85.解析几何新概念多选压轴中的八种命题形式
★1.卡西尼卵形线
定义：到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.
设两定点为
，且
，动点
满足
（
且为定值），取直
2
1, F
F
2
2
1
F
F
P
2
2
1
a
PF
PF
0
a
线
作为
轴，
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系.设
，则
2
1F
F
x
2
1F
F
y
)
,
(
y
x
P
，整理得：
，解得
2
2
2
2
2
)1
(
)1
(
a
y
x
y
x
1
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
2
a
y
x
y
x
.
)
1
1(
4
)1
(
2
2
2
2
2
a
x
a
a
x
x
y
于是曲线
的方程可化为
.
C
)
1
1(
4
)1
(
2
2
2
2
2
a
x
a
a
x
x
y
进一步，对于常数
0
a
当
时，图像变为两个点
，
0
a
1( 1,0)
F
2(1,0)
F
当
时，图像分为左右两支封闭曲线，随着
的减小而分别向点
收缩
1
0
a
1
2
,
F F
当
时，图像呈8 字形交叉，称为双纽线
1
a
当
时，图像为中部凹陷的光滑曲线
2
1
a
当
时，图像中部接近水平
2
a
当
时，图像为光滑卵形封闭曲线
2
a
例1．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵
形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形
曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积
为常数．已知：曲线
是平面内与两个定点
和
的距离的积等于常数
C
1
1,0
F
2 1,0
F
的点的轨迹，则下列命题中错误的是（ ）
2
1
a
a
A．曲线
过坐标原点
B．曲线
关于坐标原点对称
C
C
C．曲线
关于坐标轴对称
D．若点
在曲线
上，则
的面积不大于
C
P
C
1
2
F PF
△
2
1
2 a
解析：由题意设动点坐标为
，则
，
,x y
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
x
y
x
y
a
即
，
2
2
2
2
4
(
1)
(
1)
x
y
x
y
a
即曲线
的方程为
，
C
2
2
2
2
4
(
1)
(
1)
x
y
x
y
a
1
a
若曲线
过坐标原点
，将点
代入曲线
的方程中可得
与已知
矛盾，
C
0,0
0,0
C
2
1
a
1
a
故曲线
不过坐标原点，故A 错误；把方程中的
被
代换，
被
代换，方程不变，
C
x
x
y
y
故曲线
关于坐标原点对称，故B 正确；因为把方程中的
被
代换，方程不变，故此
C
x
x
曲线关于
轴对称，把方程中的
被
代换，方程不变，故此曲线关于
轴对称，
y
y
y
x
故曲线
关于坐标轴对称，故C 正确；若点
在曲线
上，则
，
C
P
C
2
1
2
PF PF
a
，当且仅当
时等号成立，
1
2
2
1
2
1
2
1
1
sin
2
2
F PF
S
PF PF
F PF
a
:
1
2
90
F PF
故
的面积不大于
，故D 正确.故选：BCD.
1
2
F PF
△
2
1
2 a
例2．（2023 届广州一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形
线，它是1675 年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标
系
中，
，
，动点P 满足
，则下列结论正确的是（ ）
xOy
( 2,0)
M
(2,0)
N
|
| |
| 5
PM
PN
A．点
的横坐标的取值范围是
B．
的取值范围是
P
5, 5
OP
1,3
C．
面积的最大值为
D．
的取值范围是
PMN
:
5
2
PM
PN
2 5,5
解析：设点
，依题意，
，
( , )
P x y
2
2
2
2
[(
2)
][(
2)
]
25
x
y
x
y
对于A，
，当且仅当
时取等
2
2
2
2
2
2
2
2
25
[(
2)
][(
2)
]
(
2) (
2)
(
4)
x
y
x
y
x
x
x
0
y
号，
解不等式
得：
，即点
的横坐标的取值范围是
，A 错误；
2
2
(
4)
25
x
3
3
x
≤
≤
P
[ 3,3]
对于B，
，则
，
2
2
2
2
[(
4)
4 ][(
4)
4 ]
25
x
y
x
x
y
x
2
2
2
4
25 16
x
y
x
显然
，因此
，B 正确；
2
0
9
x
2
2
2
|
|
25 16
4
[1,3]
OP
x
y
x
对于C，
的面积
，当且仅当
PMN
:
1
1
5
|
||
| sin
|
||
|
2
2
2
S
PM
PN
MPN
PM
PN
时取等号，当
时，点P 在以线段MN 为直径的圆
上，
90
MPN
90
MPN
2
2
4
x
y
由
解得
，所以
面积的最大值为
，C 正确；
2
2
2
2
2
4
4
25 16
x
y
x
y
x
39
4
5
4
x
y
PMN
:
5
2
对于D，因为点
在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，
，D 错
(3,0)
5 1
6
PM
PN
误.
