65.空间向量应用中的存在性问题
存在性问题.存在性问题突破的关键就是表示出动点的坐标，一般利用定比分点的形式写
出动点坐标，最后把欲求量表示成动点坐标的函数.
例1．如图，在四棱锥
中，四边形ABCD 为菱形，且
，
平面
P
ABCD
60
ABC
PA
ABCD，E 为BC 的中点，F 为棱PC 上一点．
（1）求证：平面
平面PAD；
AEF
（2）若G 为PD 的中点，
，是否存在点F，使得直线EG 与平面AEF 所成角
2
AB
AP
的正弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
1
5
PF
PC
解析：（1）证明：连接
，因为底面
为菱形，
，
AC
ABCD
60
ABC
所以
是正三角形，
是
的中点，
，又
，
ABC
A
E
BC
AE
BC
//
,
AD
BC
AE
AD
平面
，
平面
，又
平面
，
PA
ABCD
AE
,
ABCD
PA
AE
,
PA
AD
A
AE
PAD
又
平面
，所以平面
平面
．
AE
AEF
AEF
PAD
（2）由（1）知AE，AD，AP 两两垂直，以
为坐标原点，直线AE，AD，AP 分别为x 轴，
A
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设
，则
，
，
0
1
PF
tPC
t
0,0,0
A
3,0,0
E
，
，
，
，
3,1,0
C
0 0 2
P
, ,
0,1,1
G
3 , ,2
2
F
t t
t
所以
，
，
．设平面
的法向量
3,0,0
AE
uuur
3 , ,2
2
AF
t t
t
3,1,1
EG
AEF
，则
即
令
，得平面
的一个法向量
, ,
n
x y z
r
0,
0,
n AE
n AF
3
0,
3
2
2
0,
x
tx
ty
t z
z
t
AEF
．
0,2
2,
n
t
t
设
与平面
所成的角为
，则
EG
AEF
，
2
2
2
2
2
3
2
1
sin
cos
,
5
5
5
8
4
5
2
2
EG n
t
t
t
EG n
EG n
t
t
t
t
解得
或
，即存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，且
1
2
t
4
5
t
F
EG
AEF
1
5
或
．
1
2
PF
PC
4
5
PF
PC
例2．如图，四棱柱
中，平面
平面
，底面
为菱形，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
AC CA
ABCD
ABCD
与
交于点O，
．
AC
BD
1
1
60 ,
2
ABC
AB
AA
AC
（1）求证：
平面
；
1
C O
ABCD
（2）线段
上是否存在点F，使得
与平面
所成角的正弦值是
？若存在，求
1
DD
CF
1
B AC
3
4
出
；若不存在，说明理由．
1
DF
DD
解析：（1）∵
，
，∴
，又O 是
中点∴
1
1
AA
AC
1
1
AA
CC
1
1
AC
CC
AC
1
C O
AC
∵平面
平面
，平面
平面
，
1
1
AC CA
ABCD
1
1
AC CA
ABCD
AC
平面
，∴
平面
1
C O
1
1
AC CA
1
C O
ABCD
（2）∵底面
是菱形，∴
，以O 为原点，
所在直线分别为x，
ABCD
AC
BD
1
,
,
OB OC OC
y，z 轴建立空间直角坐标系．则
．
1
(0, 1,0),
(0,1,0),
(0,0, 3), ( 3,0,0),
(
3,0,0)
A
C
C
B
D
又
，所以
，∴
1
1
0, 1, 3
BB
CC
1
3, 1, 3
B
，设平面
的法向量是
1
1
(0,2,0),
(
3,0,
3),
(0, 1, 3)
AC
B A
BB
1
B AC
( , , )
n
x y z
，∴
，令
，则
，
1
0
0
n AC
n B A
2
0
3
3
0
y
x
z
1
x
(1,0, 1)
n
假设线段
上存在点F，且
，
1
DD
1
1
(0,
, 3 )
DF
DD
BB
(0
1)
∴
，∴
，
(
3,
, 3 )
F
(
3,
1, 3 )
CF
∴
，平方整理得：
，
2
2
|
|
|
3
3 |
3
|cos
,
|
4
|
| |
|
2
3
(
1)
3
n CF
n CF
n
CF
2
2
5
2
0
∴
或
（舍）.
