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陕西省安康市旬阳县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10 小题，每题3 分，计30 分．每题只有一个选项是符合题意的）
1．点A（﹣2，m）与点B（n，4）关于原点对称，则m+n 的值是( )
A．2 B．6 C．﹣2
D．﹣6
2．若y=（m
2
﹣）
是关于x 的二次函数，则常数m 的值为( )
A．﹣1 B．2 C．﹣2
D．﹣1 或﹣2
3．下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
4．若y
4
﹣与x2成正比例，当x=2 时，y=6，则y 与x 的函数关系式是( )
A．y=x2+4
B．y=
x
﹣2+4 C．y=﹣x2+4D．y= x2+4
5．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是AD 延长线上一点，若∠CBA=120°，则∠EDC
的大小是( )
A．60°
B．120° C．150° D．130°
6．一元二次方程2x2+5x+3=0 的实数根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
7．如图，在以BD 为直径的⊙O 上，
=
，若∠AOB=70°，则∠BDC 的度数是( )
A．70°
B．30°
C．35°
D．40°
8．在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数
关系式为y=
0.2x
﹣
2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是( )
A．10m B．4m
C．5m
D．9m
9．某漫画兴趣小组的学生将自己画的漫画向本组其他成员各赠送一幅，全组共互赠了380 幅，
如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是( )
A．x（x+1）=380 B．x（x
1
﹣）=380×2 C．x（x
1
﹣）=380 D．2x（x+1）=380
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列
结论：①abc＞0，②a
b+c=0
﹣
，③2a+b＜0，④b2
4ac
﹣
＜0，其中正确的是( )
A．①②③④B．①③④
C．①③D．①②
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，计18 分）
11．关于x 的一元二次方程x2
mx+2m=0
﹣
的一个根为1，则方程的另一根为__________．
12．如图，设P 是等边三角形ABC 内任意一点，△ACP′是由△ABP 旋转得到的，则
PA__________PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）
13．已知x1，x2是方程x2
5x=0
﹣
的两个实数根，则x1+x2的值是__________．
14．抛物线y=﹣x2可以看作是抛物线y=﹣（x
4
﹣）2向__________得到的．
15．如图，△ABC 内接于⊙O，OD BC
⊥
于点D，∠A=55°，则∠OCD 的度数是__________．
16．某种商品每件进价为30 元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（30≤x≤40，且x 为整
数）出售，可卖出（40
x
﹣）件，若使利润最大，每件的售价应为__________元．
三、解答题（共9 小题，计72 分，解答应写出过程）
17．解方程：x（x
3
﹣）=6+3x．
18．如图，△ABC 绕点C 旋转后，顶点A 旋转到了点A′，画出旋转后的三角形并指出一个旋
转角．
19．抛物线y=2x2
m
﹣
与x 轴并于A、B 两点，与y 轴交于点C，若∠ACB=90°，求抛物线的解
析式．
20．随着经济的发展，铁路客运量不断增长，为了满足乘客需求，火车站开始启动了扩建工程，
其中某项工程，乙队单独完成所需时间比甲队单独完成所需时间少4 个月，并且两队单独完
成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的4.8 倍，求甲、乙两队单独完成这
项工程各需几个月？
21．⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点P，已知AP=9cm，PB=3cm，∠CPA=30°，求弦CD 的长．
22．如图，M、N 分别是x、y 轴上一点，M 从坐标（8，0）开始以每秒2 个单位的速度沿x 轴向
O 点移动，N 从坐标（0，0）开始以每秒3 个单位的速度沿y 轴向上移动，若M、N 两点同时出
发，经过几秒，使得△MNO 的面积为9 个平方单位？
23．如图，A、B、C、D 是半径为10 的⊙O 上的四点，其中∠CAD= ABD°=60°
∠
．
（1）求证：△ACD 是等边三角形；
（2）求圆心O 到CD 的距离OE．
24．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园，想
在里面种些花草，篱笆只围AB、BC 两边．
（1）若花园的面积为252m2，求AB 的长度；
（2）若在P 处有一棵树，与墙CD、AD 的距离分别是17m 和8m，要将这棵树围在花园内（含
边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值．
25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴交于A（2，0）、B 两点，与y 轴交于点C．
（1）求b 的值；
（2）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）以点B 为直角顶点，BC 为直角边作Rt
BCD
△
，CD 交抛物线于第二象限的点P，若
PC=PD，求P 点的坐标．