故选：BC
★2.双扭线
例3．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维
线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy 平面上，把与定点
距离之积等于
的动点的轨迹称为双纽线．曲线C 是当
1
2
,0 ,
,0
F
a
F
a
2
0
a
a
2 2
a
时的双纽线，P 是曲线C 上的一个动点，则下列是关于曲线C 的四个结论，正确的是
（ ）．
①曲线C 关于原点对称
②曲线C 上满足
的P 有且只有一个
1
2
PF
PF
③曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过4
④若直线
与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为
y
kx
, 1
1,
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
解析：根据双纽线的定义可得，
，当
时，曲线C：
2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
x
a
y
a
2 2
a
，即
，整理，得
2
2
2
2
(
2 2)
(
2 2)
8
x
y
x
y
4
2
2
2
2
2
(
8)
(
8)
64
y
y
x
x
，①：用
替换方程中的
，原方程不变，所以曲线C 关
2
2
2
2
2
(
)
16(
)
x
y
x
y
(
,
)
x
y
( , )
x y
于原点中心对称，故①正确；
②：若曲线C 上点P 满足
，则点P 在y 轴上，即
，代入曲线方程，解得
1
2
PF
PF
0
x
，所以这样的点仅有一个，故②正确；
0
y
③：由
，得
，所以曲线C 上任意一点到原
2
2
2
2
2
(
)
16(
)
x
y
x
y
2
2
2
2
2
2
16(
)
16
x
y
x
y
x
y
点的距离
，即都不超过4，故③正确；
2
2
4
d
x
y
④：直线
与曲线C 一定有公共点(0,0)，若直线
与曲线C 只有一个交点，
y
kx
y
kx
将
代入方程
中，得
，
y
kx
2
2
2
2
2
(
)
16(
)
x
y
x
y
4
4
2
2
2
2
2
2
(
8)
(
8)
64
k x
k x
x
x
整理，得
，方程无解，则
，解得
或
，故④错
2
2
4
2
2
(1
)
16(1
)
k
x
k
x
2
1
0
k
1
k
1
k
误.
故选：A.
例4．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，
符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致
与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲
线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线
：
C
是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
A．曲线
的图象关于原点对称
C
B．曲线
经过5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C
C．曲线
上任意一点到坐标原点
的距离都不超过3
C
O
D．若直线
与曲线
只有一个交点，则实数
的取值范围为
y
kx
C
k
, 1
1,
解析：把
代入
得
，所以曲线
的图象
,x
y
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
C
关于原点对称，故A 正确；令
解得
，或
，即曲线经过
0
y
0
x
3
x
0,0 , 3,0 ,
3,0
，
结合图象，
，令
，得
，令
，得
3
3
x
≤
≤
1
x
2
11
151
1
2
y
2
x
，
2
17
369
1
2
2
y
因此结合图象曲线
只能经过3 个整点，
，故B 错误；
C
0,0 , 2,0 ,
2,0
可得
，所以曲线
上任意一点到坐标原点
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
2
2
2
2
2
2
9
9
x
y
x
y
x
y
C
O
的距离
，即都不超过3，故 C 正确；直线
与曲线
2
2
3
d
x
y
y
kx
一定有公共点
，若直线
与曲线
只有一个交点，所以
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
0,0
y
kx
C
，整理得
无解，即
，解得
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
y
kx
2
4
2
2
2
1
9
1
x
k
x
k
2
1
0
k
，故D 正确.故选：ACD.
