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【第29 讲：复数】
【新高考课标要求】
1. 理解复数基本概念：需透彻认识复数的定义，明晰形如
（
）的数即为复数，其中
是实
部、
是虚部，且为虚数单位，满足
。这要求学生能精准辨别复数的实部与虚部，理解纯虚数（
且
）、实数（
）等特殊复数类型的概念差异。比如面对复数
，能迅速指出实部是
，虚部是
；看到
，知道它是纯虚数，实部为
。
2. 掌握复数相等条件：要深刻理解复数相等的充要条件，即
当且仅当
且
（
）。在解题中，若遇到等式
，学生应能依据该条件列出方程组
求解。
这一知识点常与方程、函数等知识结合，考查学生的综合运用能力。
3. 明晰复数代数表示与几何意义：一方面，要熟悉复数的代数表示法，能够熟练进行复数的代数形式书
写与转换；另一方面，要理解复数的几何意义，知晓复数
与复平面内的点
以及平面向量
存在一一对应关系。例如，复数
在复平面内对应的点为
，对应的向量从原点出发，
终点坐标为
。这有助于学生从几何直观角度理解复数运算，如复数的加法对应向量的加法，在复
平面上体现为向量的平移。
4. 熟练进行复数代数形式四则运算：涵盖复数的加、减、乘、除运算。加法和减法运算遵循实部与实部
相加减、虚部与虚部相加减的规则，即
。乘法运算类比多项式乘法，
但要注意
的运用，如
。除法运算
则需将分母实数化，通过乘以分母的共轭复数来实现，如
（
） 。学生需通过大量练习，提升运算的准确性与速度。
5. 了解复数加、减运算几何意义：复数加法的几何意义是，两个复数相加对应复平面内相应向量的加法，
其和对应的向量是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（从共同起点出发）；复数减法的几何意义
是，两个复数相减对应复平面内相应向量的减法，差对应的向量是从减数向量的终点指向被减数向量的终
点。例如，已知复数
，
，在复平面内，
对应的向量可由
与
通过平行
四边形法则得到，
对应的向量则是从
指向
。
【知识梳理】
一、复数核心知识梳理（紧扣高考高频考点）
1. 复数的基本概念（高考基础送分点）
定义：形如
（
）的数称为复数，其中为虚数单位，满足
。
实部：
（必须为实数，不可含）；
虚部：
（同样为实数，是虚数单位的系数，不含）。
分类：
实数：
（如
，可表示为
）；
纯虚数：
且
（如
，不可忽略
的条件）；
非纯虚数的虚数：
且
（如
）。
2. 复数的相等与共轭（高考常考方程求解）
相等条件：对任意复数
，
（
），
且
。
核心应用：通过实部、虚部分离列方程组，求解复数中的参数（如已知
，得
，解得
，
）。
共轭复数：设
，则其共轭复数为
（实部不变，虚部变号）。
几何特征：复平面内，
与
对应的点关于实轴对称；
运算性质：
（实数），
（纯虚数或零），
（高考高频，常
用于分母实数化或求模长）。
3. 复数的几何意义（高考多选题常考）
一一对应关系：
复数
复平面内的点
（横轴为实轴，纵轴为虚轴，原点对应复数
）；
复数
平面向量
（
为原点）。
模长的几何意义：
复数
的模
，表示复平面内点
到原点的距离，或向量
的长度；
两点距离：复平面内两点
，
对应的复数分别为
，
，则
（高考常结合圆、线段等几何图形考查）。
4. 复数的四则运算（高考必考运算题）
加法：
（实部相加，虚部相加）；
减法：
（实部相减，虚部相减）；
乘法：类比多项式乘法，结合
化简：
特殊公式：
（共轭复数乘积，即模长平方），
（高考高频，需
熟记）；
除法：核心是分母实数化，乘以分母的共轭复数：
5. 复数加减运算的几何意义（高考偶尔结合向量考查）
加法：复平面内，
对应的向量为
，遵循平行四边形法则（以
，
为邻边，
对角线即为和向量）；
减法：复平面内，
对应的向量为
（从
对应点指向
对应点的向量）。
二、常用结论（高考真题高频调用）
1. 虚数单位
的幂次循环：
，
，
，
，周期为
，即
（
，
）。
示例：
，
（高考常考指数化简）。
2. 常见复数运算结果：
（分子分母同乘，得
）；
（分母实数化：
）；
（同理推导，与上式互为相反数）。
3. 模长的运算性质：对任意复数
，
，有：
；
（
）；
（
）。
4. 共轭复数的运算性质：
，
，
（
）。
三、微点提醒（高考易错点规避）
1. 虚部的概念误区：复数
的虚部是
（实数），而非
。例如，
的虚部是
，不是
（高考选择题常设置此陷阱）。
2. 纯虚数的条件遗漏：判断纯虚数时，需同时满足“ 实部为
” 且“ 虚部不为
” 。例如，
为纯虚数，需
，解得
，不可仅由
得
（模拟题
高频易错点）。
3. 复平面与直角坐标系的区别：复平面的纵轴是虚轴，单位为，对应复数的虚部；直角坐标系的纵轴是
轴，单位为，二者不可混淆。例如，复数
对应复平面内的点
，而非直角坐标系中的向量
。
4. 除法运算的分母不为零：进行复数除法时，需先判断分母是否为零（即分母的实部、虚部不同时为
零）。例如，