陕西省安康市旬阳县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10 小题，每题3 分，计30 分．每题只有一个选项是符合题意的）
1．点A（﹣2，m）与点B（n，4）关于原点对称，则m+n 的值是( )
A．2 B．6 C．﹣2
D．﹣6
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】直接利用关于原点对称点的坐标性质得出m，n 的值进而求出即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，m）与点B（n，4）关于原点对称，
n=2
∴
，m=
4
﹣，
故m+n=2
4=
2
﹣
﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆关于原点对称点的坐标性质
是解题关键．
2．若y=（m
2
﹣）
是关于x 的二次函数，则常数m 的值为( )
A．﹣1 B．2 C．﹣2
D．﹣1 或﹣2
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由y=（m
2
﹣）
是关于x 的二次函数，得
，解得m=2（不符合题意要舍去），m=
1
﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
3．下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形．故选项错误；
B、不是中心对称图形．故选项正确；
C、是中心对称图形．故选项错误；
D、是中心对称图形．故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与
原图重合．
4．若y
4
﹣与x2成正比例，当x=2 时，y=6，则y 与x 的函数关系式是( )
A．y=x2+4
B．y=
x
﹣2+4 C．y=﹣x2+4D．y= x2+4
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】根据正比例函数的定义可设y
4=kx
﹣
2，然后把x=2，y=6 代入可计算出k 的值，则可得
到y 与x 的函数关系式．
【解答】解：根据题意得y
4=kx
﹣
2，
当x=2，y=6，则4k=6
4
﹣，解得k= ，
所以y
4=
﹣
x2，
即y 与x 的函数关系式为y= x2+4．
故选D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式
时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已
知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线
的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可
选择设其解析式为交点式来求解．也考查了正比例函数的定义．
5．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是AD 延长线上一点，若∠CBA=120°，则∠EDC
的大小是( )
A．60°
B．120° C．150° D．130°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC 的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠CBA=120°，
ADC=180°
120°=60°
∴∠
﹣
．
ADC+ EDC=180°
∠
∠
∵
，
EDC=180°
60°=120°
∴∠
﹣
．
故选B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关
键．
6．一元二次方程2x2+5x+3=0 的实数根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】把a=2，b=5，c=3 代入判别式△=b2
4ac
﹣
进行计算，然后根据计算结果判断方程根的
情况．
【解答】解：∵a=2，b=5，c=3，
=b
∴△
2
4ac=5
﹣
2
4×2×3=1
﹣
＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△=b2
4ac
﹣
．
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没
有实数根．
7．如图，在以BD 为直径的⊙O 上，
=
，若∠AOB=70°，则∠BDC 的度数是( )
A．70°
B．30°
C．35°
D．40°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即
可求得∠BDC 的度数．
【解答】解：∵
=
，∠AOB=70°，
BDC=
∴∠
AOB=35°
∠
．
故选C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等
圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
8．在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数
关系式为y=
0.2x
﹣
2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是( )
A．10m B．4m
C．5m
D．9m
【考点】二次函数的应用．
【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即y=
0.2x
﹣
2+1.6x+1.8=0，解方程即可．在实际问
题中，注意负值舍去．
【解答】解：由题意可知，把y=0 代入解析式得：
y=
0.2x
﹣
2+1.6x+1.8=0，
解得x1=9，x2=
1
﹣（舍去），
即该运动员的成绩是9 米．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是