, 1
1,
k
★3.心形线
例5.（2019 年北京理） 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
2
2
1 |
|
x
y
x y
①曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过
；
2
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A. ①
B. ②
C. ①②
D.
①②③
解析：由
得,
,
,
2
2
1
x
y
x y
2
2
1
y
x y
x
2
2
2
2
|
|
3
3
4
1
,1
0,
2
4
4
3
x
x
x
y
x
…
„
所以
可为的整数有0,-1,1,从而曲线
恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-
x
2
2
:
1
C x
y
x y
1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由
得,
,解得
,所以曲线
上任意一点到原
2
2
1
x
y
x y
2
2
2
2 1
2
x
y
x
y
„
2
2
2
x
y
C
点的距离都不超过
. 结论②正确.
2
如图所示,易知
,四边形
的面积
0, 1 ,
1,0 ,
1,1, ,
0,1
A
B
C
D
ABCD
,很明显“心形”区域的面积大于
,即“心形”区域的面积大
1
3
1 1 1 1
2
2
ABCD
S
2
ABCD
S
于3,说法③错误.故选C.
★4．阿波罗尼斯圆
定义：已知平面上两点
，则所有满足
的动点
的轨迹是一个以定比
B
A,
1
,
|
|
|
|
PB
PA
P
为
内分和外分定线段
的两个分点的连线为直径的圆.若
,则圆的半
n
m :
AB
)
0,
(
),
0,
(
b
B
a
A
径为
，圆心为
.
|
|
|
1
|
2
AB
)
0
|,
|
1
1
(
2
2
AB
解析：设
．因为
且
由两点间距离
(
,0), ( ,0), ( , )
A
c
B c
P x y
(
0,
0
AP
BP c
1)
公式得
，化简得
．
2
2
2
2
(
)
(
)
x
c
y
x
c
y
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
x
c
y
c
所以点
的轨迹是以
为圆心，以
为半径的圆．
P
2
2
1 ,0
1c
2
2
1c
例6.在平面直角坐标系中，三点
，
，
，动点
满足
1,0
A
1,0
B
0,7
C
P
，
2
PA
PB
则
A.点
的轨迹方程为
B.
面积最大时
P
2
2
3
8
x
y
PAB
2 6
PA
C.
最大时，
D.
到直线
距离最小值为
PAB
2 6
PA
P
AC
4 2
5
解析：由题意可设
，由
，可得
，
,
P x y
2
PA
PB
2
2
2
PA
PB
即
，化简可得
，故选项A 正确；
2
2
2
2
1
2
1
x
y
x
y
2
2
3
8
x
y
对于选项B，
，且点P 到直线AB 的距离的最大值为圆
的半径
2
AB
2
2
3
8
x
y
r
，即为
，所有
面积最大为
，此时
，所以
2 2
PAB
△
1
2 2 2
2 2
2
3,2 2
P
，故选项B 正确；
2
2
3 1
2 2
2 6
PA
对于选项C，
最大时，为过点A 作圆
的切点，求得切点不为
PAB
2
2
3
8
x
y
，则
，故选项C 错误；
3, 2 2
2 6
PA
对于选项D，直线
的方程为
，则圆心
到直线
的距离为
AC
7
7
0
x
y
3,0
AC
，所以点P 到直线AC 距离最小值为
，故选项D 正
2
7 3
7
14 2
5
7
1
14 2
4 2
2 2
5
5
确；故选ABD.
结论：已知圆
上任意一点
和坐标轴上任意两点
，求形如
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
P
B
A,
的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.