无意义，因分母对应的复数
不能作为除数。
5. 模长的非负性：复数的模长
是实数且非负，计算时需注意根号下的表达式为平方和（恒
正），例如
，不可遗漏负号的平方。
【课前自测】【真题体验】
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：C.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简
，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得
，
则
.
故选：C.
4．（2007·陕西·高考真题）在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则，得到
，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得复数
，
复数
在复平面内对应的点
位于第四象限.
故选：D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由
，则
.
故选：A
6．（2025·北京·高考真题）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．8
【答案】B
【分析】先求出复数
，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由
可得，
，所以
，
故选：B.
二、填空题
7．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则
．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简
，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得
，所以
.
故答案为：
8．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数
．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】
.
故答案为：
.
9．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】先设
，利用复数的乘方运算及概念确定
，再根据复数的几何意义数形结合计算即
可.
【详解】设
，
由题意可知
，则
，
又
，由复数的几何意义知
在复平面内对应的点
在单位圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，如图所示即线段
上运动，
设
，则
，由图象可知
，
所以
.
故答案为：
10．（2024·上海·高考真题）已知虚数
，其实部为1，且
，则实数
为 ．
【答案】2
【分析】设
且
，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设
，
且
.
则
，
，
，解得
，
故答案为：2.
知识讲解与常考题型
题型分类
【考点一：复数的相关概念】
【例题】1．（24-25 高一下·陕西渭南·期末）已知复数
满足
，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用复数除法求出复数，根据共轭复数的定义求
，即可得.
【详解】由题设
，
则
，故虚部为
.
故选：B
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数乘方、除法运算求得
，进而求得
的虚部.
【详解】由
，得
，
所以
，所以
的虚部为
.
故选：D.
【针对训练】3．（2025·全国·模拟预测）若复数
满足
（其中i 是虚数单位），复数
的共
轭复数为
，则（ ）
A．
的实部是
B．
C．
在复平面内对应的点在第一象限
D．
与
在复平面内它们所对应的点关于
轴对称
【答案】BD
【分析】根据复数的运算法则、共轭复数的定义、实部的定义、模的公式及几何意义求解判断各选项即可．
【详解】由
，得
，则
，
所以
的实部为
，A 错误；
而
，B 正确；
因为
，其在复平面内对应的点的坐标为
，在第四象限，C 错误；
在复平面内对应的点的坐标为
，
则
与
在复平面内它们所对应的点关于
轴对称，D 正确．
故选：BD．
4．（2025·海南·模拟预测）下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数
的共轭复数的虚部为4
C．若复数z 满足
，则
的最大值为2
D．若
是关于x 的方程
的一个根，则
【答案】BC
【分析】计算
可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；求出
的轨迹为圆，圆上的点到原点的
距离最大值为2，可判断C；得到
为方程的另一个根，根据韦达定理计算可得
判断D.
