圆锥曲线综合检测试卷(一)
考试时间：120 分钟 满分:150 分
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知双曲线－＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M 在双曲线的左支上，且|
MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为( )
(A) (B) (C)2 (D)
2.已知点
,椭圆
与直线
交于点
,则
的周长为( )
(A)
(B) (C)
(D)
3.已知双曲线
的离心率为
,则双曲线
的一个焦点
到它的
一条渐近线的距离为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4.已知等边△AOB(O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y2＝2px(p>0)上，且△AOB 的面
积为9，则p＝( )
(A) (B)3 (C) (D)2
5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
6. 若椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
的离心率为
e=1
2 ，右焦点为F(c ,0)，方程
ax 2+bx −c=0 的两个根分别为m
n
和，则点M (m,n)必在 ( )
(A)圆x2+ y2=2 上 (B)圆x2+ y2=2 外
(C)圆
x2+ y2= 7
4 上 (D)圆
x2+ y2= 7
4 内
7.有一动圆
过定点
,且与已知圆
相切,则动圆圆心
的轨
迹方程是 ( )
(A)
x2
4 −y2
5 =1( x≤−2)
(B)
(C)
(D)
8.设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32
二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.已知椭圆
的左焦点为
,直线
与椭圆相交于点
,当
的周长
最大时，则下列结论正确的是 ( )
(A)实数
(B)
的面积等于
(C)实数
(D)
的面积等于
10.设F 为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2
＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率e 的取值不可能所在区间为( )
(A)(1,] (B)(,] (C)(,2] (D)[,
]
11.已知
分别为椭圆
的左、右顶点,
为椭圆
上一动点,
与直
线
交于
两点,设直线
和
的斜率分别为
和
,且
和
的外接
圆的周长分别为
；则下列结论正确的是 ( )
(A)
(B)
(C)
的最大值为
(D)
的最小值为
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.椭圆＋＝1 上的点到直线x＋2y－＝0 的最大距离是
．
13.已知圆
，抛物线
的准线为,设抛物线上任意一
点
到直线的距离为
,则
的最小值为
．
14.如图,已知
为双曲线
的右焦点,
过点
的直线交两渐近线分别于
两点；若
，
且
内切圆的半径
，则双曲线的离心率
．
四．解答题：本题共5 小题，15 题13 分，16、17 题各15 分，
18、19 题各17 分，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知椭圆T ：
x2
100 + y2
b2 =1(0<b<10)
的离心率为
3
5 .(1)求椭圆T 的方程；(2)在椭圆T
内有一点
,
为T 的左焦点,
是T 上的一动点,设
的最大值和最小值
分别为
和
,求M +m 的值.
16.如图，已知点
为抛物线
的焦点，过点
的
动直线与抛物线
交于
两点，且当直线的倾斜角为
时，
．(1)求抛物线
的方程；(2)试确定在
轴上是否存在点
，使得直线
的斜率之和恒为零?若存在，求出
点的坐标；
若不存在，说明理由．
17.已知双曲线E ：
x2
a2−y2
b2 =1(a,b>0)
的离心率为2 ，点A(a,0)，B(0,−b)，且坐标
原点到直线AB 的距离为
√3
2 .(1)求双曲线E 的方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过
点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q ，点M 为线段PQ 的中点.若点M 在直线
x=−2上的射影为N ，满足⃗PN⋅⃗QN =0,|⃗PQ|=10，求直线l 的方程.
18.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F 的距离为．(1)若
N(－，0)，过点N，P 的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；(2)若直线l2与抛物线C
相交于A，B 两点，与圆M：(x－a)2＋y2＝1 相交于D，E 两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，
试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明由．
19.已知椭圆
的焦距为
,点
关于直线
的对称
点在椭圆
上．（1）求椭圆
的方程；（2）如图，椭圆
的
上、下顶点分别为
，过点
的直线与椭圆
相交于两个不
同的点
．①求
面积的最大值；②当
与
相交
于点
时，试问：点
的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；
若不是，说明理由．
检测试卷(一)答案及详细解析
一、单选题：
1.A 由双曲线定义及题意得，解得|MF1|＝；设双曲线的左顶点为A1，则由|MF1|＝≥|A1F1|＝
c－a，∴离心率e＝≤，故选A．
2.B 因直线
过定点
，而
恰为椭圆
的两个焦点,由椭
圆定义知
的周长为
．故选B.