)
(
PB
PA
PB
PA
例7．已知圆
是以点
和点
为直径的圆，点
为圆
上的动点，若
C
2,2 3
M
6, 2 3
N
P
C
点
，点
，则
的最大值为（ ）
2,0
A
1,1
B
2 PA
PB
A．
B．
C．
D．
26
4
2
8
5 2
2
解析：由题设，知：
且
，即圆
的半径为4，
(4,0)
C
2
2
|
|
( 2 3
2 3)
(6
2)
8
MN
C
∴圆
：
，
C
2
2
(
4)
16
x
y
如上图，坐标系中
则
，∴
，即△
△
( 4,0)
D
2
4
OD
AC
CP
OC
1
2
AC
PC
CP
DC
APC :
，故
，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.
PCD
1
2
PA
PD
∴
，在△
中
，∴要使
最大，
2
|
|
|
|
PA
PB
PD
PB
PBD
|
|
|
| |
|
PD
PB
BD
|
|
|
|
PD
PB
共线且最大值为
的长度. ∴
. 故选：A
, ,
P B D
|
|
BD
2
|
|
(1
4)
1
26
BD
★5.四叶玫瑰线
例8．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线
被称为“四叶玫瑰线”（如
3
2
2
2
2
:
4
C
x
y
x y
图所示）.给出下列三个结论：
①曲线
关于直线
对称；
C
y
x
②曲线
上任意一点到原点的距离都不超过1；
C
③存在一个以原点为中心､边长为
的正方形，使曲线
在此正方形区域内（含边界）.
2
C
其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解：对于①，用
替换方程中的
，方程形式不变，所以曲线
关于直线
对
,y x
,x y
C
y
x
称，故①正确，
对于②，设点
是曲线上任意一点，则
，则点
到原点的距离为
,
P x y
3
2
2
2
2
4
x
y
x y
P
，由
，解得
，当且仅当
时取
2
2
x
y
2
2
2
2
3
2
2
2
4
4
2
x
y
x
y
x y
„
2
2 1
x
y
„
2
2
1
2
x
y
等号，故②正确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为
1，
所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错
误.
故选：A
★6.包络曲线
例9.（湖北省部分地市州25 届高三元月联考）．直线族是指具有某种共同性质的直线的全
体，例如
表示过点
的直线族（不包括直线
）．直线族的包络曲线
1
y
kx
k
R
0,1
0
x
定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线．已知直线族
，则下列说法正确的是
1
,
ax
by
a b
R
（ ）
A．若
，则该直线族的包络曲线为圆
cos ,
sin
0,2π
a
b
B．若
，则该直线族的包络曲线为椭圆
cos
sin
,
(
0,
0,2π )
a
b
m
n
m
n
C．当
时，点
可能在直线族
上
3
3
1
,
(
0)
2
2
a
b
t
t
t
3
0
0
0
,2
0
x
x
x
1
ax
by
D．当
时，曲线
是直线族
的包络曲线
2
0
a
b
2
4
0
x
y x
1
ax
by
解析：对于A，设圆
：
上的点为
，直线
的斜率为
O
2
2
1
x
y
(cos ,sin )
P
OP
sin
cos
OP
θ
k
θ
，过点
作圆的切线，由
，得
，所以切线的方程为
P
l
1
OP
l
k
k
cos
sin
l
θ
k
θ
l
，即
，故A 正确；
cos
sin
(
cos )
sin
θ
y
θ
x
θ
θ
cos
sin
1
x
θ
y
θ
对于B，设椭圆
上的点为
，过点
作圆的切线，当切线斜率
2
2
2
2
1
x
y
m
n
( cos , sin )
P m
n
P
l
存在时，设
，
，联立得：
，
y
kx
b
2
2
2
2
1
x
y
m
n
y
kx
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
0
n
m k
x
kbm x
m b
m n
所以
，
.作商：
，得
2
2
2
2
cos
kbm
n