【详解】A 选项，
，故A 错误；
B 选项，复数
的共轭复数为
，故虚部为
，故B 正确；
C 选项，若复数z 满足
，则z 的轨迹为复平面内，以
为圆心，1 为半径的圆，
此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即
到原点距离，故
的最大值为2，故C 正确；
D 选项，
是关于x 的方程
的一个根，
为方程另一个根，
故
，D 不正确.
故选：BC
5．（2025·河北·模拟预测）复数
满足：
，则
（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用复数的除法运算求出复数
，再写出它的共轭复数进行加法运算找到实部虚部再计数模即
可.
【详解】
，
，
，
.
故选：C.
【解题策略】
一、复数基本概念（实部、虚部、分类）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：识别实部与虚部
解题步骤：① 明确复数标准形式
（
），若复数非标准形式（如含
、分母含），
先化简为
；② 直接提取实部
（不含的实数部分）、虚部
（的系数，且为实数）。
适配场景：题目直接要求求复数的实部/ 虚部，或结合实部、虚部求参数（如“ 已知
的实部为
，求
”）。
考点2：复数分类（实数、纯虚数、虚数）
解题步骤：① 先将复数化为标准形式
（
）；② 按分类条件判断：
实数：满足
；
纯虚数：满足
且
（需同时满足两个条件，缺一不可）；
虚数：满足
（包含纯虚数与非纯虚数的虚数）。
适配场景：题目明确要求判断复数类型，或已知复数类型求参数（如“已知
为
纯虚数，求
”）。
2. 避错关键
虚部不可带：如
的虚部是
，而非
；
纯虚数需“双条件”：不可仅由“实部为
”判定为纯虚数，需额外验证“虚部不为
”，避免漏解
或错解参数。
二、复数相等与共轭复数解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数相等
解题步骤：① 确保两个复数均化为标准形式
、
（
）；② 根据
“实部相等且虚部相等”列方程组
；③ 解方程组求参数或验证相等关系。
适配场景：题目给出复数相等的等式，求其中的参数（如“
，求
”），
或证明两个复数相等。
考点2：共轭复数
解题步骤：① 若复数为标准形式
，直接得共轭复数
（实部不变，虚部变号）；
② 若复数非标准形式，先化简为
，再求共轭；③ 利用共轭复数性质解题：
（实数）、
（纯虚数或零）、
（模长平方）。
适配场景：题目要求求共轭复数，或结合共轭复数性质求模长、数量关系（如“已知
，求
”）。
2. 避错关键
复数相等的“前提条件”：必须保证两个复数的实部、虚部均为实数，否则不可直接用“实部、虚部
分别相等”；
共轭复数的“符号变化”：仅虚部变号，实部不变，避免将
误写为
或
。
三、复数几何意义（点、向量、模长）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数与点、向量的对应关系
解题步骤：① 明确对应规则：复数
对应复平面内点
，对应向量
（
为
原点）；② 若已知复数，直接写出对应点坐标或向量坐标；③ 若已知点或向量，反向写出对应复数（点
对应
，向量
对应
）。
适配场景：题目要求指出复数对应复平面内的点或向量，或由点/向量求复数（如“求复平面内点
对应的复数”）。
考点2：复数模长的计算与几何意义
解题步骤：① 若复数为标准形式
，直接用公式
计算；② 若复数为非标准形
式（如
），先化简为
，或利用模长性质（
，
、
）；③ 结合几何意义：
表示点
到原点的距离，
表示点
到
的距离，辅
助分析几何图形（如圆、线段）。
适配场景：题目要求求复数模长，或结合模长的几何意义求最值、判断轨迹（如“求
表示的图形”）。
2. 避错关键