3.C 依题意,离心率为
,解得
,则
,
从而得渐近线方程为
,则
,得双曲线的焦点坐标为
,
由对称性不妨设
,则
到渐近线
的距离为
,故选
C.(也可利用重要结论:双曲线的焦点到其渐近线的距离为
.)
4.C 根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A，B 两点关于x 轴对称，不妨设直线OA 为
y＝x，与y2＝2px 联立，解得A(6p，2p)，故|AB|＝4p.因为正△AOB 的面积为9，所以×(4p)2
＝9，解得p＝.故选C．
5.B 由于圆上的点
在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，
不合乎题意，所以圆心必在第一象限；设圆心的坐标为
，则圆的半径为
，圆的标
准方程为
. 由题意可得
，可得
，解得
或
，所以圆心的坐标为
或
.圆心
到直线
的距离均为
；圆心
到直线
的距离
均为
；综上圆心到直线
的距离均为
；
即圆心到直线
的距离为
.故选：B.
6.C 由
c
a=e=1
2 ,
得
c=a
2 ；则
b=√a2−c2=√3
2 a
，即
b
a=√3
2 ；由于m,n 为方程
ax 2+bx −c=0 的两个根，由韦达定理得
m+n=−b
a=−√3
2 ①,
mn=−c
a=−1
2
②；将②代入①的平方中得
m2+n2+2mn=m2+n2−1= 3
4 ，即
m2+n2= 7
4 ；故点
M (m,n)必在圆
x2+ y2= 7
4 上.故选C.
7.C 设动圆
的半径为
,则
；已知圆圆心
,半径为
,且点
在
圆
的外部.由于圆
与圆
相切,分情况讨论如下:①当两圆外切时,则有
,即
；②当两圆内切时,则有
,即
.综合①②得
,由双曲线的定义知:动圆圆心
的轨迹是以
为两焦点的双曲线,且
,则
,得其方程为
.故选C.
8.B
,
双曲线的渐近线方程是
,
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点；不妨设
为在第一象限，
在第四象限，联立
，解得
；故
，联立
，解得
，
故
,
面积为：
，
双曲线
；
其焦距为
，当且仅当
取等号，
的焦距的最小值为
.故选B.
二、多选题
9.BC 设椭圆的右焦点为
,由椭圆定义与几何性质可知,
周长
,当且仅当直线
过右焦点
时取等号；
易知
,即当
时,
.将
,代入
中,解得
,故此
时
.
10.BCD 如图，连接OP，又∵|PQ|＝|OF|＝c，即线段PQ 也是以OF 为直径圆的直径，∴PQ
过圆心(，0)，易得P(，)．又∵|OP|＝a，∴a2＝()2＋()2＝，∴()2＝2，∴离
心率e＝＝
(1,]不符合要求,显然其它三个选项符合结论要求.故选
BCD．
11.BD 易知
, 设
, 则
, 即
,故得
. 设直线
方程为
, 直线
方程为
,易得
；不妨设
,则
,设
和
外接圆的半径分别为
和
,由正弦定理得
,且
,即
,所以
(当且仅当
,即
时取等号),故
.
三、填空题
12. 设椭圆＋＝1 上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－＝0 的距离为d＝＝，
∴dmax＝＝；故填.
13.
由题意得圆
的方程为
,得圆心
．由抛物线定义
知，当
最小时为圆心
与抛物线焦点
间的距离，即
.故填
.
14.
因焦点
到其渐近线的距离为
,且
,则
,在
中,由余弦定理得
,即
, 解得
. 设
的内心为
, 作
于
,易知
且
,则
，
则
,
则
,故
.故填
.
四、解答题
15.(1)
；(2)
.
解:(1)依题意,这里
a=10,e= c
a= c
10 =3
5 ,解得c=6 ，则b2=a2−c2=64 ，故椭圆T
的方程为
.
(2)如图,设椭圆
的右焦点为
.由于
c=6 ,则
.由椭圆
的定义知
, 即
, 则需
求
的最值,连接
并延长与
反向延长分别交椭圆于
与
. 由平面几何知识得
,即
.则当点
与点
重合时, 得
；当点
与点
重合时, 得
；于是得
.
