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专题07 三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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题型01 重心...............................................................................................................................................................1
题型02 外心...............................................................................................................................................................2
题型03 内心...............................................................................................................................................................3
题型04 垂心...............................................................................................................................................................4
题型05 奔驰定理....................................................................................................................................................... 6
题型01 重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点
是△
所在平面内的一点，则当点
是△
的重心时，有
或
（其中
为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若
、
、
、
分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为
、
、
，
，则有
.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在
中，
为
的重心，
为边
中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·二模）点
是
所在平面内两个不同的点，满足
，则直线
经
过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
1
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3．（2024 高三·全国·专题练习）G 是
的重心，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若
，则角
（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
二、多选题
4．（2024·辽宁·二模）
的重心为点
，点O，P 是
所在平面内两个不同的点，满足
，则（ ）
A．
三点共线
B．
C．
D．点
在
的内部
三、填空题
5．（2024·四川南充·模拟预测）已知点
是
的重心，
，
，
，则
．
四、解答题
6．（2024·浙江温州·模拟预测）
的角
对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知
.
(1)求 a 的长.
(2)求
的面积.
题型02 外心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的外心
1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点
是△
的外心，则
或
；
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在
中，
，
为
外心，且
，则
的最大
值为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知
的外心为
，内角
的对边分别为
，且
．
若
，则
（ ）
A．
B．50
C．25
D．
3．（23-24 高三下·新疆·阶段练习）在
中，
，
是
的外心，
为
的中点，
，
是直线
上异于
、
的任意一点，则
（ ）
A．3
B．6
C．7
D．9
4．（24-25 高三上·辽宁·期中）设
的外心为
，重心为
，并且满足
，则
当
最大时，
的外接圆半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知
为
的外心，
，则（ ）
A．
与
不共线
B．
与
垂直
C．
D．
三、填空题
6．（2024·四川凉山·三模）在
中，已知
，点G 为
的外心，点O 为
重心，
则
．
题型03 内心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的内心
1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点是△
的内心，则有
【典例训练】
一、单选题
3
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1．（23-24 高三下·山西晋城·阶段练习）已知
，
是椭圆
的两个焦点，M 为C
的顶点，若
的内心和重心重合，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P 在
所在平面内，若
，
则点P 是
的（ ）
A．外心
B．垂心
C．重心
D．内心
3．（2024 高三·全国·专题练习）若满足
，则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
4．（2025 高三·全国·专题练习）设
的内角
，
，
的对边分别为
，
， ，
是
所在平面上的一点，
，则点
是
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
二、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆上不与顶
点重合的任意一点，I 为
的内心，记直线
的斜率分别为
，若
，则椭圆E 的离心
率为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知
为椭圆
上任意一点，
为左、右焦点，
为
的内心，
记
的面积分别为
，则
的值为 ．
题型04 垂心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若
是△
的垂心，则
或
4
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【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·广东汕尾·期末）在
中，
，点
为
的垂心，且满足
，
，则
（ ）
A．
B．－1
C．
D．
2．（23-24 高三下·广东惠州·期中）已知三棱锥
中，若
，
，
两两互相垂直，作
平
面
，垂足为
，则点
是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3．（2025 高三·全国·专题练习）设O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
，则点P 的轨迹经过
的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
4．（23-24 高三下·贵州贵阳·期末）已知点
在
所在平面内，且
，
，
，则点
依次是
的（ ）
A．外心、重心、垂心
B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心
D．外心、重心、内心
二、多选题
5．（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）在等腰
中，已知
，若
分别为
的垂心外心重心和内心，则下列四种说法正确的有（
､
､
）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·四川达州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物
线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为
为坐标原点，从点
发
出平行于
轴的光线经过抛物线上的点
反射后再经过抛物线上另一点
，则（ ）
A．存在点
使得点
.都在以
为圆心的圆上
B．存在点
使得点
是
的垂心
C．存在点
使得点
是
的重心
D．点
到直线
的最短距离为4
三、填空题
7．（23-24 高三下·北京东城·阶段练习）在三角形
中，点
是三角形
所在平面内一点，
的
三个内角
的对边分别是
，则下列给出的命题：
5
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①若
，则点
是三角形
的垂心；
②若向量
，则点
的轨迹通过
的重心；
③若
，则点
是三角形
的内心；
④若
，则点
是三角形
的内心．
其中正确的命题是：
填写正确结论的编号)
四、解答题
8．（23-24 高三下·广西桂林·阶段练习）已知
的内角A，
，
所对的边分别为
，
，，
，
．
(1)求A 的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使
存在，并解决问题：
为
内一点，
的延长线交
于点
，求
的面积．
①
为
的外心，
；
②
为
的垂心，
；
③
为
的内心，
．
题型05 奔驰定理
【解题规律·提分快招】
一、奔驰定理
1.奔驰定理：O 是△ABC 内一点，且x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OA =⃗0,，则S ΔBOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿ x : y : z ¿
2.奔驰定理推论：O 是△ABC 所在平面内一点，且x⃗OA + y⃗OB+ x⃗OA =⃗0,，则：
** 错误的表达式 ** S∆BOC：S∆AOC:S∆AOB= x: y : z
** 错误的表达式 ** S∆BOC
S∆ABC
=|
x
x + y + z |; S∆AOC
S∆ABC
=|
y
x + y + z |; S∆AOB
S∆ABC
=|
z
x + y + z |
由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.