复平面与直角坐标系的“区别”：复平面纵轴为虚轴，对应复数虚部，不可将点
误理解为直角
坐标系中“
，
”；
模长的“非负性”：
是实数且非负，计算时需注意根号下为平方和（恒正），避免遗
漏负号的平方（如
）。
四、通用解题流程（适用于所有复数概念题）
1. 化简优先：无论何种题型，先将复数化为标准形式
（
），避免非标准形式导致的概念混
淆；
2. 定位考点：根据题目要求，判断考查“基本概念”“复数相等/共轭”还是“几何意义”，匹配对应解
题步骤；
3. 列关系/用性质：结合考点列方程（如复数相等列方程组）、用公式（如模长公式、共轭性质），确保
每一步紧扣概念本质；
4. 验证检查：解题后验证结果是否符合概念要求（如纯虚数需验证虚部不为
，模长需验证非负），规
避常见易错点。
【考点二：复数的几何意义】
【例题】1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数
满足
（为虚数单位），则复数
在
复平面上不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】设
，由已知得
在复平面的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，由图即可判
断.
【详解】设
，由
得
，
可得
在复平面上对应的点的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，（如图）.
由图知圆
显然不经过第三象限，故复数
在复平面上不可能位于第三象限.
故选：C.
2．（2025·四川巴中·二模）已知复数
的共轭复数记为
，对于任意的三个复数
与下列结论错误的
是（ ）
A．复数
的共轭复数
B．若
，则复平面内
对应的点位于第四象限
C．已知复数z 满足
，则
的最小值为2
D．若
，且
，则
【答案】BC
【分析】A 选项，利用复数除法法则和共轭复数的概念得到A 正确；B 选项，利用复数乘方法则得到
，得到对应点坐标，得到所在象限；C 选项，由模长的几何意义得到
对应的点在虚
轴（加上原点）上，由几何意义得到最小值为1；D 选项，
，又
，则
.
【详解】A.复数
，则共轭复数
，正确：
B.
，对应点为
，在第三象限，B 错：
C.复数
满足
，则
对应的点在是以
对应点为端点的线段的中垂线上，即虚轴（加上原
点）上，
表示虚轴（加上原点）上的点到点
的距离，最小值为1，C 错误.
D.若
，则
，又
，则
，故D 正确：
故选：BC
【针对训练】1．（2025·山东·三模）已知i 是虚数单位，若复数z 满足
，则z 在复平面内对
应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】设出复数
的代数形式，利用复数乘法，结合复数相等求出
在复平面内对应点即可.
【详解】设
，则
，
，
于是
，解得
，
所以
在复平面内对应点
在第二象限.
故选：B
2．（2025·广东佛山·三模）复平面上
两点对应的复数分别是
，向量
对应的复数为
，
则
（ ）
A．17
B．
C．13
D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义求出
坐标即可得出复数
，进而求出模.
【详解】由题意可得，
，则
，
所以
，得
．
故选：D
3．（2025·广东·模拟预测）若复数z 满足
，那么
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z 满足的限制条件，进而求得
的最大值.
【详解】设复数、
在复平面内对应的点分别为
，
复数
在复平面对应的点为：
，
由
可知：复数z 在复平面内对应的点到两点
的距离之和为2，
而
，所以点
在线段
上，故
，
则
，
当
时，
的最大值为
.
故选：B.