求x 的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．某漫画兴趣小组的学生将自己画的漫画向本组其他成员各赠送一幅，全组共互赠了380 幅，
如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是( )
A．x（x+1）=380 B．x（x
1
﹣）=380×2 C．x（x
1
﹣）=380 D．2x（x+1）=380
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】如果全组有x 名同学，根据小组的学生将自己画的漫画向本组其他成员各赠送一幅，
全组共互赠了380 幅，列出方程即可．
【解答】解：设全组有x 名同学，每名同学要送出漫画（x
1
﹣）幅；
总共送的张数应该是x（x
1
﹣）=380．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意后，类比数线段来做，互赠张数就
像总线段条数，人数类似线段端点数．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列
结论：①abc＞0，②a
b+c=0
﹣
，③2a+b＜0，④b2
4ac
﹣
＜0，其中正确的是( )
A．①②③④B．①③④
C．①③D．①②
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数图象开口向上，判断a 大于0，与y 轴交于负半轴，判断c 小于0，对称轴
为直线x=1，判断b＜0，据此对①作出判断；根据对称轴为直线x=1，即可对③作出判断；根
据二次函数对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），进而得到二次函数图象与x 轴另一个交点为
（﹣1，0），坐标代入解析式，即可对②作出判断；根据二次函数图象与x 轴有两个交点，即可
对④作出判断．
【解答】解：∵二次函数图象开口向上，
a
∴＞0，
∵二次函数图象与y 轴交于负半轴，
c
∴＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴
，
b
∴＜0，2a+b=0，
abc
∴
＞0，
∴①正确，③错误，
∵二次函数图象经过（3，0），对称轴为x=1，
∴二次函数图象与x 轴另一个交点为（﹣1，0），
a
b+c=0
∴﹣
，②正确；
∵二次函数与x 轴有两个交点，
b
∴2
4ac
﹣
＞0，④错误，
综上①②正确，
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项
系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下
开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab＞0），对
称轴在y 轴左侧； 当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右侧；常数项c 决定抛物线与y
轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b2
4ac
﹣
＞0 时，抛
物线与x 轴有2 个交点；△=b2
4ac=0
﹣
时，抛物线与x 轴有1 个交点；△=b2
4ac
﹣
＜0 时，抛物
线与x 轴没有交点．
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，计18 分）
11．关于x 的一元二次方程x2
mx+2m=0
﹣
的一个根为1，则方程的另一根为﹣
2 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】将该方程的已知根1 代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可
求出另一根的值．
【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x=1，
则
，解方程组可得
．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，列方程组时要注意各系数的正负，避免出
错．
12．如图，设P 是等边三角形ABC 内任意一点，△ACP′是由△ABP 旋转得到的，则PA＜
PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）
【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．
【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即
可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．
又AB=BC＞PA，
PA
∴
＜PB+PC．
【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边．
13．已知x1，x2是方程x2
5x=0
﹣
的两个实数根，则x1+x2的值是5．
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2
5x=0
﹣
的两个实数根，
x
∴1+x2=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关键，解题的关键是熟记x1，x2是一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ．
14．抛物线y=﹣x2可以看作是抛物线y=﹣（x
4
﹣）2向左平移
4 个单位
得到的．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用二次函数图象平移规律进而得出答案．
【解答】解：抛物线y=﹣（x
4
﹣）2的顶点坐标是（4，0），抛物线y=﹣x2的顶点坐标是（0，
0）．
抛物线y=﹣（x
4
﹣）2的顶点向左平移4 个单位即可得到（0，0）．
即抛物线y=﹣x2可以看作是抛物线y=﹣（x
4
﹣）2向 左平移4 个单位得到的．
