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核心8 等差数列与等比数列
一．单选题.
【判断等差数列 2025 年天津市期末测试】
1．由公差
的等差数列
组成一个新的数列
，下列说
法正确的是（ ）
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d 的等差数列
C．新数列是公差为2d 的等差数列
D．新数列是公差为3d 的等差数列
【答案】C
【分析】结合已知根据等差数列定义判断即可.
【详解】因为
，
所以数列
是公差为2d 的等差数列.
故选：C
【等差数列中的基本量计算 2025 辽宁鞍山阶段测试】
2．若在等差数列
中，
．则
的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案
【详解】因为
，所以
,
解得
,所以等差数列为正数等差数列，所以
故选：B
【验证是否为数列中的项 2025 湖北鄂州市模拟测试】
3．在下列各选项中，不是一个等比数列的前三项的是.
A．2，4，8
B．-2，-4，-8
C．-2，-4，8
D．2，-4，8
【答案】C
【分析】根据成等比数列可知，
，然后逐一判断即可.
【详解】A：
，符合；
B：
，符合；
C：
，不符合；
D：
，符合.
故选C.
【点睛】本题考查等比数列的项之间的关系，难度较易.
【等比数列子数列性质及应用 2025 河北承德·阶段练习】
4．在等比数列
中，
，那么
( )
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据等比数列性质
求解.
【详解】
，
当
时，
，
当
时，
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比
数列的一类基本题型，数列中的五个基本量
，一般可以“知二求三”，通过
列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和
公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
【等差数列中的最大（小）项 2025 吉林辽源模拟测试】
5．等差数列的前
项和为
，若
，
，则此数列中绝对值最小的项所在的项数
为（ ）．
A．第5 项
B．第6 项
C．第7 项
D．无法确定
【答案】C
【分析】由题意结合等差数列的性质可得
，且
，从而可求得答案
【详解】因为
，
，
由等差数列的性质可得
，
所以
，所以该数列的公差
，
所以绝对值最小的项在0 附近的项中取得，
因为
，所以
，
所以绝对值最小的项为
，
故选：C
【等差数列的单调性 2025 北京西城阶段练习】
6．若数列
的前n 项和为
，则下列命题中，正确的是（ ）
A．若数列
是递增数列，则数列
也是递增数列
B．若数列
是递增数列，则数列
的各项均为正数
C．若
是等差数列，且存在
，则
D．若
是等比数列，且存在
，则
【答案】C
【分析】A.利用举反例法判断；B.利用举反例法判断；C.根据
是等差数列，由
判断；D.根据等比数列的特性判断；
【详解】A.如数列
是递增数列，而
不是递
增数列，故错误；
B. 如
是递增数列，而
，故错误；
C.若
是等差数列，存在
，则
，故正确；
D.若
是等比数列，由等比数列没有零项，故错误；
故选：C
【等差数列片段和的性质及应用 2025 河北邯郸期末】
7．设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．18
B．36
C．54
D．72
【答案】D
【分析】根据等差数列中
成等差数列求解.
【详解】因为差数列
中，
成等差数列，
令
，即
成等差数列，
则
，
即
，解得
，
故选：D．
【前n 项和与通项关系 2025 江苏无锡阶段练习】
8．设数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝（ ）
A．2n
B．2n－1
C．2n
D．2n－1
【答案】C
【解析】利用数列的递推关系式求出首项，然后判断数列是等比数列，求出通项公式即可．
【详解】解：当
时
，可得
，
当
时，
，
，
所以数列
为等比数列，公比为2，首项为2，
所以通项公式为
，
故选：
．
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，考查计算能力．
【二次函数法求等差数列前n 项和的最值 2025 上海青浦·期末】
9．已知等差数列
前n 项和为
，
，
，则使
取得最大值时n
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】由等差数列的通项公式、前
项和公式列方程组求得
和公差
，写出前
项和，
由二次函数性质得结论．
【详解】设等差数列
公差为
，由
，
则
，
，
∴
，
解得
，
．
∴
，
∴当
时，
取得最大值．
故选：B．
【等比数列的定义 2025 江西上饶市期末测试】
10．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为
基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的
，得到“徵”，“徵”经过一次
“益”，频率变为原来的
，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”
“徵”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ）
A．“商”“羽”“角”的频率成公比为
的等比数列
B．“宫”“徵”“商”的频率成公比为
的等比数列
C．“宫”“商”“角”的频率成公比为
的等比数列
D．“角”“商”“宫”的频率成公比为
的等比数列
【答案】C
【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果．
【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为
a，
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为
a，
“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为
a，
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是
a，
由于a，
a，
a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为
，
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基
础题．
【等差数列的二次函数特征 2025 黑龙江哈尔滨·模拟预测】
11．等差数列
的前
项和记为
，若
，
，则不成立是（ ）
A．
B．
C．
D．当且仅当
时
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式前
､
项和公式，结合条件
即可逐一判断选项的正
误.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由
，得
，即
，又
，
所以
，
正确.