【解题策略】
一、复数与复平面内点、向量的对应关系（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：由复数确定点/向量
解题步骤：① 确保复数化为标准形式
（
），若为非标准形式（如含
、分母含
），先化简（如
）；② 依据对应规则：复数
对应复平面内的点
（横
轴为实轴，纵轴为虚轴），对应从原点出发的向量
；③ 直接写出点的坐标或向量的坐标，无
需额外运算。
适配场景：题目要求指出复数在复平面内对应的点的位置（如象限、坐标轴），或写出对应向量（如
“求复数
对应复平面内的点及向量”）。
考点2：由点/向量确定复数
解题步骤：① 明确已知条件类型：若已知复平面内点
，直接对应复数
；若已知向
量
（
为原点），同样对应复数
；② 若向量起点非原点（如
，
、
），先计算向量坐标
，再对应复数
。
适配场景：题目给出复平面内点的坐标或向量坐标，求对应复数（如“复平面内点
对应什么复
数”“向量
对应什么复数”）。
2. 避错关键
区分“复平面与直角坐标系”：复平面纵轴是虚轴，仅对应复数的虚部
，不可将点
误写为“
”，也不可将向量坐标中的
带；
非原点向量的转化：若向量起点不是原点，需先计算向量的坐标（终点坐标减起点坐标），再对应复
数，避免直接用起点或终点坐标对应复数。
二、复数模长的几何意义（高考重难点考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：模长的基本计算（点到原点的距离）
解题步骤：① 若复数为标准形式
，直接代入模长公式
计算（根号下为实部、
虚部的平方和，恒非负）；② 若复数为非标准形式（如
），先化简为
（如
），再代入公式；③ 若复数与共轭相关（如
），可利用性质
简化计算（如
，
，则
）。
适配场景：题目直接要求求复数的模长（如“求
”），或结合复数运算求模长（如“求
”）。
考点2：模长的几何应用（两点间距离与轨迹问题）
解题步骤：① 两点间距离：若复数
、
对应复平面内点
、
，则
，即两点间的距离；② 轨迹判断：根据模长表达式的结构确定轨迹：
（
，
为定复数）：表示以
对应点为圆心、
为半径的圆；
（
为定复数）：表示线段
的垂直平分线；
（
）：表示以
为焦点的椭圆。
适配场景：题目要求求复平面内两点间的距离（如“求
与
对应点的距离”），或
判断模长表达式表示的几何图形（如“判断
表示的图形”）。
考点3：模长的最值问题
解题步骤：① 几何法（优先用）：将复数模长转化为复平面内的距离，结合图形求最值（如求
的最小值，即求点
到点
的最小距离，若
在某定图形上，如线段、圆，则结合图形性
质找最近点）；② 代数法：设
（
），将模长表达式化为关于
的函数（如
），结合约束条件（如
）求函数最值。
适配场景：题目要求求模长的最值（如“已知
满足
，求
的最大值”），常结合圆、
线段、椭圆等图形考查。
2. 避错关键
模长公式的“平方和”：不可将
误写为
或
，计算时需注意实部、虚部
的正负（平方后均为正）；
轨迹条件的“限制”：判断椭圆轨迹时，需满足“
”，若
，则表示线段
，
不可直接判定为椭圆；
最值求解的“几何优先”：代数法计算较繁琐，且易因计算错误出错，优先用几何法转化为距离问题，
结合图形直观求解。
三、复数加减运算的几何意义（高考低频但易漏考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：加法的几何意义（平行四边形法则）
解题步骤：① 确定两个复数
、
对应向量
、
；② 以
、
为邻边作平行四边形，从原点出发的对角线对应的向量即为
，对应复数
；③ 若需验证，可通过向量加法坐标运算或复数加法运算核对。
适配场景：题目要求结合平行四边形法则求两复数的和（如“已知
、
，用几何方
法求
”）。
考点2：减法的几何意义（三角形法则）
解题步骤：① 确定复数
、
对应向量
、
；② 复数减法
对应向量减法
，即从
对应点
指向
对应点
的向量，对应复数
；③ 可通过两点间距离公式验证
。
适配场景：题目要求结合向量减法求复数差（如“已知
、
，用几何方法求
”），或解释复数差的几何意义。
2. 避错关键
加法的“平行四边形起点”：两向量需从同一原点出发，才能构成平行四边形的邻边，不可用非共起
点的向量直接叠加；
减法的“向量方向”：
对应向量是“从
指向
”，而非“从
指向
”，避免方向混淆
导致复数符号错误。
四、通用解题流程（适用于复数几何意义题型）
1. 化简先行：无论何种题型，先将涉及的复数化为标准形式
（
），为后续对应点、向量或
计算模长奠定基础；
2. 几何转化：将复数问题转化为几何问题——复数对应点/向量，模长对应距离，模长表达式对应轨迹，
明确几何模型（如点、线段、圆、椭圆）；
3. 选法求解：基础计算用公式（如模长公式），轨迹与最值问题优先用几何法（结合图形性质），复杂
约束条件下用代数法（设坐标转化为函数）；
4. 验证回归：解题后将几何结果回归到复数问题（如轨迹图形对应模长表达式，距离最值对应模长最
值），验证是否符合题目要求，规避几何与复数的转化错误。
【考点三：复数的运算】
【例题】1．（2025·全国·模拟预测）已知复数
，
为
的共轭复数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据共轭复数的概念得
，然后根据复数乘法运算逐一计算即可判断AB；由
可得
，然后判断CD.
