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用相似三角形解决问题—知识讲解（基础）
责编：常春芳
【学习目标】
1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；
2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把
实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有
被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称
为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本
身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小
在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长
也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同
时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
要点二、中心投影
若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中
心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪
的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远
的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越
远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在
同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
要点诠释：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方
向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
要点三、中心投影与平行投影的区别与联系
1.联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，
通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡
的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一
灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯
光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
2.区别：
（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子
与物体高度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不
同方向.
要点诠释：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进
一步解决问题.
要点四、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清ID 号：394500 关联的位置名称（播放点名称）：应用
举例及总结】
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB
的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.
要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=
；
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于
其对应高的比；
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典型例题】
类型一、投影的应用
1．（2015 秋•无锡校级月考）如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯B．当他走到点P 时，发现他身后
影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部；当他向前再步行12m 到达点Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接
触到路灯B 的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B 的底部时，他在路灯A 下的影长是多少？
【思路点拨】
（1）如图1，先证明△APM
ABD
△
∽
，利用相似比可得AP= AB，再证明△BQN
BAC
∽△
，利用
相似比可得BQ= AB，则AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；
（2）如图1，他在路灯A 下的影子为BN，证明△NBM
NAC
∽△
，利用相似三角形的性质得
=
，
然后利用比例性质求出BN 即可．
【答案与解析】
解：（1）如图1，
NM BD
∥
∵
，
APM
ABD
∴△
△
，
=
，即
=
，
AP=
∴
AB，
FQ AC
∵
∥
，
BNF
BAC
∴△
△
∽
，
∴
=
，即
=
，
BQ=
∴
AB，
而AP+PQ+BQ=AB，
∴AB+12+ AB=AB，
AB=18
∴
．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A 下的影子为BN，
BM AC
∵
∥
，
NBM
NAC
∴△
△
∽
，
∴
=
，即
=
，解得BN=3.6．
答：当他走到路灯B 时，他在路灯A 下的影长是3.6m．
【总结升华】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等
和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
举一反三
【变式】（2014 秋•昆明校级期末）已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻，
AB 在阳光下的投影BC=4m．
（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；
（2）在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m，请你计算DE 的长．
【答案】
解：（1）作法：连接AC，过点D 作DF AC
∥
，交直线BE 于F，
则EF 就是DE 的投影．（画图（1 分），作法1 分）．
（2）∵太阳光线是平行的，
AC DF
∴
∥
．
ACB= DFE
∴∠
∠
．
又∵∠ABC= DEF=90°
∠
，
ABC
DEF
∴△
△
∽
．
∴
=
，
AB=5m
∵
，BC=4m，EF=6m，
∴
，
DE=7.5
∴
（m）．
2．如图，王琳同学在晚上由路灯A 走向路灯B，当他行到P 处时发现，他在路灯B 下的影长为2 米，
且恰好位于路灯A 的正下方，接着他又走了6.5 米到Q 处，此时他在路灯A 下的影子恰好位于路灯B 的
正下方（已知王琳身高1.8 米，路灯B 高9 米）
（1）标出王琳站在P 处在路灯B 下的影子；
（2）计算王琳站在Q 处在路灯A 下的影长；
（3）计算路灯A 的高度．
【答案与解析】
解：（1）线段CP 为王琳在路灯B 下的影长；
（2）由题意得Rt
CEP Rt
CBD
△
△
∽
，
∴
，
∴
，
解得：QD=1.5 米；
（3）∵Rt
DFQ Rt
DAC
△
△
∽
，
∴
，
∴
，
解得：AC=12 米．
答：路灯A 的高度为12 米．
【总结升华】此题考查的是中心投影；相似三角形的应用．
类型二、相似三角形的应用
3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B 之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
【答案与解析】如上图，先从B 点出发与AB 成90°角方向走50m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续
向前走10m 到C 处，在C 处转90°，沿CD 方向再走17m 到达D 处，使得A、O、D 在同一条直线上．那么A、
B 之间的距离是多少？
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠ABO=∠DCO=90°
又 ∵ ∠AOB=∠DOC
∴△AOB∽△DOC.
∴
∵BO=50m，CO=10m，CD=17m
∴AB=85m
即河宽为85m．
【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线
段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.
4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好
与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.
【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE
(2)由(1)得△ABC∽△ADE
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴
∴DE=16m
即古塔的高度为16m。
【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.
举一反三
【变式】小明把一个排球打在离他2 米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度
是1.8 米，排球落地点离墙的距离是7 米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的
地方？
【答案】
解：如图，∵AB=1.8 米，AP=2 米，PC=7 米，作PQ⊥AC,
∵∠BPQ=∠QPD,∴∠APB=∠CPD，
∵∠BAP=∠DCP=90°，
∴ △ABP∽△CDP,
∴
AB
AP
DC
PC
,
即
1.8
2
7
DC
,
∴DC=6.3 米.
即球能碰到墙上离地6.3 米高的地方.