，
正确.
，
当
时，
有最大值当
时，即
，
正确.
令
，得
，即
，解得
，
错误.
故选：
.
二．多选题.
【等差数列的性质 2024 河南商丘三模】
12．已知等差数列
的前
项和为
，无论首项
和公差
如何变化，
始终是一个定
值，则下列各数也为定值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据等差数列性质和求和公式可知
是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断
即可.
【详解】因为数列
为等差数列，则
，
若
始终是一个定值，所以
是定值，故B 正确；
又因为
，
，
所以
与
也为定值，所以C，D 正确；
没有足够条件判断A，故A 错误；
故选：BCD．
【两个等差数列前n 项和之比问题 2025 年广东肇庆模拟预测】
13．已知两个等差数列
、
的前
项和分别为
和
，且
，则使得
为整数的
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用等差数列中项以及等差数列求和公式可得出
，即可得出
正整数
的可能取值.
【详解】由等差中项以及等差数列求和公式可得
，
又因为
，
.
故选：ACD.
【等差数列前n 项和其它性质及应用 2025 湖南永州期末】
14．设等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的前
项和公式以及等差数列的性质可求得结果．
【详解】对于A，由题意，得
，则
，所以
，所以
，故A 正确；
对于C，由题意，得
，则
，所以
，故C
正确；
对于B，因为
，所以
，故B 错误；
对于D，由
知，等差数列
单调递增，所以
，故D 正确．
故选：ACD．
【根据等差数列前n 项和最值求参数 2025 重庆市涪陵区模拟】
15．对于数列
，定义
为数列
的“好数”，已知某数列
的“好数”
，记数列
的前n 项和为
，若
对任意的
恒
成立，则k 的可能取值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据“好数”的定义求得
，对
也成立，可得
，
由于数列
为等差数列，
对任意的
恒成立可化为
，
，结合选项即可得出答案．
【详解】由题意，
，则
，
时，
，
两式相减得：
，
所以
，
，
当
时，上式对
也成立，
故
，
则
，
则数列
为等差数列，
故
对任意的
恒成立可化为
，
；
即
，解得，
．
结合四个选项，BCD 符合
的取值，
故选：BCD．
【递推关系应用 2025 陕西西安期末】
16．已知数列
的前
项和为
，
，且
，则（ ）
A．
B．
是等比数列
C．
是等差数列
D．存在，，且
，使得
，
，
成等差数列
【答案】BC
【分析】由递推关系取
，结合
，解方程求
，判断A，结合等比数列定义
判断B，结合等差数列定义判断C，假设结论正确，可得
，结合整除性判断
D.
【详解】已知
，
，则
，
，
则
，
，A 选项错误.
由
可得
，又
，
所以
，所以
是首项为
，公比为的等比数列，B 选项正确.
，
所以
是等差数列，C 选项正确.
假设存在，，且
，使得
，
，
成等差数列，
则
，又
，
所以
，
，两边同时除以
得
，
因为
，
，故左边是的倍数，右边不是的倍数，等式不成立，D 选项错误.
故选：BC.
【等比数列的单调性 2025 河北张家口开学考】
17．已知数列
是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（ ）
A．当
时，数列
是递增数列
B．当
时，数列
是递减数列
C．当
时，数列
是递增数列
D．当
时，数列
是递减数列
【答案】AD
【分析】设等比数列
的公比为
，则
，利用数列单调性的定义逐项判断，可得出
合适的选项.
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，则
，
当
时，
，即
，此时，数列
为单调递增数列，
当
时，
，即
，此时，数列
为单调递减数列，
AD 选项正确，BC 选项错误.
故选：AD.
