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第 11 讲 导数中的切线问题与切线放缩
【典型例题】
例1．（2024·重庆·模拟预测）设点 (异于原点)在曲线 上，已知过 的直线 垂直于曲线
过点 的切线，若直线 的纵截距的取值范围是 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
例2．（2024·宁夏银川·一模）已知函数 与 （ 且 ）的图象只有一个交点，给出四
个值：① ；② ；③ ；④ ，则 的可能取值为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
例3．（2024·高二·江苏·阶段练习）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例4．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）已知 ，若过点 可以作曲线 的三条切线，则
下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）牛顿法求函数 零点的操作过程是：先在x轴找初始点
，然后作 在点 处切线，切线与 轴交于点 ，再作 在点
处切线，切线与 轴交于点 ，再作 在点 处切线，依次类推，
直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数 ，初始点为 ，若按上述过程操作，则所得
的第 个三角形 的面积为 ．（用含有 的代数式表示）
例6．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知动点 在圆 上，动点Q在曲线
上．若对任意的 ， 恒成立，则 的最大值是 ．例7．（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）若点 ，则 两点间距离 的最小值
为 .
例8．（2024·江苏·一模）已知函数 ，函数 .
(1)若过点 的直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 .
①求 的值；
②当 两点不重合时，求线段 的长；
(2)若 ，使得不等式 成立，求 的最小值.
例9．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数 图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线 在
和 处的切线重合，则称 ， 为曲线 的“双重切点”，直线 为曲线 的“双重切
线”．
(1)直线 是否为曲线 的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数 求曲线 的“双重切线”的方程；
(3)已知函数 ，直线 为曲线 的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为 ，
，…， ，若 （ ），证明： ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·四川凉山·二模）已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的图象经过 两点，且 的图象在
处的切线互相垂直，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得曲线
在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（2024·高三·重庆大足·阶段练习）已知函数 ， ，点 与
分别在函数 与 的图象上，若 的最小值为 ，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或3
二、多选题
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A． 恒成立的充要条件是
B．当 时，两个函数图象有两条公切线
C．当 时，直线 是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 ，则
7．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）函数 （其中 ， 为自然常数），则上述结论正确的是
（ ）
A． ，使得直线 为曲线 的一条切线
B． ，函数 有且仅有一个零点
C．当 时， 在区间 上单调递减
D．当 时， ，使得直线 与曲线 没有交点8．（2024·高三·江苏·专题练习）（多选）如图， 为阿基米德三角形.抛物线 上有两
个不同的点 ，以A，B为切点的抛物线的切线 相交于点P.给出如下结论，其中正
确的为（ ）
A．若弦 过焦点，则 为直角三角形且
B．点P的坐标是
C． 的边 所在的直线方程为
D． 的边 上的中线与y轴平行（或重合）
9．（2024·广东广州·一模）已知直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，曲线
在点 处的切线与在点 处的切线相交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·高三·全国·专题练习）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程
有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ，
B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
11．（2024·江西南昌·一模）已知直线 是曲线 上任一点 处的切线，直线 是曲线
上点 处的切线，则下列结论中正确的是（ ）A．当 时，
B．存在 ，使得
C．若 与 交于点 时，且三角形 为等边三角形，则
D．若 与曲线 相切，切点为 ，则
12．（2024·贵州毕节·一模）已知 ，函数 有两个极值点 ，则（ ）
A．
B． 时，函数 的图象在 处的切线方程为
C． 为定值
D． 时，函数 在 上的值域是
三、填空题
13．（2024·广西来宾·一模）已知函数 ，动直线 与 的图象分别交于A，B两点，
曲线 在点A和点B的两条切线相交于点C，当 为直角三角形时，它的面积为 .
14．（2024·黑龙江吉林·二模）已知函数 ，过点 作与y轴平行的直线交函数
的图象于点P，过点P作 图象的切线交x轴于点B，则 面积的最小值为 .
15．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）若曲线 上存在垂直于 轴的切线，则 的范围是
16．（2024·河南·一模）记函数 的图象为 ，作 关于直线 的对称曲线得到 ，则曲线 上
任意一点与曲线 上任意一点之间距离的最小值为 ．
17．（2024·高三·甘肃张掖·阶段练习）对给定的实数 ，总存在两个实数 ，使直线 与曲线
相切，则 的取值范围为 .
18．（2024·四川宜宾·二模）已知 为抛物线 的焦点，过直线 上的动点 作抛物线的
切线，切点分别是 ，则直线 过定点 .
19．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知函数 的图象在点 和 处
的两条切线互相垂直，且分别交 轴于 两点，则 的取值范围为 .
20．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且该曲线在点 处的
切线经过点 （ 为自然对数的底数），则点 的坐标是 ，切线方程为
21．（2024·山东济宁·一模）已知函数 （ 且 ）恰有一个零点，则实数 的取值范围为 ．
22．（2024·江西赣州·一模）已知 是抛物线 上异于顶点的点， 在 处的切线 分别交 轴､ 轴
于点 ，过 作 的垂线分别交 轴､ 轴于点 ，分别记 与 的面积为 ，则 的最
小值为 .
23．（2024·河南南阳·一模）已知曲线 与曲线 关于直线 对称，则与两曲线均相切
的直线的方程为 .
24．（2024·高三·广东·阶段练习）若圆C与抛物线 在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于
的焦点A，则 ．
四、解答题
25．（2024·江苏南通·二模）设函数 .已知 的图象的两条相邻对称轴
间的距离为 ，且 .
(1)若 在区间 上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线 在 处的切线，证明：l与曲线 有唯一的公共点.
26．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若直线 与曲线 相切，求 的值．
