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4.4 正余弦定理
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考点一 正余弦定理的选择
【例1】（1）（2024 浙江·阶段练习）在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知
，
，
，则
（2）（2024 河南郑州·期中）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
则
（3）（2024 海南海口·期中）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
，则
.
（4）（2024 云南曲靖·阶段练习）在
中，三边长分为
，则最大角和最小角之和是
【一隅三反】
1．（2024 湖北省）在△ABC 中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 浙江绍兴·期中）在
中，角
的对边分别为
，若
，则
中角B 的
大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023·课时练习）在△ABC 中，
，B＝45°，解这个三角形．
4．（2023 湖北）在
中，
，
，
，求a，c 的值．
考点二 边角互换
【例2】（1）（2024·内蒙古赤峰）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，
则角
=
（2）（2024·内蒙古赤峰）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，
则角
=
（3）（2024·江西九江·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
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（4）（2024·云南·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
.
角
=
（5）（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知
分别为
的内角
的对边，且
.
角
=
（6）（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形
中，角
所对的边分别为
，在
（7）
（8）
的面积为
则角
=
（7）（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形
中，角
所对的边分别为
，在
则角
= 。
（8）（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形
中，角
所对的边分别为
，在
的面积为
则角
=
【一隅三反】
1．（2024 广西·高三阶段练习）已知
中，
，
，则
______.
2．（2024 广东珠海·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，则
角B=
3．（2024·四川南充·模拟预测）在
中，
，则角
=
4．（2024·湖南·期中）已知
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
．
6
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5．（2024 浙江绍兴·期中）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
则角
6．（2024·安徽合肥·一模）在
中，内角
的对边分别为
，若
，且
，则
。
7．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，其中，
，角B=
考点三 三角形形状的判断
【例3-1】（2024 江苏盐城·期中）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
则△ABC 一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等边三角形
【例3-2】（2024·陕西渭南·三模）已知
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
，
且
，则
是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【例3-3】（2023·甘肃酒泉·三模）
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，且
，
则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形
D．钝角三角形
【例3-4】（2024 山东临沂·阶段练习）（多选）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说
法中正确的是（ ）
A．若
，则
一定是等腰三角形
B．若
，则
一定是等边三角形
C．若
，则
一定是等腰三角形
D．若
，则
一定是钝角三角形
【一隅三反】
1．（2024 安徽宿州·期中）在
中，内角
的对边分别为
若满足
，则该三角形为
（ ）
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A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．不能确定
2．（2024 广东广州·期中）在
中，角A、B、C 所对的边为a、b、c 若
，则
的形状是
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知
的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
，
且
，则
的形状为（ ）
A．等边三角形
B．顶角为
的等腰三角形
C．顶角为
的等腰三角形
D．等腰直角三角形
4．（2024·辽宁沈阳·二模）（多选）设
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，．下列有关等
边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若
，则
是等边三角形
B．若
，则
是等边三角形
C．若
，则
是等边三角形
D．若
，则
是等边三角形
考点四 三角形面积
【例4-1】（2024·山东·模拟预测）
内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，则
的面积为 .
【例4-2】（2024·重庆·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，若
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-3】（2024·吉林长春·模拟预测）在
中，已知
，当边BC 的中线
时，
的面积为 ．
【一隅三反】
1．（2024·北京昌平·二模）已知
中，
，则
．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
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，则
的面积为 .
3．（2024·贵州 ）在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
，则
的面积为______.
考点五 三角形外接圆的半径
【例5】（2024·河南信阳·模拟预测）设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，则
的外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·上海徐汇·二模）在
中，
，
，
，则
的外接圆半径为 .
2．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为
，，
，则这个三角形外接圆的直径为
.