16.(1)
；(2)存在唯一一点
满足题意.
解:(1)法1．依题意设
．因
，得直线方程为
，将其代
入
中，化简得
，由韦达定理得
，
．由弦长
公式得
，得
，故抛物线
的方程
为
．
法2．前同法1，易知抛物线的准线方程为
，由抛物线定义得焦半径
，
，于是有
，得
，故抛物线
的
方程为
．
法3．直接利用抛物线
过焦点的弦长公式得
，其中
为
直线
的倾斜角；将
代入上式得
，故抛物线
的方程为
．
(2)假设满足条件的点
存在，设
，且
．①当直线
轴时，设直线的方
程为
，代入方程
中，整理得
，其
显然成立，由韦达定理得
，
．依题意，有
，
，
由
，
得
对
且
恒成立，只需
即可，此时
．②当直线
轴时，易知直线
与
关于
轴对称，此时只要点
与焦点
不重合就有
成立,即此时
同样符合题意．综上所述,存在唯一一点
满足题中条件．
17.(1)
x2−y2
3 =1
；(2)y=±3( x−2).
解：(1)
∵e= c
a=2,∴c=2a, 则4 a2=c2=a2+b2,∴b2=3a2,
b
即=√3a
；又因直线
AB 方程为
x
a +
y
−√3a
=1,
即√3 x−y−√3a=0，由条件得
√3
2 =d=|−√3a|
2
,⇒a=1.
故双曲线E 的方程为：
x2−y2
3 =1
.
(2)∵c=2,∴F(2,0)；①当l⊥x轴时,l方程为：x=2与方程
x2−y2
3 =1
联解得
P(2,3),Q(2,−3)，而N (−2,0)，则⃗PN⋅⃗QN =(−4,−3)⋅(−4,3)=16−9=7≠0 ,故此时不
合题意.
②当l¿ x轴时,设直线l方程为：y=k(x−2),并设P(x1, y1),Q(x2, y2),M (x0, y0),联立
方程组{
y=k( x−2)
3 x2−y2−3=0 ，消y 得：(3-k2)x2+4 k2 x−4 k2−3=0 ，依题意有
{
3−k2≠0
Δ
且>0
x1+x2= 4 k2
k2−3 >0
x1⋅x2= 4 k2+3
k2−3 >0
⇒
k2>3 ，且
x0= x1+x2
2
= 2k2
k2−3 ；又∵PN ⊥NQ 且M 为PQ
的
中
点
，
∴x0+2=|MN |=1
2|PQ|=5
⇒k2=9,
k
即=±3,此时l的方程为y=±3( x−2). 故综合①、②得直线l的方程为：
y=±3( x−2).
18.(1)＝；(2)存在实数a＝2，使得|DE|＝2 为定值．
解:(1)∵点P(2，t)到焦点F 的距离为，∴2＋＝，解得p＝1，故抛物线C 的方程为y2＝
2x，将点P(2，t)的坐标代入抛物线C 的方程中，得t2＝22,且t>0，解得t＝2，知点P(2,2)，
又因直线l1经过N(－，0),P(2,2)两点，易得l1的方程为y＝x＋,联立方程组得可解得xQ＝，
又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，∴＝＝．
(2)设直线l2的方程为x＝ny＋m(m≠0)，代入抛物线方程可得y2－2ny－2m＝0；设A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则由韦达定理得y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，①
由OA⊥OB 得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0，整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，②
将①代入②解得m＝2 或m＝0(舍去)，满足Δ＝4n2＋8m>0，∴直线l2：x＝ny＋2，
∵圆心M(a,0)到直线l2的距离d＝，∴|DE|＝2，显然当a＝2 时，|DE|＝2，∴存在实数a＝
2，使得|DE|＝2 为定值．
19.（1）
；（2）①面积的最大值为
；②点
的纵坐标为定值．
解：（1）因为点
关于直线
的对称点为
，且
在椭圆
上，所以
，所以椭圆
的方程为
.
（2）①设直线的方程为
,点
到直线的距离为
.
消去
整理得：
， 由
，可得
，
;
②由题意得，
，联立方程组，消去
得
， 又
，代入上式化简
可得
,即
为常数；故点
的纵坐标为定值．