【等比数列的简单应用 2025 河北唐山阶段练习】
18．2022 年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96 片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，
数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形
，
并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间
一段”擦掉，形成雪花曲线
.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，
形成雪花曲线
，
，…，
，….
设雪花曲线
的边长为
，边数为
，周长为
，面积为
.若
，则下列说法不正确
的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据已知写出
、
、
的通项公式且
时
，应用累加
法求
通项，进而判断各选项的正误.
【详解】由题可知
，
，
，
所以
，
所以
，
∴
，故A 错误，C 错误；
又
，
当
时，
，故D 错误；
∴
，
由
也满足上式，
所以
，
由上，
，则
，故B 正确.
故选：ACD．
三、填空题.
【等差中项 2025 上海宝山·期末】
19．
与
的等差中项为 ．
【答案】3
【分析】根据等差中项的定义求解．
【详解】
与
的等差中项为
．
故答案为：3.
【等比数列奇、偶项和的性质 2025 江苏南京阶段练习】
20．等比数列
共有2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比
.
【答案】
##
【分析】结合题意列方程组分别求出
，
，再由等比数列的性质求出结果即可.
【详解】设等比数列
的奇数项的和、偶数项的和分别为
，
.
由题意可得
解得
所以
．
故答案为：
.
【数列由Sn 求通项 2025 广西南宁期末】
21．已知数列
的前
项和公式为
，则
的通项公式
.
【答案】
【分析】根据
求解即可.
【详解】当
时，
；
当
时，
，符合
.
所以
.
故答案为：
【前n 项和与n 的比的关系 2025 山东烟台阶段练习】
22．已知
为等差数列
的前
项和，
，
，则
．
【答案】
【分析】由题意，结合等差数列前
项和的性质，
为等差数列，先求公差
，再求解
，即得解
【详解】∵
是等差数列，∴
为等差数列，设
为公差．
∴
，
，
∴
，
解得
．
故答案为：
【等比数列的基本量计算 2025 黑龙江鸡西模拟测试】
23．已知数列
是单调递增的等比数列，且
，
，则
= ．
【答案】81
【分析】利用等比数列的通项公式列方程组求出
进而秋季即可.
【详解】因为数列
是单调递增的等比数列，即
，则
解得
或
（舍去），
所以
，解得
，
所以
，
故答案为：81
【下标和性质及应用 2025 内蒙古锡林郭勒盟开学考试】
24．已知数列
为正项等比数列，若
，
，
则
．
【答案】
【分析】由等比数列的性质直接求解即可.
【详解】由
，
由等比数列的性质可得：
，
，
∴
，又
，∴
．
故答案为:
．
【等差数列的应用 2025 安徽芜湖阶段练习】
25．2024 央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言
可描述为：将数字
顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺
时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字
记为
. 例如
时，操作可知
，则
.
【答案】65
【分析】探索
，
，
，
，
的关系，确定
的值.
【详解】由题意，圆周上顺时针排列
时，可得
，就是这
个数中的第个；
当圆周上顺时针排列
时，第一轮操作将划去所有偶数，留下
共
个
数，它们的第个数是
，所以
，是这
个数中的第个；
当圆周上顺时针排列
时，第一轮操作将划去所有偶数，留下
共
个
数，它们的第个数是
，所以
，是这
个数中的第
个；
当圆周上顺时针排列
时，第一轮操作将划去所有偶数，留下
共
个
数，它们的第
个数是
，所以
，是这
个数中的第
个；
当圆周上顺时针排列
时，第一轮操作将划去所有偶数，留下
共
个
数，它们的第
个数是
，所以
.
故答案为：
试题特点分析：等差数列与等比数列的试题特点主要体现在对基本概念、运算和性质的
考查上考生需要熟练掌握这两类数列的相关知识，并能够灵活运用不同的解题方法来解决
问题，考生在备考时应注重基础知识的积累和综合能力的提升.
解题方法阐述：在解决等差数列与等比数列的相关问题时，除了直接应用通项公式和求
和公式外，还可以利用数列的性质和一些常见的解题技巧例如，对于等差数列，可以利用
中项公式、等差数列的性质等进行简化计算；对于等比数列，则可以利用等比中项、等比
数列的性质等进行处理.
解题经验分享：解题经验和技巧的提升离不开大量的练习和不断的总结通过解决不同类
型的题目，可以逐渐熟悉各种数列的特点和解题思路，并在此基础上形成自己的解题策略.