m k
m
2
2
2
2
sin
cos
b
n
m
km
n
k
b
n
2
2
cos
sin
m
k
n
m
n
，所以切线的方程为
，即
；
cos
sin
k
n
m
l
cos
sin
(
cos )
sin
θ
y
n
θ
x
m
θ
m
n
θ
cos
sin
1
x
y
m
n
当切线斜率不存在时，
或
，则切线方程
和
亦满足
0
y
n
y
n
cos
sin
1
x
y
m
n
，故B 正确；
对于C，将
代入
得
，构造
，
3
0
0
,2
x
x
2
3
3
2
y
t x
t
3
2
3
0
0
2
3
2
0
t
t x
x
3
2
3
0
0
( )
2
3
2
f t
t
t x
x
，当
时，
；当
，
.所以
在
上单调
0
( )
6 (
)
f t
t t
x
0
(0,
)
t
x
( )
0
f t
0
(
,
)
t
x
( )
0
f t
( )
f t
0
(0,
)
x
递减，
在
上单调递增，因而当
时，
取到最小值
( )
f t
0
(
,
)
x
0
t
x
( )
f t
，所以
在
无零点，
无解，故C
3
2
3
3
0
0
0
0
0
0
(
)
2
3
2
0
f x
x
x x
x
x
( )
f t
(0,
)
3
2
3
0
0
2
3
2
0
t
t x
x
错误；
对于D，若
不在直线族上，则将
代入直线
得
无
0
0
,
x
y
0
0
,
x
y
2
1
1
y
x
a
a
2
0
0
1
0
y a
ax
解，则
，所以
,因而可得当
在曲线
上时，则一定在直线
2
0
0
4
0
x
y
2
0
0
4
x
y
0
0
,
x
y
2
4
x
y
族上，
联立
和
得
，所以
，故直线
2
1
1
y
x
a
a
2
4
x
y
2
2
4
4
0
x
x
a
a
2
2
4
4
Δ
4
0
a
a
和
相切，又
不包括直线
，所以
是直线族
2
1
1
y
x
a
a
2
4
x
y
1
ax
by
0
y
2
4
0
x
y x
1
ax
by
的包络曲线，故D 正确.故选：ABD.
★7.高次曲线
例10．（2025·江西·一模）我们把形如
的曲线叫作拉梅曲线，该曲
1
, ,
n
n
x
y
a b n
a
b
R
线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的
是（ ）
A．若
，则拉梅曲线
围成的封闭区域的面积为
1
n
1
n
n
x
y
a
b
4ab
B．若
，则拉梅曲线
围成的封闭区域的面积小于
1
2
n
1
n
n
x
y
a
a
2
4
π a
C．若拉梅曲线
与曲线
恰有4 个公共点，则
1
n
n
x
y
a
a
1
xy
log 2
a
n
D．若
为拉梅曲线
上第一象限内一点，则
0
0
,
P x
y
1
n
n
x
y
a
b
0
0
4
n
n
n
a b
x y
解析：当
时，拉梅曲线方程为
为菱形，与坐标轴交于点
，
，
1
n
1
x
y
a
b
,0
a
0, b
则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A 不正确．
当
时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线
在第一象限的情形，
1
2
n
1
n
n
x
y
a
b
此时由
可得
，下证
，
1
x
y
a
a
2
y
a
x
2
2
2
a
x
a
a
x
a
即证
，即证
，
2
a
ax
x
a
2
2ax
x
2
2
2
0
x
ax
ax
x
即证
，即证
，即证
，
2
2
x
a
x
a
2
2
2
4
a
x
a
x
a
2
x
a
x
a
即证
，即证
，这显然成立．
2
2
x
a
x
a
2
0
x
a
因为
（
）表示圆心为
，半径为a 的四分之一圆弧，
2
2
y
a
a
x
a
0
x
a
,a a
所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为
，
2
1
1
π
4
a
则拉梅曲线
与第一象限围成的封闭区域的面积小于
，
1
n
n
x
y
a
b
2
1
1
π
4
a
则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于
，B 正确．
2
4
π a
当拉梅曲线
与曲线
恰有4 个公共点时，
1
n
