备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考试要求】
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d<r
2.圆与圆的位置关系(⊙O，⊙O 的半径分别为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2 1 2
图形 量的关系
外离 d > r ＋ r
1 2
外切 d ＝ r ＋ r
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r
1 2 1 2内切 d ＝ | r － r|
1 2
内含 d < | r － r|
1 2
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，
得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为
1 1 1 1 2 2 2 2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验
1 1 1 2 2 2 2
C 是否满足题意，以防丢解)．
2
1.（多选）下列结论正确的是( )
A若两圆没有公共点，则两圆一定外离．
B若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．
C若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．
D在圆中最长的弦是直径．
【答案】CD
2．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
【答案】 A
【解析】 圆心到直线的距离为d＝＝1<4，所以直线与圆相交．
3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．4 B．2 C. D.【答案】 B
【解析】 ∵x2＋y2－2x－4y＝0，
∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，
又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，
∴直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.
4．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是 （ ）
A.相交 B.内切
C.外切 D.内含
【答案】B
【解析】 两圆方程可化为x2＋（y－1）2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O（0，1），O
1 2
（0，0），半径分别为r＝1，r＝2.因为｜OO｜＝1＝r－r，所以两圆内切.
1 2 1 2 2 1
5．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为 .
【解析】由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线
斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，所以
|k×0−0+1−3k|
＝3，解得k＝
❑√k2+(−1)2
4
－ ，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
3
【答案】x＝3或4x＋3y－15＝0
考点一 直线与圆的位置关系
角度1 位置关系的判断
例1（2023·衡水模拟）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位
置关系是 （ ）
A.相交 B.相切 C.相离D.不确定
【答案】A
{mx- y+1−m=0,
【解析】 法一（代数法）：由 消去y，整理得（1＋m2）x2－
x2+(y-1)2=5
2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交.
|-m|
法二（几何法）：由题意知，圆心（0，1）到直线l的距离d＝ ＜1＜❑√5
❑√m2+1
，故直线l与圆相交.法三：易得直线l过定点（1，1）.把点（1，1）代入圆的方程有1＋0＜5，所
以点（1，1）在圆的内部，故直线l与圆C相交.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【对点演练1】直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
【答案】 C
【解析】 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定
点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－
y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．
【对点演练2】(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，
点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】 ABD
【解析】 圆心C(0,0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，
所以d＝>|r|，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
角度2 根据位置关系求参数（范围）
例2 若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(
)．
A．[－，] B．(－，) C D.
【解析】 设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0
则：≤1.解得：k2≤，即－≤k≤.
【答案】 C
已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离
d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
【对点演练1】若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是
.
|a-0+1|
【解析】由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为❑√2，∴ ≤❑√2，即｜a＋
❑√12+(−1)2
1｜≤2，解得－3≤a≤1.
【答案】[－3，1]
【对点演练2】若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则
实数r的取值范围是 .
2
【解析】计算得圆心到直线l的距离为 ＝❑√2＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，
❑√2
l，l 与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 的距
1 2 2
离❑√2＋1.
【答案】（❑√2＋1，＋∞）
【对点演练2】（2023安徽亳州联考模拟预测）若两条直线 ： ， ： 与
圆 的四个交点能构成矩形，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A
【详解】由题意直线 平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆 的圆心为： ，
圆心到 的距离为：
，
圆心到 的距离为：
，
所以 ，
由题意 ，
所以 ，
故选：A.
考点二 圆的弦长问题
例3（1）已知圆x2＋y2＝1截直线y＝k（x＋1）（k＞0）所得弦长为1，则k＝（ ）
1 ❑√3
A. B. C.1 D.❑√3
2 3
（2）（多选）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直线l：（2m－1）x＋（m－1）y－
3m＋1＝0.下列说法正确的是 （ ）
A.直线l恒过定点（2，1）
B.圆C被y轴截得的弦长为2❑√15
C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0
D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0
【解析】 （1）由题可知圆x2＋y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，圆心到直线y＝k（x
|k| (1) 2 k2 1
＋1）的距离d＝ .由r2＝d2＋ 得1＝ ＋ ，得k2＝3.又因为k＞0，所以k＝
❑√k2+1 2 k2+1 4
❑√3.故选D.（2）对于A，将直线l的方程整理为m（2x＋y－3）＋（－x－y＋1）＝0，由
{-x- y+1=0, { x=2,
得 无论m为何值，直线l恒过定点（2，－1），故A不正确；对
2x+ y-3=0 y=−1,
于B，将x＝0代入圆C的方程，得（y－1）2＝15，解得y＝1±❑√15，故圆C被y轴截得的
弦长为2❑√15，故B正确；对于C，无论m为何值，直线l不过圆心（1，1），即直线l被
圆C截得的弦长不存在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直
1 1
于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为 ，此时直线l的方程为y＋1＝ （x－2），即x
2 2
－2y－4＝0，故D正确.综上所述，选B、D.
