文档文本内容
微专题拓展15 利用导数证明不等式
目录
01
题
解
方法总结.............................................................................................................................2
02
题
重难点
型梳理........................................................................................................................ 3
题型一：直接转化最值法....................................................................................................................3
题型二：指对切线放缩法....................................................................................................................5
题型三：指对加强放缩法....................................................................................................................6
题型四：和型对称构造法....................................................................................................................6
题型五：积型对称构造法....................................................................................................................6
题型六：换元辅助构造法....................................................................................................................7
题型七：比值代换统一变量................................................................................................................8
题型八：对数单身狗、指数找朋友..................................................................................................10
题型九：主元分析法..........................................................................................................................12
题型十：导数数列结合不等式..........................................................................................................14
题型十一：凹凸反转证明法..............................................................................................................16
03
拓展
课后
精练...........................................................................................................................18
1、常用导数放缩
①
(切点横坐标是
，
)
②
③
(切点横坐标是
，
)
④
⑤
⑥
2、利用导数证明不等式是高中数学的重要方法，常见方法有以下几种：
（1）构造函数法：将不等式变形，构造新函数。如证明
，可设
，对
求导，根据导数正负判断其单调性。若
在某区间单调递增，且能求出
在该区间端点值或极限值
大于0，则可证不等式成立。
（2）放缩构造函数法：当直接构造函数难以处理时，对不等式进行适当放缩，再构造函数。
（3）多次求导法：对于一些复杂函数，一次求导难以判断单调性，需多次求导。通过多次分析导数的变
化情况，确定函数的单调性与极值，进而证明不等式。
3、对(指)数平均不等式
对数平均不等式：两个正数
的对数平均
，有如下关系：
，
即几何平均数
对数平均数
算术平均数．
指数平均不等式：设
，
，则
，有如下关系：
．
题型一：直接转化最值法
例1．（2026·黑龙江·一模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求证：
．
例2．（2026·山东济宁·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)求证：当
且
时，
.
例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
.
(1)设
，求
的单调区间；
(2)设
是
的极小值点，求证：
.
变式1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明：当
时，
．
变式2．已知
(1)设函数
，讨论函数
的单调性；
(2)当
，
时，证明：
．
变式3．已知函数
.
(1)求函数
的极大值与极小值；
(2)证明：当
时，
.
变式4．已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
在
处取得极值，且
，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
变式5．（2026·广东广州·三模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，求证：
.
题型二：指对切线放缩法
例4．（2026·重庆·模拟预测）设函数
（
）满足
恒成立.
(1)求
的值；
(2)求证：
.
例5．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
无零点.
(3)若函数
，证明：
.
例6．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，都有
，求实数
的值；
(3)证明:
.
题型三：指对加强放缩法
例7．（2026·高三·江西·阶段检测）已知函数
．
(1)讨论如何将曲线
平移变为曲线
；
(2)若
存在大于0 的零点，求
的取值范围；
(3)设点
在曲线
的任意一条切线上，证明：
．
例8．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
题型四：和型对称构造法
例9．（2026·河南·模拟预测）设函数
．
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
在
上恒成立，求a 的取值范围；
(3)当
时，若
满足
，求证：
．
例10．已知函数
．若关于
的方程
在
内有两个根
，
证明：
．
例11．（2026·高三·天津蓟州·期中）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个正零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
题型五：积型对称构造法
例12．已知函数
．若函数有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
．
例13．（2026·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
例14．（2026·广东江门·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)已知
，函数
，且
仅有两个零点．
①求
的取值范围；
②证明：
的两个零点之积小于1．
题型六：换元辅助构造法
例15．已知
，
，直线与函数
，
的图象都相切，且与函数
图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线的方程和
的值；
(2)当
时，求证：
．
例16．（2026·高三·北京密云·阶段检测）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)当
时，
（
）求
ⅰ
的极值点；
（
）设函数
ⅱ
，证明：
．
例17．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
有且仅有两个零点
，
，且
，证明：
.