n
x
y
a
b
1
xy
根据对称性可知，它们在第一象限恰有1 个公共点，由
，
1
1,
n
n
x
y
a
a
xy
整理得
恰有1 个正根，则
，
2
1
0
n
n
n
x
a x
2
4
0
n
a
解得
，即
，C 正确．
2
n
a
log 2
a
n
若
为拉梅曲线
上第一象限内一点，
0
0
,
P x
y
1
n
n
x
y
a
b
则
，从而
，D 正确．
0
0
1
2
n
n
x
y
a
b
≥
0
0
n
n
x
y
a
b
0
0
4
n
n
n
a b
x y
≤
故选：BCD．
★8.圆锥曲线（前面曲线）的拼接与组合
例11.（24-25 高三下·浙江·开学考试）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由
两条曲线构成，曲线
，上顶点为
，右顶点为
，曲线
上的点满足到
2
2
1 :
1
3
4
x
y
C
E
G
2
C
和直线
的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过
作斜
0, 1
F
1
y
F
率小于0 的直线与两曲线从左到右依次交于
且
，则（ ）
l
, ,
,
A B C D
1
A
y
A．曲线
由两条抛物线的一部分组成
2
C
B．线段
的长度与
点到直线
的距离相等
AF
A
5
y
C．若线段
的长度为
，则直线的斜率为
AB
5
6
l
3
4
D．若
，则直线的斜率为
3
AFE
DFG
S
S
△
△
l
2 3
3
解析：
对于A 选项，设曲线
上任意一点
，
2
C
,
M x y
由
定义可知，
满足
，移项，平方可得：
2
C
,x y
2
2
(
1)
1
4
x
y
y
，即
，
2
2
2
2
(
1)
(4
1)
16
8
1
(
1)
x
y
y
y
y
2
12
24,
1
16
4
8
1
4
8,
1
y
y
x
y
y
y
y
为两条抛物线，故A 正确；
对于B 选项，
和直线
分别为抛物线
的焦点和准线，由抛物线定义可
F
5
y
2
12
24
x
y
知，故B 正确
对于C 选项，设与
轴夹角为
同时为抛物线
和椭圆的焦点，
，
l
y
, F
2
12
24
x
y
6
p =
，解得
，则
，故C 错误.
6
3
5
1
cos
2
cos
6
AB
AF
BF
4
cos
5
4
3
lk
对于D 选项，易知
为抛物线
和
的焦点，前者
，后者
F
2
4
8
x
y
2
12
24
x
y
2
p
分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此
6,
,
p
AF DF
，由于
，则
，因此
6
2
,
,
3
1
cos
1
cos
AF
DF
AF
DF
3
AFE
DFG
S
S
△
△
E l
G l
d
d
，
//
EG l
所以
，故D 正确，故选：ABD
2 3
3
l
EG
k
k
三．习题演练
1．（2025·山东潍坊·模拟预测）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心
形线、卵形线等．已知卵形线C：
，则（ ）
2
2
0
x
x
y
A．C 关于直线
对称
0
y
B．C 上横、纵坐标均是整数的点恰有4 个
C．C 上存在点P，使得P 到点
的距离小于1
1,0
D．C 围成区域的面积大于4
2．（2025·安徽合肥·一模）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美
曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”
2
2
2
2
25
9
0
C
x
x y
y
：
，则（ ）
A．曲线
关于直线
对称
C
y
x
B．曲线
有4 个顶点
C
C．曲线
与直线
有4 个交点
C
3
y
x
D．曲线
上动点
到原点距离的最小值为
C
P
2 7
5
3．（2025·云南昆明·一模）“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线
:
C
2
2
2 3
(
)
4
x
y
xy
，其形态极像“四叶草”，设
为坐标原点，
为
上异于原点的一点，过点
作直线
O
P
C
P
OP
的垂线交坐标轴于
，
两点，则（ ）
A
B
A．
有4 条对称轴
B．
围成的面积大于
C
C