【答案】 （1）D （2）BD
【对点演练1】(2023·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么
实数k的值为( )
A．± B. C. D．±
【答案】 D
【解析】 圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，
点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝，
则弦长为2＝2，得2＝2，
解得k＝±.
弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
【对点演练2】(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于
A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________．
【答案】 x＝0或3x＋4y－4＝0
【解析】 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为|AB|＝2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1，
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；
当直线l斜率存在时，设斜率为k，
直线l的方程为y＝kx＋1，
则圆心(－1,3)到直线l的距离d＝＝1，
解得k＝－，
此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.【对点演练3】（2023新课标全国Ⅱ卷）2．已知直线 与
交于A，B两点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值______．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
考点三 圆的切线问题
例4 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又k ＝＝－1，
PC
∴过点P的切线的斜率为－＝1，
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外．
当过点M的直线的斜率不存在时，
直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的
0 0
距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元
0 0
二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
【对点演练1】(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C ：x2＋y2＝1，C ：(x－4)2＋
1 2
y2＝1，若直线l与C ，C 都相切，则k＝________，b＝________.
1 2
【解析】 由题意，两圆圆心C (0,0)，C (4,0)到直线l的距离等于半径，即＝1，＝1，所
1 2
以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.
考点四 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例5（1）（2023北京海淀北大附中三模）已知圆 ，直线 上动
点 ，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】圆 ： 中，圆心 ，半径
设 ，则 ，
则 ,
当 时， ，
故选：C（2）(2023·龙岩模拟)已知点P(x，y)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2
0 0
＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________．
【答案】 2
【解析】 由圆O：x2＋y2＝2，得r＝，
四边形PAOB的面积S＝2S ＝|PA|·|AO|＝|PA|，
△PAO
∵点P(x，y)是直线l：x＋y＝4上的一点，
0 0
∴P(x，4－x)，
0 0
则|PA|＝＝，
又|PO|2＝x＋(4－x)2＝2x－8x＋16＝2(x－2)2＋8≥8，
0 0 0
∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥，
∴四边形PAOB的面积的最小值为×＝2.
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线
段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结
果．
【对点演练1】.若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：（x－2）2＋y2＝4交于A，B两点，当｜
AB｜最小时，劣弧AB的长为 （ ）
π
A. B.π C.2π D.3π
2
【解析】B 直线x＋ay－a－1＝0可化为（x－1）＋a（y－1）＝0，则当x－1＝0且y－1
＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M（1，1），又圆的圆心为C
（2，0），半径r＝2，当MC⊥AB时，｜AB｜取得最小值，且最小值为2❑√r2-|MC|2＝2
π π
❑√4−2＝2❑√2，此时弦长AB所对的圆心角为 ，所以劣弧AB的长为 ×2＝π.
2 2
【对点演练2】（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线 与圆
，过直线 上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线
段 长度的最小值为 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】圆 ，设 ，
则 ，则 ， ，
则 ，所以圆心 到直线 的距离是 ，
，得 ， ．
故选：A．
【对点演练3】(2023·昆明模拟)直线2x·sin θ＋y＝0被圆x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦长的最
大值为( )
A．2 B．2 C．3 D．2
【答案】 D
【解析】 易知圆的标准方程为x2＋(y－)2＝3，所以圆心为(0，)，半径r＝，
由题意知圆心到直线2x·sin θ＋y＝0的距离d＝<，解得sin2θ>，
所以弦长为2＝2，
因为<4sin2θ＋1≤5，
所以1≤<3，
所以2＝2∈(0,2]．
所以当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值2.
【对点演练4】（2023全国乙卷）3．已知实数 满足 ，则 的
最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
考点五 圆与圆的位置关系
例6．已知两圆C ：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C ：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
1 2
（1）求证：圆C 和圆C 相交；
1 2
（2）求圆C 和圆C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
1 2
解 （1）证明：圆C 的圆心C （1，3），半径r ＝❑√11，
1 1 1
圆C 的圆心C （5，6），半径r ＝4，两圆圆心距d＝｜C C ｜＝5，r ＋r ＝
2 2 2 1 2 1 2
❑√11＋4，｜r －r ｜＝4－❑√11，
1 2
所以｜r －r ｜＜d＜r ＋r ，所以圆C 和圆C 相交.
1 2 1 2 1 2
（2）圆C 和圆C 的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，
1 2
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
|20+18-23|
圆心C （5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝ ＝3，
2 ❑√16+9
故公共弦长为2❑√16−9＝2❑√7.
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关
系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
【对点演练1】.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有 （ ）A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析：D x2－4x＋y2＝0⇒（x－2）2＋y2＝22，圆心坐标为（2，0），半径为2；x2＋y2＋4x
＋3＝0⇒（x＋2）2＋y2＝12，圆心坐标为（－2，0），半径为1，两圆圆心距为4，半径和
为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故选D.
