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专题04 轨迹方程的求法
1．（2023 上·福建厦门·高二校考阶段练习）如图所示，已知
，
是椭圆
的左右焦点，P 是
椭圆上任意一点，过
作
的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·青海·校联考模拟预测）已知
为抛物线
上一动点，
是圆
上一点，则
的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
3．（2024·浙江温州·统考一模）动点
到定点
的距离与
到定直线：
的距离的比
等于
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知
为圆
的一条弦，且以
为直径的圆始终经过原点
，则
中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·江西南昌·江西师大附中校考一模）设过点
的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交
于A，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若
且
，则点P 的轨迹方程
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·全国·模拟预测）在平面直角坐标系
中，
、
分别为椭圆
的左、右
焦点，
为椭圆上的点，
为
的外角平分线，
于点
，则点
的轨迹为（ ）
A．双曲线
B．抛物线
C．椭圆
D．圆
7．（2019·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）设
为椭圆
上任意一点，
，
，点
满足
，
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·青海西宁·统考三模）设P 为椭圆C：
上一动点，
，
分别为左、右焦点，延长
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至点Q，使得
，则动点Q 的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
9．（2024·全国·模拟预测）已知A 是圆E：
上的任意一点，点
，线段AF 的垂
直平分线交线段AE 于点T．
(1)求动点T 的轨迹C 的方程；
(2)已知点
，过点
的直线l 与C 交于M，N 两点，求证：
．
10．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，
，
，直线
，
相交于点
，且它
们的斜率之积是
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程．
(2)已知点
，过
作
轴的垂线交直线
于点
，
的平分线交于点
，当点
在
轴右
侧运动时，试判断
是否为定值．若为定值，求出该定值；否则，请说明理由．
11．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知
为
的两个顶点，
为
的重心，
边
上的两条中线长度之和为
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)过
作不平行于坐标轴的直线交
于D，E 两点，若
轴于点M，
轴于点N，直线DN 与
EM 交于点Q.
①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线；
②求
面积的最大值.
12．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知平面上动点
到点
与到圆
的圆心
的距离之和等于该圆的半径.记
的轨迹为曲线
.
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(1)说明
是什么曲线，并求
的方程；
(2)设
是
上关于
轴对称的不同两点，点
在
上，且
异于
两点，
为原点，直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，试问
是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，
请说明理由.
13．（2022 上·湖北孝感·高二校考期末）如图，已知圆
，点
，
为圆
上的动点，
线段
的垂直平分线与线段
相交于点
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为
，直线
与曲线
交于
两点，求线段
的中点坐标和弦长
.
14．（2024 上·湖北·高二期末）已知O 为坐标原点，
，
，点P 满足
，记点P
的轨迹为曲线
(1)求曲线E 的方程；
(2)过点
的直线l 与曲线E 交于
两点，求
的取值范围．
15．（2023 上·河南·高二校联考阶段练习）已知圆
，圆
，动圆
与这两个圆中的一个内切，另一个外切.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程.
(2)若动圆圆心
的轨迹为曲线
，
，斜率不为0 的直线与曲线
交于不同于
的
，
两点，
，垂足为点
，若以
为直径的圆经过点
，试问是否存在定点
，使
为定值？若存在，
求出该定值及
的坐标；若不存在，请说明理由.
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16．（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）已知圆
，点
，P 是圆M 上的动点，
线段PN 的中垂线与直线PM 交于点Q，点Q 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)
，点E、F（不在曲线C 上）是直线
上关于x 轴对称的两点，直线
、
与曲
线C 分别交于点A、B（不与
、
重合），证明：直线AB 过定点．
17．（2023 上·河南开封·高二河南省兰考县第一高级中学校联考期中）如图，已知动圆M 过定点
且
与y 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为
，点
的轨迹为H.
(1)求曲线H 的方程；
(2)一条直线
经过点F，且交曲线H 于A，B 两点，点C 为直线
上的动点.求证：
不可能是
钝角.
18．（2024·全国·高二假期作业）已知点
的坐标分别是
，
，直线
相交于点M，且
它们的斜率之积为
．
(1)求点M 轨迹
的方程；
(2)若过点
的直线与（1）中的轨迹
交于不同的两点
、
（
在
、
之间），试求
与
面积之比的取值范围（
为坐标原点）．
19．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知点
，动点
在直线：
上，过点
且垂直于
轴的
直线与线段
的垂直平分线交于点
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的标准方程；
(2)过
的直线与曲线
交于A，
两点，直线
，
与圆
的另一个交点分别为
，
，
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求
与
面积之比的最大值．
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1．（2020·全国·统考高考真题）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若
，则点C 的轨迹为
（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
2．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记
动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
3．（2011·陕西·高考真题）如图，设P 是圆
上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为
上一
点，且
.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点
且斜率为
的直线被C 所截线段的长度.
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