题型七：比值代换统一变量
例18．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
例19．（2026·高三·湖北黄冈·阶段检测）已知函数
(1)求
的单调性;
(2)若
有两个不相同的零点
，
，设
的导函数为
．证明：
例20．（2026·河南周口·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围；
(3)若
，且存在
，
，使得
，证明：
．
变式6．（重庆市南开中学校2026 届高三年级5 月质量检测数学试题）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个不同的零点
为
的导函数，试证明:
.
题
数
数
型八：对
单身狗、指
找朋友
例21．（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知函数
，
．
(1)若
在
上单调递增，
，求实数
的值；
(2)证明：
．
例22．（2026·高三·福建莆田·期中）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明：当
时，
．
例23．（2026·高三·四川成都·开学考试）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，令
，求证：
变式7．已知函数
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，讨论函数
的单调性；
(3)若
，求证：当
时，
.
变式8．已知函数
，设曲线
在点
处的切线为．
(1)求的方程；
(2)若函数
的图象为，证明：
．
变式9．（2026·安徽蚌埠·二模）已知函数
，
为
的导函数．
(1)求
的单调区间；
(2)记
，
．当
时，证明：
．
变式10．（2026·四川资阳·三模）已知函数
在
处有极大值．
(1)求实数
的值；
(2)证明：
．
题型九：主元分析法
例24．（2026·高三·广东·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，证明：
．
例25．（2026·高三·安徽合肥·开学考试）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
，证明：当
时，
．
例26．（2026·北京房山·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，分别讨论函数
与
在
上的单调性；
(3)证明：当
时，
．
变式11．（2026·高三·北京西城·阶段检测）已知函数
，且
.
(1)求函数
的定义域及
的值；
(2)若曲线
在点
处的切线方程为
，求证：
.
变式12．（2026·高三·湖南长沙·开学考试）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，若曲线
恰有两条过点
的切线，求实数
的取值集合；
(3)设
为非负实数，
为正实数，若
，证明：
．
变式13．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数
与函数
的图象在公共
点处有相同的切线.
(1)当
时，求函数
与
在公共点处的切线方程；
(2)求
的最大值；
(3)证明：当
时，
.
变式14．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数
(1)设
，分别讨论函数
与
在
上的单调性；
(2)证明：当
时，
.
题
导数数
不等式
型十：
列结合
例27．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)求证：对任意的
且
，都有：
，（其中
为自然对数
的底数）
例28．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，求函数
的最小值；
(3)求证：
.
例29．（2026·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)求
在
上的最大值；
(2)证明：
.
变式15．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当
时，
恒成立；
(3)证明：
．
变式16．已知函数
的图像在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求
，
满足的关系式；
(2)设
，讨论函数
的单调性；
(3)证明：
.
变式17．已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：当
时，
.
变式18．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知函数
，
．
(1)若
，求
的极值点；
(2)若
，都有
，求
的取值范围；
(3)证明：
，有
．
题
证明
型十一：凹凸反转
法
例30．证明：
例31．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)试证明不等式
.
例32．（2026·高三·山东青岛·阶段检测）已知函数
．
(1)若
是单调递减函数，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
．
1．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
是函数
的极值点，求证：
．
2．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，设函数
，函数
的极小值点为
，求证：
．（数据：
）
3．已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
在R 上单调递增，求实数
的取值范围；
(3)求证：当
时，
存在唯一极小值点
，且
.
4．已知函数
，点
在函数
的图象上．且
．
(1)设
，求
在
的最大值；
(2)判断数列
的单调性并严格证明；
(3)设
．证明：
；
5．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)求函数
在
上的值域；
(3)设
，证明：
．
6．（2026·四川广安·二模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，当
时，
在
上的极小值点为
，求证：
．
注：
7．已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
.
8．（2026·高三·山东临沂·期末）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，求证：
是
上的单调递减函数；
(3)求证：当
时，
.
9．（2026·福建泉州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
10．（2026·广东·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)证明：
．
11．（2026·高三·河南·阶段检测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：
.