【详解】因为
，则
，则
，A 正确．
因为
，B 正确．
因为
，所以
，
，
，故C 正确，D 错误．
故选：ABC．
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若
，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数
的模为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】先求出复数z，再根据共轭复数和模的定义求解.
【详解】
,
所以
，且
.
故选：B
【针对训练】1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知复数
，则复数
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方、乘法运算求出
，进而求出其共轭复数.
【详解】
，则
，
所以
.
故选：A
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法法则得出
、
，进而得出
、
，再利用复数的除法运算化简即可.
【详解】由题意可得，
，
，
则
，
则
.
故选：C
3．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，根据复数代数形式的运算及复数相等的充要条件得到方程，即可求出
，
再计算其模.
【详解】设
，
则左边
，
右边
，
，
，解得
，
，
故
.
故选：A.
【解题策略】
一、复数的加法运算（高考基础送分点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式加法
解题步骤：① 确保两个复数均为标准形式
、
（
），若含非标准项
（如
），先化简（如
）；② 按“ 实部相加，虚部相加” 规则计算：
；③ 结果保留
形式，若虚部为
，可直接表示为实数（如
）。
适配场景：题目直接考查复数加法，或结合向量加法（复平面几何意义）考查，多为基础计算题（如
“计算
”）。
2. 避错关键
避免“实虚部混淆”：不可将实部与虚部交叉相加（如
）；
化简非标准项：计算前需先处理
、分母含等非标准形式，确保复数为
后再运算，避免直接
相加导致错误。
二、复数的减法运算（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式减法
解题步骤：① 同加法，先将复数化为标准形式
、
；② 按“实部相减，虚部相
减”规则计算：
；③ 注意负号分配，若
虚部为负，相减后变为正（如
）。
适配场景：题目直接考查复数减法，或结合复平面内两点间距离（
）考查，如“计算
”，或先算减法再求模长。
2. 避错关键
负号分配完整：减去一个复数等于加上其相反数，即
，避免
漏改
实部或虚部的符号（如
）；
结果符号检查：计算后核对虚部符号，确保负号未遗漏（如
若为负，虚部直接保留负号）。
三、复数的乘法运算（高考核心考点，多结合公式考查）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：代数形式乘法（多项式乘法类比）
解题步骤：① 将复数视为多项式（
为字母），按多项式乘法展开：
；② 利用
化简含
的项：
；③ 合并实部与虚
部：实部为
，虚部为
，最终结果为
。
适配场景：基础乘法计算（如“ 计算
” ），或结合共轭复数乘法（
）考查。
考点2：特殊乘法公式（高频应用）
解题步骤：熟记高频特殊公式，直接代入计算以简化运算：① 平方公式：
，
尤其
、
；② 共轭乘法：
（结果为实数，常用于分母实
数化或求模长）；③ 立方公式（低频）：
，
可按多项式展开后化简。
适配场景：题目含平方、共轭乘法结构，如“计算
”“计算
”，用特殊公式
可快速得出结果。
2. 避错关键
化简不遗漏：展开后必须将
化为
，不可保留
（如
）；
特殊公式记准确：避免混淆
与
，或共轭乘法符号错误（如
）。
四、复数的除法运算（高考重难点，多为压轴基础题）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式除法（分母实数化）
解题步骤：① 确保被除数、除数均为标准形式，除数不为
（即除数实部、虚部不同时为
）；②
核心操作“分母实数化”：分子分母同乘除数的共轭复数（除数
的共轭为
），使分母变为实
数：
③ 拆分结果：实部为
，虚部为
，整理为
（
）形式，若分子为
，
结果为
（如
）。
适配场景：题目直接考查除法（如“计算
”），或结合其他运算（先乘后除、先加减后除）考
查，是高考复数运算的高频压轴基础题。
考点：特殊除法结果（熟记简化计算）
解题步骤：熟记常见特殊除法结果，直接调用：①
（分子分母同乘，得
）；②
（分母实数化后得
）；③
（同理推导）。
适配场景：题目含上述特殊结构，如“计算
”“计算
”，用熟记结果可大幅节省时间。
2. 避错关键
共轭复数符号正确：除数为
时，共轭复数为
（仅虚部变号），不可将实部变号（如
）；
分子展开完整：分子乘共轭复数时，按多项式乘法完整展开，避免漏项（如
）；
分母计算准确：分母
（平方和），不可误算为
。
五、复数混合运算（高考综合考点，多为多步运算）