4π
C．
D．
的面积最大值为4
4
AB
OAB
:
参考答案
1.解析：由
，则
，对于曲线上任意点
，其关于
轴
2
:
2
0
C x
x
y
2
2
:(
1)
1
C
x
y
( , )
x y
x
对称点为
，把
代入
成立，曲线关于直线
对
( ,
)
x
y
,x
y
2
2
2
(
)
2
0
x
x
y
x
x
y
0
y
称，A 对；
所以
，得
，故
，
时
；
时
2
2
1
(
1)
1
1
1
y
x
y
0
2
x
0
4
x
0
x
0
y
1
x
；
时
，故曲线过点
， 曲线C 上恰好有4 个整点，B 对；
1
y
4
x
0
y
(0,0),(1, 1),(4,0)
由圆
过点
，故圆上点均在曲线上或内，所以曲线
上不存
2
2
(
1)
1
x
y
(0,0),(1, 1),(1,0)
C
在点
，使得P 到点
的距离小于1，C 错；
P
(1,0)
如图中，四边形
在曲线
内部，故曲线
所围成区域的面积大于
OACB
C
C
1
2 4
4
2
OACB
S
，D 对.故选：ABD
2.解析：对于A，将
交换方程依然成立，所以曲线关于
对称，A 正确；
,x y
y
x
对于B，易得曲线有四条对称轴
轴，
轴，直线
，直线
，共有8 个顶点，B
x
y
y
x
y
x
错误；
对于C，由
得
，
2
2
2
2
25
9
0
3
x
x y
y
y
x
2
2
2
2
25
3
3
9
0
x
x
x
x
即
，可得
，对于方程
2
2
25
3
2
3
0
x
x
x x
2
3
25
75
2
0
x x
x
x
，
， 则方程
有两不等实根，且
2
25
75
2
0
x
x
2
( 75)
4 25 2
0
2
25
75
2
0
x
x
方程的根不为0 和3，
所以方程
有4 个不等实根，
2
3
25
75
2
0
x x
x
x
从而曲线C 与直线
有4 个交点，C 正确；
3
y
x
对于D，由
得
，
2
2
2
2
25
9
0
x
x y
y
2
2
2
9
25
1
x
y
x
2
2
2
2
2
2
2
9
25
1
226
2
25
1
25
25
25 25
1
x
x
x
y
x
x
x
，当且仅当
，即
2
2
25
1
226
2
2 226
2
2
25
25
25
25
25 25
1
x
x
2
2
25
1
226
25
25 25
1
x
x
时取等号，则
的最小值为
，曲线C 上动点P 到原点距离的
2
226
1
25
x
2
2
x
y
2 226
2
25
25
最小值
，D 错误；故选：AC
2 226
2
25
25
3.解析：对于A，将
换为
方程不变，所以曲线关于
轴对称；将
换为
方程不变，
x
x
y
y
y
所以曲线关于
轴对称；将
换为
，
换为
方程不变，所以曲线关于
对称；
x
x
y
y
x
y
x
将
换为
，
换为
方程不变，所以曲线关于
对称；所以曲线
有4 条对称轴，
x
y
y
x
y
x
C
故A 正确；
对于B，
，则
，所以曲线
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
16
16
4
2
x
y
x
y
xy
x
y
2
2
4
x
y
C
包含在圆
的内部，因为圆
的面积为
，所以曲线
的面积小于
，故
2
2
4
x
y
2
2
4
x
y
4π
C
4π
B 错误；
对于C，设点
，则
，且
，所以直线
,
P m n
OP
n
k
m
3
2
2
2
4
m
n
mn
，即
，令
，得
，即
:
m
AB y
n
x
m
n
2
2
mx
ny
m
n
0
x
2
2
m
n
y
n
2
2
0, m
n
B
n
，令
，得
，即
，由
，可得
0
y
2
2
m
n
x
m
2
2
,0
m
n
A
m
3
2
2
2
4
m
n
mn
，
，
2
2
2
2
2
2
2
16
m
n
n
m
m
n
2
2
2
2
2
2
2
16
m
n
m
n
m
n
，故C 正确；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
4
m
n
m
n
m
n
AB
m
n
m
n
对于D，由C 可知，
，又
，则
，
4
AB
2
2
4
x
y
2
OP
，当且仅当点
在圆
上时等号成立，故D 正确.
1
2
4
2
OAB
S
AB
OP
OP
:
P
2
2
4
x
y
故选：ACD.