【对点演练2】(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一
条直线的方程________．
【答案】 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方
程中的一个即可)
【解析】 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的
1
圆心为A(3,4)，半径r＝4，
2
所以|OA|＝5，r＋r＝5，所以|OA|＝r＋r，所以两圆外切，公切线有三种情况：
1 2 1 2
①易知公切线l 的方程为x＝－1.
1
②另一条公切线l 与公切线l 关于过两圆圆心的直线l对称．
2 1
易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，
由得
由对称性可知公切线l 过点.
2
设公切线l 的方程为y＋＝k(x＋1)，
2
则点O(0,0)到l 的距离为1，
2
所以1＝，解得k＝，
所以公切线l 的方程为y＋＝(x＋1)，
2
即7x－24y－25＝0.
③还有一条公切线l 与直线l：y＝x垂直，设公切线l 的方程为y＝－x＋t，
3 3
易知t>0，则点O(0,0)到l 的距离为1，
3
所以1＝，
解得t＝或t＝－(舍去)，
所以公切线l 的方程为y＝－x＋，
3
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.【对点演练3】.已知圆C ：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C ：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于
1 2
A，B两点.公共弦AB的长为 ，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为 .
【解析】两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.∴圆C 与圆C 的公共弦AB所在的直线方程为x
1 2
{ x-2y+4=0, {x=−4, {x=0,
－2y＋4＝0，联立 解得 或 不妨设A（－4，0），B
x2+ y2+2x+2y-8=0, y=0 y=2,
（0，2），∴｜AB｜＝❑√(-4-0)2+(0−2)2＝2❑√5，以AB为直径的圆即为面积最小的圆，
方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5.
【答案】2❑√5 （x＋2）2＋（y－1）2＝5
一、单选题
1、（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆 ： 与直线 ： 的
位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
直线 ： 即 ，则圆心到直线的距离 ，
所以直线 与圆 相切.
故选：A
2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O：(x－1)2＋y2＝1和圆O：x2＋(y－2)2＝4的
1 2
位置关系是( )
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】 B
【解析】 由题意知，圆O：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O(1,0)，半径r＝1，
1 1 1
圆O：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O(0,2)，半径r＝2，
2 2 2
则两圆的圆心距|OO|＝＝，
1 2
则2－1<<2＋1，即|r－r|<|OO|<r＋r，
2 1 1 2 1 2
所以圆O 与圆O 相交．
1 2
3.圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P（1，❑√3）处的切线方程为 （ ）
A.x＋❑√3y－2＝0 B.x＋❑√3y－4＝0
C.x－❑√3y＋4＝0 D.x－❑√3y＋2＝0【解析】D 圆Q的标准方程为（x－2）2＋y2＝4.∵P（1，❑√3）在圆Q上，∴
所求切线方程为（1－2）·（x－2）＋（❑√3－0）（y－0）＝4，即x－❑√3y＋2＝
0.
4.“点（a，b）在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相
交”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】B 命题p：点（a，b）在圆x2＋y2＝1外等价于a2＋b2＞1，命题q：
2
直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交等价于 ＜1等价于a2＋b2＞4，从
❑√a2+b2
而有p⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.故选B.
5．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】 圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0,2)，而02
＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A.
6.过点A(a,0)(a＞0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切于点B，且|AB|
＝，则△OAB的面积是( )
A. B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】 在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，|AB|＝，故|OB|＝1，所以S ＝|AB||OB|＝，故
△OAB
选B.
7.(2022·深圳模拟)若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m
的取值范围为( )
A．(－18,6] B．[－2,6] C．[－2,18] D．[4,18]
【答案】 C
【解析】 将圆C的方程化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18.
因为圆C上有到(－1,0)的距离为1的点，
所以圆C与圆C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共点，所以|－1|≤|CC′|≤＋1.
因为|CC′|＝＝5，所以|－1|≤5≤＋1，
解得－2≤m≤18.8．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射
光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
答案 D
解析 点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过
点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－
2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得＝1，解得k＝－或k＝－.
二、多选题
9．（2023湖南常德二模）已知圆 和两点 ，若
圆C上存在点P，使得 ，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】由 ，得点P在圆 上，故点P在圆 上，又点P在
圆C上，所以，两圆有交点，
因为圆 的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为 ，半径为1，
所以 ，又 ，所以 ，
解得 ，所以a的最小值为4.
故选：C.