1. 核心考点与解题步骤
考点：加、减、乘、除混合运算
解题步骤：① 遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，有括号先算括号内；② 每一步运算均按对应规
则进行（乘除先化简，加减后合并）；③ 优先使用特殊公式（如共轭乘法、平方公式）简化中间步骤，
避免复杂展开。
示例流程：计算
：
第一步：先算分子乘法：
；
第二步：算除法：
；
第三步：算加法：
。
适配场景：高考复数综合题，如“计算
”，多为多步运算，考查运算准确性与技巧
性。
2. 避错关键
运算顺序不颠倒：不可先算加减后算乘除，有括号需优先计算括号内内容；
分步验证：每一步运算后单独验证结果（如乘法后检查
化简是否正确，除法后检查分母是否为实
数），避免一步错导致后续全错；
结果形式规范：最终结果需化为最简
形式，分数实部、虚部需化为最简分数（如
），不可保留复杂分式。
六、通用解题流程（适用于所有复数运算题型）
1. 化简标准形式：无论单一运算还是混合运算，先将所有复数化为
（
）的标准形式，处理
、分母含等非标准项；
2. 确定运算顺序：单一运算直接按规则计算，混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”；
3. 优先使用技巧：乘除运算优先用共轭复数、特殊公式（如
）简化，减少计算量；
4. 分步验证结果：每一步运算后检查符号、
化简、实虚部分类是否正确，避免积累错误；
5. 规范结果形式：最终结果整理为
形式，实部、虚部为实数（可含分数），虚部为
时直接表示为
实数。
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）若复数
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2．（2025·全国·模拟预测）复数
的模为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．（24-25 高二下·浙江舟山·期末）已知复数
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河北·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
课后针对训练
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数
（其中为虚数单位），则
（ ）
A．8
B．
C．2
D．
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知复数
，则|z|＝（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．（2025·湖南长沙·三模）复数
满足
，则在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．（2025·海南·模拟预测）已知
为虚数单位，若
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．6
9．（2025·安徽芜湖·模拟预测）复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·全国·模拟预测）复数
的实部为（ ）
A．1
B．
C．0
D．i
11．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数
满足
，则复数
在复平面对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、多选题
12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设复数
在复平面内对应的点为
，原点为
，为虚数单位，
则下列说法正确的是（ ）
A．若点
的坐标为
，则
对应的点在第三象限
B．若
，则点
的集合所构成的图形的面积为
C．若
，则
的模为7
D．若
是关于
的方程
的一个根，则
13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知复数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·江苏南通·模拟预测）设
为复数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数
，则（ ）
A．若复数z 为实数，则
B．若复数z 为纯虚数，则
C．当
时，
D．复数z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
三、填空题
16．（2023·北京·三模）设
是纯虚数，若复数
在复平面内对应的点位于实轴上，则
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
A
D
C
D
C
C
A
题号
11
12
13
14
15
答案
A
ABD
AD
AD
ACD
1．B
【分析】由复数的除法运算，再求复数的模即可.