故答案是：向左平移4 个单位．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
15．如图，△ABC 内接于⊙O，OD BC
⊥
于点D，∠A=55°，则∠OCD 的度数是35°．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心
角的一半，即可求得∠BOC 的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD
的度数．
【解答】解：连接OB，
A=5
∵∠
5°，
BOC=2 A=110°
∴∠
∠
，
OB=OC
∵
，
OCD= OBC=
∴∠
∠
=35°．
故答案为：35°．
【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意掌握辅助线
的作法，注意数形结合思想的应用．
16．某种商品每件进价为30 元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（30≤x≤40，且x 为整
数）出售，可卖出（40
x
﹣）件，若使利润最大，每件的售价应为35 元．
【考点】二次函数的应用．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每
件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【解答】解：设最大利润为w 元，
则w=（x
30
﹣
）（40
x
﹣）=﹣（x
35
﹣
）2+25，
30≤x≤40
∵
，
∴当x=35 时，二次函数有最大值25．
故答案是：35．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题
为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题（共9 小题，计72 分，解答应写出过程）
17．解方程：x（x
3
﹣）=6+3x．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先去掉括号，再把3x 移到等号的左边，然后再在等式的左右两边同时加上一次项系
数﹣6 的一半的平方，得出（x
3
﹣）2=15，再开方即可．
【解答】解：x（x
3
﹣）=6+3x，
x2
3x
3x=6
﹣
﹣
，
x2
6x=6
﹣
，
x2
6x+9=15
﹣
，
（x
3
﹣）2=15，
x
3=±
﹣
，
x1=3+
，x2=3﹣
．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍
数．
18．如图，△ABC 绕点C 旋转后，顶点A 旋转到了点A′，画出旋转后的三角形并指出一个旋
转角．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】利用旋转的性质，结合旋转角定义得出答案．
【解答】解：如图所示：△A′B′C 即为所求，旋转角为∠ACA′．
【点评】此题主要考查了旋转变换，得出对应点位置是解题关键．
19．抛物线y=2x2
m
﹣
与x 轴并于A、B 两点，与y 轴交于点C，若∠ACB=90°，求抛物线的解
析式．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】由条件可用m 表示出A、B、C 的坐标，再由条件可得到OA=OB=OC，可求得m 的值，
可求得抛物线解析式．
【解答】解：∵抛物线与x 轴交于点A、B，与y 轴交于点C，
A
∴（﹣
，0），B（
，0），C（0，﹣m），
又∵∠ACB=90°，且y 轴是抛物线的对称轴，
ABC
∴△
是等腰直角三角形，
OA=OB=OC
∴
，
∴
=m，即=m2，解得m=0（不合题意，舍去）或m= ，
y=2x
∴
2﹣．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，利用抛物线与x 轴的交点及等腰三角形的
性质得到关于m 的方程是解题的关键．
20．随着经济的发展，铁路客运量不断增长，为了满足乘客需求，火车站开始启动了扩建工程，
其中某项工程，乙队单独完成所需时间比甲队单独完成所需时间少4 个月，并且两队单独完
成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的4.8 倍，求甲、乙两队单独完成这
项工程各需几个月？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设甲队单独完成这项工程需要x 个月，则乙队单独完成这项工程需要（x
4
﹣）个月，根
据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的4.8 倍建立方程求
出其解即可．
【解答】解：设甲队单独完成这项工程需要x 个月，则乙队单独完成这项工程需要（x
4
﹣）个月，
由题意，得
x（x
4
﹣）=4.8（x+x
4
﹣），
解得：x1=1.6（舍去），x2=12．
乙队单独完成这项工程需要12
4=8
﹣
个月
答：甲队单独完成这项工程需要12 个月，乙队单独完成这项工程需要4 个月．
【点评】本题考查了工程问题的数量关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二
次方程的解法的运用，解答时根据两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所
需时间之和的4.8 倍建立方程是关键．
21．⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点P，已知AP=9cm，PB=3cm，∠CPA=30°，求弦CD 的长．
【考点】垂径定理；含30 度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】过点O 作OE CD
⊥
于点E，连接OC，先根据AP=9cm，PB=3cm 得出AB=12cm，故可
得出OP=3cm，再由直角三角形的性质求出OE 的长，根据勾股定理求出CE 的长，由垂径定
理即可得出结论．