10.设有一组圆C：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是 （ ）
k
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆C 均不经过点（3，0）
k
C.经过点（2，2）的圆C 有且只有一个
k
D.所有圆的面积均为4π
【解析】ABD 圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2
＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；
由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，
∴经过点（2，2）的圆C 有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故
k
选A、B、D.11.已知圆O：x2＋y2－2x－3＝0和圆O：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则 （
1 2
）
A.两圆的圆心距｜OO｜＝2
1 2
B.直线AB的方程为x－y＋1＝0
C.圆O 上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜
2
D.圆O 上的点到直线AB的最大距离为2＋❑√2
1
【解析】BD 由圆O：x2＋y2－2x－3＝0和圆O：x2＋y2－2y－1＝0，可得圆O：（x－
1 2 1
1）2＋y2＝4和圆O：x2＋（y－1）2＝2，则圆O 的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆O
2 1 2
的圆心坐标为（0，1），半径为❑√2，对于A，两圆的圆心距｜OO｜＝
1 2
❑√(1-0)2+(0−1)2＝❑√2，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即
得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O 的圆心（0，
2
1），所以线段AB是圆O 的直径，故圆O 中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆
2 2
|1+1|
O 的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为 ＝❑√2，
1 ❑√2
所以圆O 上的点到直线AB的最大距离为2＋❑√2，故D正确.故选B、D.
1
12.直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为(
)
A．6 B．8
C．12 D．16
【解析】 因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3,3)到直线y＝kx－1的距
离的最大值为＝5.又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为2＝2.又当直线y＝kx－1过圆
心时弦长|AB|取最大值，为直径12，故|AB|∈[2，12]．故选BC.
三、填空题
13/过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是
________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
解析 由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外
接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，|
OP|＝为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
14．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点 ， ，
经过点 作圆 的切线与 轴交于点 ，则 ________．
【答案】【详解】如图所示，设圆心为 点，则 ，
，则点 在圆上，且 ，
由 与圆相切可得 ，所以切线方程为 ，
令 ，解得 ，故 ，
所以
故答案为： .
15.（2023·广东·校联考模拟预测）已知圆 ，过点 的直线 交圆
于 两点，且 ，请写出一条满足上述条件的直线 的方程______.
【答案】 （答案不唯一， 也满足）
【详解】由题意得 ，半径 ， ，
故 在圆外，设O到直线的距离为d，
由 得 ，即 ，
解得 ，
当直线l斜率不存在时，即 ，此时 ，符合题意；
当直线l斜率存在时，设为 ，即 ，
则 ， 即 ，解得 ，故直线为 .
故答案为： （答案不唯一， 也满足）16．（2023·河南驻马店·统考三模）已知圆 与圆 ，写
出圆C和圆E的一条公切线的方程______.
【答案】 或 或 .
【详解】设圆的公切线为 ， ， 或
代入求解得： 或
所以切线为： 或 或
故答案为： 或 或 .
四、解答题
17.已知圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.
（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解：（1）由题意可得C（2，3），直线l与圆C相切，
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意.
当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，
|2k-3-4k-1| 3
∴ ＝2，解得k＝－ ，
❑√1+k2 4
∴直线l的方程为3x＋4y－8＝0，
∴直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
|2+3-3|
圆心C（2，3）到直线l的距离为 ＝❑√2，
❑√2
∴弦长为2❑√22-(❑√2)2＝2❑√2.
18.已知A（2，0），直线4x＋3y＋1＝0被圆C：（x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截
得的弦长为4❑√3，且P为圆C上任意一点.
（1）求｜PA｜的最大值与最小值；（2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解：（1）∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C：（x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦长
为4❑√3，
|-12+3m+1|
∴圆心到直线的距离d＝ ＝❑√(❑√13)2-(2❑√3)2＝1.
5
∵m＜3，∴m＝2，
∴｜AC｜＝❑√(-3-2)2+(2−0)2＝❑√29，
∴｜PA｜的最大值与最小值分别为❑√29＋❑√13，❑√29－❑√13.
（2）由（1）可得圆C的方程为（x＋3）2＋（y－2）2＝13，
令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M（0，4），O（0，0），N（－6，0），
∴△MON为直角三角形，斜边｜MN｜＝2❑√13，
4+6−2❑√13
∴△MON内切圆的半径为 ＝5－❑√13.
2
19.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为2× ＝2.
20．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C
相交；
(2)若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直
线m的方程．
(1)证明 转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，
可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，由解得
所以直线l恒过点(2,3)，
由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，
得点(2,3)在圆内，
即直线l恒过圆内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．
(2)解 由C的圆心为(3,4)，半径r＝2，
易知此时直线m的斜率存在且不为0，
故设直线m的方程为x＝my＋1(m≠0)，
直线m的一般方程为my－x＋1＝0，
圆心到直线m的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝2，
所以S2＝2
＝·，
令t＝，可得S2＝4t－t2，当t＝2时，S＝4，
所以△ABC面积的最大值为2，
此时由2＝，得7m2－8m＋1＝0，
得m＝1或m＝，符合题意，
此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