【详解】由
，
故选：B．
2．A
【分析】先对复数化简，然后再求复数的模
【详解】
所以
故选：A.
3．A
【分析】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果.
【详解】因为
，所以
，故复数
的虚部为
.
故选：A.
4．A
【分析】由复数的代数运算可得
，再由复数模的定义求解即可.
【详解】解：
，
所以
，
所以
.
故选：A.
5．D
【分析】先求出复数
，然后求出共轭复数
，再通过求模公式计算即可.
【详解】由于
，所以
，则
，故
.
故选：
.
6．C
【分析】由复数的乘法运算结合复数的模长公式求解即可.
【详解】
，
则
.
故选：C.
7．D
【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数
，再根据复数对应的点的坐标判断选项.
【详解】由条件可知，
，
所以复数对应的点为
，为第四象限的点.
故选：D
8．C
【分析】由复数乘法及纯虚数概念可得答案.
【详解】
，因为
，且
为纯虚数，所以
．
故选：C．
9．C
【分析】由复数的除法计算及虚部的概念可得结果.
【详解】因为
，所以虚部为
．
故选：C．
10．A
【分析】根据复数运算法则求
，再求其实部即可.
【详解】因为
，
所以
的实部为1．
故选：A．
11．A
【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出
，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.
【详解】由题意可得
，
所以
在复平面对应点
，在第一象限，
故选：A
12．ABD
【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解.
【详解】A 选项，因为点
的坐标为
在第二象限，则
对应的点为
，所以在第三象限，故A 选
项正确；
B 选项，
，则依据复数模长的几何意义可知，
表示一个圆环，面积为
，故B 选项正确；
C 选项，
，则
，故C 选项错误；
D 选项，
是关于
的方程
的一个根，则其共轭复数
也是方程的根，则常
数项
，故D 选项正确；
故选：ABD
13．AD
【分析】根据复数四则运算公式求复数，再代入乘方运算公式，即可判断选项.
【详解】因为
，则
，故A 正确；
，
，
，则
，由
，
所以
，则
，
，故B 错误；
，
，所以
，故C 错误，D 正确.
故选：AD
14．AD
【分析】设
，
，根据复数的乘法及复数模的定义计算判断A，取特
殊值判断B，根据复数的加减法运算及模与共轭的概念运算判断C，根据复数的模及共轭运算判断D.
【详解】设
，
.
对于A 选项，
，
所以，
，A 对；
对于B 选项，取
，
，则
，
，则
，即
，B 错；
对于C 选项，
，
，
，
，
，所以C 错误；
对于D 选项，
，
，
，
所以
，故D 正确.
故选：AD
15．ACD
【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几
何意义即可求解.
【详解】对于A，依题意可得
，即
，则
，故A 正确；
对于B，依题意可得
，故B 错误；
对于C，依题意可得
，所以
，故C 正确；
对于D，若复数z 在平面内对应的点在第二象限，则
，所以D 正确，
故选：ACD．
16．
【分析】根据复数运算，结合复数与复平面内点的对应关系进行求解即可.
【详解】由于
是纯虚数，则设
，
由
由于复数在复平面内对应的点位于实轴上，
所以
，解得：
，即：
.
故答案为：