1
2
2
∴
时，即存在点F 是
中点时，
与平面
所成角的正弦值是
．
1
1
2
DF
DD
1
DD
CF
1
B AC
3
4
例3．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，
，
AN
BM
∥
，
，
.
2
AN
AB
BC
4
BM
2 3
CN
（1）证明：
平面
；
BM
ABCD
（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角
的余弦值为
.
E
BN
M
3
3
若存在，求出的
值；若不存在，请说明理由.
CE
EM
解析：（1）证明：正方形
中，
，
平面
平面
，平面
ABCD
BC
AB
ABCD
ABMN
平面
，
平面
，
平面
，又
平面
ABCD
ABMN
AB
BC
ABCD
BC
ABMN
BM
，
，且
，又
，
，又
ABMN
BC
BM
BC
BN
2,
2 3
BC
CN
2
2
2 2
BN
CN
BC
，
，
，又
，
，又
2
AB
AN
2
2
2
BN
AB
AN
AN
AB
/ /
AN
BM
BM
AB
平面
，
平面
；
,
,
BC
BA
B BA BC
ABCD
BM
ABCD
（2）如图，以B 为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
,
,
BA BM BC
, ,
x y z
则
，
，设点
，
0,0,0 ,
2,0,0 ,
0,0,2
B
A
C
2,0,2 ,
2,2,0 ,
0,4,0
D
N
M
, ,
E a b c
，
，
，
0
1
CE
CM
, ,
2
0,4, 2
a b c
0
4
,
0,4 ,2
2
2
2
a
b
E
c
，设平面
的法向量为
，
2,2,0 ,
0,4 ,2
2
BN
BE
BEN
, ,
m
x y z
，令
，显然，平面
2
2
0
4
2
2
0
BN m
x
y
BE m
y
z
2
2
1,
1,
,
1, 1,
1
1
x
y
z
m
的法向量为
，
，
BMN
0,0,2
BC
2
4
3
1
cos
,
3
2
2
2
1
BC m
BC m
BC m
即
，即
即
，解得
或
2
2
2
3
1
3
3
2 1
4
2
2 3
6
4
2,
2
3
2
1
0
1
3
（舍），所以存在一点
，且
.
1
E
1
2
CE
EM
习题1．如图所示，在三棱锥
中，已知
平面
，平面
平面
．
P
ABC
PA
ABC
PAB
PBC
（1）证明：
平面
；
BC
PAB
（2）若
，
，在线段
上（不含端点），是否存在点
，使得二面角
6
PA
AB
3
BC
PC
D
的余弦值为
，若存在，确定点
的位置；若不存在，说明理由．
B
AD
C
10
5
D
解析：（1）过点
作
于点
，因为平面
平面
，且平面
平面
A
AE
PB
E
PAB
PBC
PAB
，
平面
，所以
平面
，又
平面
，所以
，
PBC
PB
AE
PAB
AE
PBC
BC
PBC
AE
BC
又
平面
，
平面
，所以
，又因为
，
，
PA
ABC
BC
PBC
PA
BC
AE
PA
A
AE
PA
平面
，所以
平面
．
PAB
BC
PAB
（2）假设在线段
上（不含端点），存在点
，使得二面角
的余弦值为
PC
D
B
AD
C
10
5
，
以
为原点，分别以
、
为
轴，
轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则
B
BC
BA
x
y
，
，
，
，
，
，
0,6,0
A
0,0,0
B
3,0,0
C
0,6,6
P
3, 6,0
AC
0,0,6
AP
，
，设平面
的一个法向量为
，
即
3, 6, 6
PC
0,6,0
BA
ACD
, ,
m
x y z
0,
0,
m AC
m AP
取
，
，
，所以
为平面
的一个法向量，因为
在
3
6
