：C.
5．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于C，因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对于A ，若
，则
，故A 错误；
对于B，若
，则
，故B 错误；
对于D，由题干无法判断
，故D 错误.
故选：C.
6．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，
，
则
，
，即
，
当
时，由基本不等式可得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，所以
，
所以
的取值范围是
.
故选：A.
19
7．已知正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解析】因为
均为正数，且
，
所以
，当且仅当
即
时取等号.
故选：D
8．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
则
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
故
的最小值是
.
故选:D.
9．（24-25 高三上·福建厦门·期中）已知实数
满足
，则
最小值为（ ）
A．4
B．8
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
最小值为8.
故选：B
10．下列说法正确的是（ ）
①不等式
的解集为
．
20
②若
，则函数
的最小值为2
③不等式
的解集是
．
④当
时，不等式
恒成立，则k 的取值范围是
A．①②③④
B．①②③
C．②③④
D．③④
【答案】D
【解析】对于①：由
可解得
或
，故①错误；
对于②：由基本不等式可知
，当且仅当
时，即
时，等
号成立，显然不可能，故②错误；
对于③：解
，即解
，可解得
，故③正确；
对于④：若
，即
恒成立，满足题意；若
，则须满足
，解得
.综上所
述，
，故④正确.
故选：D.
11．已知
，则下列不等式成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于
，则
.
故选：C.
12．（多选题）（25-26 高三上·江苏盐城·期末）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
所以
，即
，故A 正确；
因为
，所以
，
21
即
，故B 正确；
因为
，不能确定指数函数
是增函数，即
不一定成立，故C 错误；
因为
，所以
，
当且仅当
时取等号，即
，故D 正确；
故选：ABD
13．（25-26 高三上·上海·期末）已知正实数
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】16
【解析】已知
，
化简得，
，
整理为
，
由对数运算法则
，得
，
由题意
，
已知
.
由基本不等式：
，
当且仅当
，即
时取等号.
将
代入
，得，
.
故答案为：16
14．（25-26 高三上·全国·月考）已知
，
，且
，则xy 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由基本不等式，得
，解得
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
.
15．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数
，
满足
，则
的最大值为 .
【答案】8
【解析】因为
，
为正数，所以
，
根据基本不等式可得
，(当且仅当16
，即
时等号成立)；
则
，即16
，
22
因为16
，所以
，可得
.
即
的最大值为8.
故答案为：8
16．若
，则
的最小值为 ．
【答案】12
【解析】因为
，所以
，
所以
.
因为
，所以根据基本不等式的性质可得
，当且仅当
即
时等号成立，
此时
取最小值为12.
故答案为：12.
17．（25-26 高三上·河南·月考）设a，b 为正数，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
的最小值为
．
故答案为：
.
18．（25-26 高三上·天津河西·月考）已知正实数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
故答案为：
.
19．已知正数
满足
，则
的最小值为 ．
23
【答案】24
【解析】由题意，
，
所以
.
所以
.
当且仅当
即
时等号成立，此时
的最小值为24.
故答案为：24.
20．做一个体积为
，高为2 m 的长方体纸盒，当底面的边长为 m 时，用纸最少．
【答案】4
【解析】设长方体的长为
m，宽为
m，
则
，即
，
设共用纸的面积为
，则
，
当且仅当
时，等号成立，
故当底面的边长为4m 时，用纸最少.
故答案为：4
21．（2025·上海黄浦·一模）若正数
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
是正数，所以
，
又
，所以
，即
，
所以
，当且仅当
，即
时，
取得最小值
；
故答案为：
24
25
