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第 1 章 集合与常用逻辑用语
§1.1集合的概念
1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
集合三要素：确定性.互异性.无序性.
2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.
3.元素和集合的关系：属于（ ）和不属于（ ）.
n m
4.常见数集：自然数集： ，正整数集： 或 1，整数集： ，有理数集： ,实数集 .
5.集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.
（2）描述法：设 是一个集合，我们把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法.
§1.2集合间的基本关系
1.子集：对于两个集合 ， ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，则称集合 是集合
m
2
的子集，记作 .
n m N=m+m+⋯+m
n 1 2 n
2.真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合 是集合 的真子集.记作：集合
(或 ).
3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：n.并规定：空集合是任何集合的子集.
m
1
4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集.
§1.3集合的基本运算
1.并集：由所有属于集合 或集合 的元素组成的集合，称为集合集合 是集合 与 的并集.记作：
m
2 .即 .
2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合 是集合 与 的交集.记作：n
.即 .
3.补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，
记作: ,即 .
§1.4充分条件与必要条件
1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题；
2.充分条件.必要条件与充要条件
如果“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ，我们就说由 可以推出 ，记作 ，
并且说 是 的充分条件， 是 的必要条件；
如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能提出结论 ，记作 ，我们就说 不是 的充分
条件， 不是 的必要条件；
如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作
此时则 是 的充分条件，也是 的必要条件，我们就说 是 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果 ，那么 与 互为充要条件.
§1.5全称量词与存在量词
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为 .
（2）存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为 .
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题 ： ，它的否定 ：
（2）存在量词命题 ： ，它的否定 ：