0,
6
0,
x
y
z
2
x
1
y
0
z
2,1,0
m
ACD
D
线段
上（不含端点），所以可设
，
，所以
PC
3 , 6 , 6
PD
PC
0
1
，
3 , 6 ,6
6
AD
AP
PD
设平面
的一个法向量为
，
即
，
ABD
, ,
n
x y z
0,
0,
n BA
n AD
6
0,
3
6
6
6
0,
y
x
y
z
取
，
，
，所以
为平面
的一个法向量，
2
2
x
0
y
z
2
2,0,
n
ABD
，又
，由已知可得
2
2
2
2
2
1 0
0
cos
,
5
2
2
m n
0
1
2
2
2
2
2
10
5
5
2
2
解得
或
（舍去）， 所以，存在点
，使得二面角
的余弦值为
，
2
3
2
D
B
AD
C
10
5
此时
是
上靠近
的三等分点．
D
PC
C
习题2．在梯形
中，
，
，
，P 为
的中
ABCD
AB
CD
A
π
3
BAD
2
2
4
AB
AD
CD
AB
点，线段
与
交于O 点（如图1）.将
沿
折起到
位置，使得平面
AC
DP
ACD
A
AC
ACD
△
平面
（如图2）.
D AC
BAC
（1）求二面角
的余弦值；
A
BD
C
（2）线段
上是否存在点Q，使得
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求
PD
CQ
BCD
6
8
出
的值；若不存在，请说明理由.
PQ
PD
解析：（1）因为在梯形
中，
，
，
，
为
ABCD
/ /
AB
CD
2
2
4
AB
AD
CD
π
3
BAD
P
的中点，所以，
，
，所以
是正三角形，四边形
为菱
AB
/ /
CD
PB
CD
PB
ADP
△
DPBC
形，
可得
，
，而平面
平面
，平面
平面
，
AC
BC
AC
DP
'
D AC
BAC
'
D AC
BAC
AC
平面
，
，
平面
，所以
，
，
两两互相垂直，
'
D O
'
D AC
'
D O
AC
'
D O
BAC
OA
OP
'
OD
如图，以点
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，轴建立空间直角坐标系，
O
OA
OP
'
OD
x
y
z
则
，
，
，
，
，
，
3,0,0
A
3,0,0
C
3,2,0
B
' 0,0,1
D
0,1,0
P
'
3,0,1
AD
，
，
，设平面
的一个法向量为
2 3,2,0
AB
'
3, 2,1
BD
'
3,0,1
CD
'
ABD
，则
，即
，令
，则
，
1
1
1
,
,
m
x y z
0
0
m AD
m AB
1
1
1
1
3
0
2 3
2
0
x
z
x
y
1
1
x
1
1
3
y
z
，设平面
的一个法向量为
，则
1, 3, 3
m
'
CBD
2
2
2
,
,
x
n
y z
，即
，令
，则
，
，
，
0
0
n BD
n CD
2
2
2
2
2
3
2
0
3
0
x
y
z
x
z
2
1
x
2
0
y
2
3
z
1,0,
3
n
，所以二面角
的余弦值为
1 1
3
0
3
3
7
cos
,
7
1 3
3
1 3
m n
m n
m n
'
A
BD
C
.
7
7
（2）线段
上存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
.设
'
PD
Q
CQ
'
BCD
6
8
，因为
，
，所以
' 0
1
PQ
PD
3,1,0
CP
'
0, 1,1
PD
，设
与平面
所成角为
，则
'
3,1
,
CQ
CP
PQ
CP
PD
CQ
'
BCD
，即
，
，解得
2
3 1
6
sin
cos
,
8
2 2
2
4
CQ n
CQ n
CQ n
2
3
7
2
0
0
1
，所以线段
上存在点
，且
，使得
与平面
所成角的正弦值为
1
3
'
PD
Q
'
1
3
PQ
PD
CQ
'
BCD
.
6
8