二、奔驰定理的证明
奔驰定理：O 是Δ ABC 内一点，且x ¿⃗OA+ y⋅⃗OB +z⋅⃗OC =⃗0，则S ΔBOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿ x : y : z ¿
6
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O
A
B
C
D
O
A
B
C
已知O 是Δ ABC 内的一点，ΔBOC , ΔAOC , ΔAOB 的面积分别为S A ，SB ，SC ，求证：
S A¿⃗OA+¿ SB ¿⃗OB +¿ SC ¿⃗OC =⃗0 ¿¿
法一证明：延长OA 与BC 边相交于点D 则
BD
DC =SΔA BD
SΔACD
= SΔBOD
SΔCOD
=SΔ ABD
−¿SΔBOD
SACD −¿SΔCOD
=
SC
SB
¿¿⃗
OD =
DC
BC⃗OB +
BD
BC⃗OC =
SB
SB+SC⃗OB +
SC
SB+SC⃗OC
∵
OD
OA = SBOD
SBOA
= SCOD
SCOA
= SBOD +SCOD
SBOA+SCOA
=
S A
SB+SC ∴⃗
OD =−
SA
SB+SC⃗OA
∴
−
S A
SB+SC⃗OA =
SB
SB+SC⃗OB +
SC
SB+SC⃗OC
∴S A¿⃗OA+¿ SB ¿⃗OB +¿ SC ¿⃗OC =⃗0 ¿¿
法二证明：延长OA 到OA1，OB 到OB1,OC 到OC1使得，OA1
→
=xOA ,
→
OB 1
→
= y OB ,
→
OC
→
1=zOC ,
→
O 为
△A1B1C1的重心.
SΔAOB
SΔA1OB 1
=
1
2 |OA||OB |sin∠AOB
1
2 |OA1||OB 1|sin∠A1OB 1
=1
xy
SΔAOC
SΔA1OC 1
=
1
2 |OA||OC |sin∠AOC
1
2 |OA1||OC 1|sin∠A1OC 1
=1
xz
SΔA1OB 1=xyS ΔAOB ，
SΔA1OC 1=xzS ΔAOC ，
xyS ΔAOB =xzS ΔAOC ，
SΔAOB
SΔAOC =z
y
得证.
三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明
7
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①
是
的重心：
．
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
②
是
的内心：
证明：
，
，
（
为
内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得
③
是
的外心：
．
证明：
，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得
，所以
（
为
外接圆的半径），同理可得
，
，所以
，再由奔驰定理可得
④
是
的垂心：
证明：如图
为
的垂心，则有
，
，所以
，所以
，同理可得
，所以
，再由奔驰定理可得
【典例训练】
一、多选题
1．（23-24 高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．设
是
内一点，
的三个内角分别为
，
，
，
，
，
的面积分别为
，
，
8
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，若
，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．
有可能是
的重心
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
为直角三角形
2．（23-24 高三下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与
“奔驰”轿车的logo 非常相似，该结论如下：如图，已知
是
内部一点，将
，
，
的面积分别记为
，
，
，则
.根据上述结论，下列命题中正确的有
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
为
的内心，且
，则
D．若
为
的垂心，则
3．（23-24 高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个
非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：
已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
9
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A．若
，则M 为
的重心
B．若M 为
的内心，则
C．若M 为
的垂心，
，则
D．若
，
，M 为
的外心，则
二、填空题
4．（23-24 高三下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非
常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心内心外心垂心）有着美丽的邂逅
､
､
､
.它的具体内容是：如
图，若
是
内一点，
的面积分别为
，则有
.