3．（2024·四川·模拟预测）已知
的三内角
，
，
满足
，则
的
面积与
外接圆的面积之比为 ．
考点六 三角形解的个数
【例6-1】（2024·江西上饶·一模）
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知下列条件：①
，
，
；②
，
，
；③
，
，
；④
，
，
.其中满
足上述条件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
【例6-2】（2024·湖北·模拟预测）在
中，已知
，
，
，若存在两个这样的三角形
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-3】．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为
，则能使同时满足条
件
的三角形不唯一的a 的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 浙江·期中）在
中，
，且满足该条件的
有两个，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江苏 ）在
中，内角
所对的边分别为
，则下列条件能确定三角形有两解的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 陕西宝鸡·期末）在
中，若
，
，
，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不能确定
考点七 正余弦定理在实际生活的应用
【例7-1】（2024 全国·专题练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶
镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有
时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为
此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为
，沿倾斜角为
的斜坡向上走了90 米到
达B 点（A，B，P，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为
，则鼎湖峰的山高PQ 为（ ）米
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2024·吉林·二模）如图，位于某海域
处的甲船获悉，在其北偏东
方向
处有一艘渔船遇险后
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抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东
，且与甲船相距
的
处的乙船，已知遇险
渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小
镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移
，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
，已知
人的眼睛距离地面的高度为
，则钟楼的高度大约是（ ）
A．
B．
C．
D．
2 ．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工
攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在
点处的测量觇标高
米，攀登者们在
处测得，到觇标底点
和顶点
的仰角分别为
，则
的高度差约为（ ）
A．7.32 米
B．7.07 米
C．27.32 米
D．30 米
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3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591 年），因鸿雁南北迁徙时常
在境内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限
制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，
在水平地面上，来雁塔
AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得
，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E
点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（ ）（
，精确到
）
A．
B．
C．
D．
考点八 正余弦定理在几何中的应用
【例8】．（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形
中，有：
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求平行四边形
的面积.
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【一隅三反】
1．（2023 广东珠海·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)已知
，D 为边
上的一点，若
，
，求
的长．
2．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形
中，
的面积
为
．
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(1)求
；
(2)证明：
．
3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形
中，对角线
与
相交于点
，
，
，
，
.
(1)求
的面积；
(2)求
的值及
的长度.
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一．单选题
1．（2024 辽宁沈阳·期中）在
中，若
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
2．（2024·辽宁丹东·二模）在△
中，点D 在
边上，
平分
，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
3．（2024 湖北）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·江苏南通）如图所示，河边有一座塔
，其高为
，河对面岸上有
两点与塔底
在同一
水平面上，在塔顶部测得
两点的俯角分别为
和
，在塔底部
处测得
两点形成的视角为
，
则
两点之间的距离为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则边b 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6（2024·江苏无锡 ）在锐角
中，内角
的对边分别为
，
，，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·广西柳州 ）在
中，角
的边分别为
，知
，
，则下列判断中错误的是
（ ）
A．若
，则
B．若
该三角形有两解
C．
周长的最小值为12
D．
面积的最大值
8．（2024·福建福州·三模）已知
的内角
的对边分别为
若面积
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024·广西桂林·三模）在
中，
，
，
，则（ ）
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A．
B．
C．
的面积为
D．
外接圆的直径是
10．（2024 辽宁朝阳·期中）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，若
满足要求的△ABC 有且只有1 个，则b 的取值可以是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
11．（2024·江西·二模）已知
中，
为
的角平分线，交
于点
为
中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．
在
的外接圆上，则
的最大值为
三．填空题
12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内
有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量
海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点
处测得塔顶
的仰角为
，然后沿点
向塔的正前方走了38m
到达点
处，此时测得塔顶
的仰角为
，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到
0.1）
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13．（2024 天津·期中）若
是钝角三角形，
，
，
，则x 的取值范围是 ．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，则
面积的最大值为 .
四．解答题
15．（2024 江苏无锡·期中）记
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长
16．（2024·安徽芜湖·三模）已知
分别为
三个内角
的对边，且
(1)求
；
(2)若
的面积为
，
为
边上一点，满足
，求
的长．
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17．（2024·天津·二模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
①求
的值：
②求
的值.
18．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）在①
，②
中任选一个作为已知条件，补
充在下列问题中，并作答.
问题：在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知_________.
(1)求
；
(2)若
的外接圆半径为2，且
，求
.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
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19．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形
中，
.
(1)若
四点共圆，求
；
(2)求四边形
面积的最大值.
20