【解答】解：过点O 作OE CD
⊥
于点E，连接OC，
AP=9cm
∵
，PB=3cm，
AB=12cm
∴
，
OC=OB=6cm
∴
，
OP=6
3=3cm
∴
﹣
．
CPA=30°
∵∠
，
OE=
∴
OP= （cm），
CE=
∴
=
（cm）．
OE
∵
过点O 且OE CD
⊥
，
CD=2CE=3
∴
（cm）．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．如图，M、N 分别是x、y 轴上一点，M 从坐标（8，0）开始以每秒2 个单位的速度沿x 轴向
O 点移动，N 从坐标（0，0）开始以每秒3 个单位的速度沿y 轴向上移动，若M、N 两点同时出
发，经过几秒，使得△MNO 的面积为9 个平方单位？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】可设经过x 秒，使得△MNO 的面积为9 个平方单位，根据三角形面积公式列出方程
求解即可．
【解答】解：设经过x 秒，使得△MNO 的面积为9 个平方单位，依题意有
×3x（8
2x
﹣
）=9，
解得x1=1，x2=3．
答：经过1 秒或3 秒，使得△MNO 的面积为9 个平方单位．
【点评】考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．如图，A、B、C、D 是半径为10 的⊙O 上的四点，其中∠CAD= ABD°=60°
∠
．
（1）求证：△ACD 是等边三角形；
（2）求圆心O 到CD 的距离OE．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠ACD= ABD=60°
∠
，再根据三角形的内角和定理求出
∠ADC=60°，然后根据等边三角形的判定即可证明△ACD 是等边三角形；
（2）连接OC，由等边三角形的性质可知，∠OCE=30°，根据OC=10 利用直角三角形的性质即
可得出结论．
【解答】（1）证明：在△ACD 中，
CAD= ABD=60°
∵∠
∠
，∠ACD= ABD
∠
，
ACD=60°
∴∠
，
ADC=180°
CAD
ACD=180°
60°
60°=60°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
﹣
﹣
，
ACD
∴△
是等边三角形；
（2）解：连接OC，
ACD
∵△
为等边三角形，⊙O 为其外接圆，
O
∴
也为△ACD 的内心，
CO
∴
平分∠ACD，
OCE=30°
∴∠
，
OE=
∴
OC=5．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识，将各知识点
有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力．
24．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园，想
在里面种些花草，篱笆只围AB、BC 两边．
（1）若花园的面积为252m2，求AB 的长度；
（2）若在P 处有一棵树，与墙CD、AD 的距离分别是17m 和8m，要将这棵树围在花园内（含
边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据AB=x 米可知BC=（32
x
﹣）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；
（2）根据P 处有一棵树与墙CD、AD 的距离分别是18 米和8 米求出x 的取值范围，再根据
（1）中的函数关系式即可得出结论；
【解答】解：（1）设AB=x 米可知BC=（32
x
﹣）米，根据题意得：x（32
x
﹣）=252．
解这个方程得：x1=18，x2=14，
答：AB 的长度18m 或14m．
（2）设周围的矩形面积为S，
则S=x（32
x
﹣）=﹣（x
16
﹣
）2+256．
∵在P 处有一棵树与墙CD，AD 的距离是17m 和8 米，
8≤x≤15
∴
．
∴当x=15 时，S 最大=﹣（15
16
﹣
）2+256=255（平方米）．
答：花园面积的最大值是255 平方米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解答此
题的关键．
25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴交于A（2，0）、B 两点，与y 轴交于点C．
（1）求b 的值；
（2）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）以点B 为直角顶点，BC 为直角边作Rt
BCD
△
，CD 交抛物线于第二象限的点P，若
PC=PD，求P 点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A 点坐标代入即可求出；
（2）直接用对称轴公式与顶点坐示公式计算即可；
（3）连接BP，则BP 直角角三角形斜边CD 上的中线，即BP=CP，连接OP，可证△BPO 与
△CPO 全等，从而OP 平分∠BOC，设出P 点坐标代入抛物线解析式即可解出．
【解答】解：（1）将A（2，0）代入y=﹣x2+bx+4 得b=
1
﹣．
（2）对称轴
．
，
∴顶点坐标：（﹣1，）．
（3）连接PB，PO，如图，
令
，解得x1=
4
﹣，x2=2，
B
∴（﹣4，0），
当x=0 时，y=4，
C
∴（0，4），
OB=OC
∴
，
在Rt
BDC
△
中，∵PC=PD，
BP=PC
∴
，
在△BPO 和△CPO 中，
，
BPO
CPO
∴△
△
≌
（SSS），
OP
∴
平分∠COB，
设P（m，﹣m），
则有
，解得：m=
，
又P 在第二象限，
P
∴（
，
）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴公式与顶点坐标公式、直
角三角形斜中线定理、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等多个知识点，有一定综
合性，难度适中．第（3）问当中，证明△BPO
CPO
≌△
是关键．