已知
为
的内心，且
，若
，则
的最大值为 .
一、单选题
1．（23-24 高三下·河北张家口·期末）已知三棱锥
中，
，作
平面ABC，垂
足为
，则
为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知三角形
的外心为
，
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·北京通州·期中）已知
是
的重心，过点
作一条直线与边
，
分别交于点
，
（点
，
与所在边的端点均不重合），设
，
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
4．（24-25 高三上·湖北·开学考试）在三棱锥
中，三个侧面与底面
所成的角均相等，顶点
在
内的射影为
，则
是
的（ ）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
10
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5．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，右顶点为
，点
是
右支上一点，点
是
的重心，若
，则点
到
的两条渐近线的距离之和为（ ）
A．
B．
C．
D．4
6．（23-24 高三下·浙江·期中）设O 为
的内心，
，
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高三·全国·专题练习）若
的三边为a，b，c，有
，则
是
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
8．（24-25 高三·上海·课堂例题）已知
，点P 是平面ABC 外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的投影．
①点P 到
的三个顶点的距离相等；
②点P 到
的三边的距离相等且O 点在
内；
③
，
，
．
当点P 分别满足以上条件时，点O 一定是
的（ ）
A．外心、垂心、内心；
B．垂心、内心、外心；
C．内心、外心、垂心；
D．外心、内心、垂心．
9．（23-24 高三下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．因其几何表示酷似奔驰的
标志，所以称为“奔驰定理”．已知O 为
的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高三上·河北邢台·开学考试）若O 是
的外心，且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角
中，
，点
是边AB上异于端点
的一点，光线从点
出发经
边反射后又回到点
，若光线
经过
的重心，则
的周长
等于（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
12．（23-24 高三下·湖北荆州·阶段练习）已知
内角
的对边分别为a,b,c，
为
的重心，
cos A = 1
5 , AO =2，则（ ）
A．
B．
C．
的面积的最大值为
D．
的最小值为
13．（23-24 高三下·江苏扬州·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法中正
确的是（ ）
A．若向量
，则
的外心为
中点
B．若点G 为
的重心，则
C．若点O 为
所在平面内一点，且
，则
D．若点I 为
的内心，则
14．（23-24 高三下·山东济宁·开学考试）边长为1 的正三角形
的内心为
，过
的直线与边
交于
，则（ ）
A．
B．当
时，此时
C．
的最大值为18
D．
的最小值为15
15．（23-24 高三下·湖南岳阳·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：
已知O 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．设
是锐角
内的一点，
、
、
分别是的
三
个内角，以下命题正确的有（ ）
12
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A．若
，则
B．若
，
，
，则
C．若O 为
的内心，
，则
D．若O 为
的垂心，
，则
三、填空题
16．（24-25 高三上·上海静安·期中）已知
在平面
上，平面
外一点
满足
，
，
，则点
在平面
上的投影点
是
的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一
个）
17．（2024 高三·全国·专题练习）在锐角
中，内角
的对边分别为
，
为其外心.
若
外接圆半径为
，且
，则
的值为 .
18．（2024 高三·全国·专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P 是
的重心，则有
；
②若
成立，则P 是
的内心；
③若
，则
；
④若P 是
的外心，
，
，则
；
⑤若
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，O 为
内的一点且为内心.若
，则
的最大值为
.
则正确的命题有 .（填序号）
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四、解答题
19．（23-24 高三下·重庆·期末）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，
，求边
上的角平分线
长；
(3)若
为锐角三角形，点
为
的垂心，
，求
的取值范围.
20．（24-25 高三上·广东·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
的面积为
，且
.D 是AB 的中点，点E 在线段AC 上且
，线段CD 与线段BE 交于
点M（如下图）
(1)求角A 的大小：
(2)若
，求
的值；
(3)若点G 是
的重心，求线段GM 的最小值.
21．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
：
的焦点为F，点
，
，
在抛物线
上，直线
，
，
的斜率分别为
，
，
．
(1)若F 为
的重心，求证：
为定值；
(2)若F 为
的垂心，求证：
为定值．
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