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第 04 讲 正弦定理和余弦定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背............................................................2
第二部分：高考真题回归..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................7
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形........................................7
角度1：三角形个数问题...................................................7
角度2：利用正弦定理解三角形............................................12
角度3：利用余弦定理解三角形............................................15
角度4：正余弦定理综合应用..............................................18
高频考点二：判断三角形的形状...............................................22
高频考点三：三角形面积相关问题.............................................25
角度1：求三角形面积....................................................25
角度2：三角形面积的最值（范围）........................................31
高频考点四：三角形周长（边）相关问题.......................................38
角度1：求三角形周长（边长）............................................38
角度2：三角形周长（边长）的最值........................................43
第四部分：数学文化题...........................................................51
第五部分：高考新题型...........................................................54
①开放性试题...............................................................54
②探究性试题...............................................................55
③劣够性试题...............................................................56
第六部分：数学思想方法.........................................................58
①函数与方程的思想.........................................................58
②分类讨论的思想...........................................................60
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在 中， 若角 、 及 所对边的边长分别为 ， 及 ，则有
1.2正弦定理的推广及常用变形公式
在 中， 若角 、 及 所对边的边长分别为 ， 及 ，其外接圆半径为 ，则
①
② ； ； ；
③
④
⑤ ， ， （可实现边到角的转化）
⑥ ， ， （可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍.
②符号语言：在 中，内角 ，所对的边分别是 ,则：
；
2.2余弦定理的推论
；
；
3、三角形常用面积公式① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若 或
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这
种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ___________．
2．（2022·全国（甲卷文理）·统考高考真题）已知 中，点D在边BC上，
．当 取得最小值时， ________．3．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
4．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
5．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
典型例题
例题1．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）在 中，
，则 的解的个数是（ ）
A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个
例题2．（2023春·陕西榆林·高一校考阶段练习）在 中， ，若解三角形时有
两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）如果满足 的 恰有一个，
则实数 的取值范围是__________.
例题4．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知 中，
，若满足上述条件的三角形有两个，则 的范围是__________．
练透核心考点
1．（2023春·天津静海·高一静海一中校考阶段练习）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、
、 ，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A． ， ， ，有两解 B． ， ， ，有一解
C． ， ， ，有一解 D． ， ， ，无解
2．（2023·全国·高一专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，
，若 只有一解，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或3．（多选）（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（ ）
A． ， ， ，有两解
B． ， ， ，有两解
C． ， ， ，只有一解
D． ， ， ，只有一解
4．（多选）（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在 中，角 所对的边分别
为 ，且 .若 有两解，则 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
5．（2023·全国·高一专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1) ， ， ；
(2) ， ， ；
(3) ， ， ．
角度2：利用正弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2023春·甘肃白银·高一校考阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知
则 （ ）
A．45°或135° B．135°
C．45° D．60°或120°
例题2．（多选）（2023春·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在 中，已知
， ， 的外接圆面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中， ， ，求
长度的取值范围．练透核心考点
1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
，那么 （ ）
A． B． C． 或 D．
2．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）在三角形ABC中，已知
，则三角形面积 _________．
3．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在 中，角 的对边分别为
，且 ， ，则 _________.
角度3：利用余弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2023春·吉林·高一校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺
术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某
同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、
90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端
点绘制了 ，测得 ， ， ， ，若点 恰好在边 上，请帮忙计算
的值（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若， ，求角 ．
例题3．（2023春·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在 中，内角 的对边分
别为 ，已知 为锐角，且 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 面积的最大值；
(3)若 ，点 为 的中点，且 ，求边 的长.
练透核心考点
1．（2023春·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在 中，角 所对的边分别为
，已知 ，则角 ___________.
2．（2023·全国·高三专题练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则
C＝______
3．（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足 ，且 ，
(1)求C；
(2)求△ABC外接圆的半径R.
角度4：正余弦定理综合应用
典型例题例题1．（2023春·河北衡水·高一河北武强中学校考阶段练习）已知锐角 中，角 ， ， 的对
边分别为 ， ， ．若 ， ， ，则 （ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
例题2．（多选）（2023春·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）在 中， 在边 上，且
， ，若 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． 为锐角三角形C． 的外接圆半径为 D． 的内切圆半径为
例题3．（2023·宁夏银川·统考模拟预测） 中， ， ， ， 为 边
上一点，且 ，则 的面积等于________.
练透核心考点
1．（2023·河南·校联考模拟预测）在四边形ABCD中， ， ，则 的最
大值为（ ）
A．25 B． C． D．
2．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）在 ABC中，若 ， ， ABC的面积
△ △
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且
， ， ，则 ______．
高频考点二：判断三角形的形状
典型例题
例题1．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）已知 的三个内角 所对的边分别为 ．
若 ，则该三角形的形状一定是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
例题2．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）在 中，若 ，则 的形状是（
）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
例题3．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）若 ，且
，那么 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
例题4．（2023·全国·高一专题练习）在 ，若 ，则 的形状是________.
练透核心考点
1．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）在 ABC中，已知 ，且
，则 ABC的形状是（ ） △
A．等腰三角形 B△．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）在 中，角 所对的边分别
为 ，已知 ， ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．（2023春·全国·高一专题练习）在 中，若 ，则 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．（2023春·浙江金华·高一校考阶段练习）在 中，满足 ，则 的形状是
________．
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
典型例题
例题1．（2023·河南郑州·统考二模）已知在非 中， ， ，且，则 的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
例题2．（2023春·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）在 中，已知 的平
分线 ，则 的面积为_____________.
例题3．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）在 中，角 所对的边
分别为 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的面积.
例题4．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）从① ；②
；③ 的外接圆的半径为2且 ，这三个条件中选择一个，补充在下面
问题中，并解答.
已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，__________.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
练透核心考点
1．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c．若 ，且 ，则该三角形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．
2．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）已知O是 的外心， ，若
且 ，则 的面积为____.
3．（2023·北京·校考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的面积．
4．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）在① ，②
，③向量 ， ， 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并解答．
在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且__________．
(1)求角 的大小；
(2) 是线段 上的点，且 ， ，求 的面积．
角度2：三角形面积的最值（范围）
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）在 中， 、 、
三个内角所对的边依次为 、 、 ，且 ，若 ，则 的面积的最大值为___________
例题3．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，若
(1)求角 .
(2)若角 为钝角，求 面积的取值范围.
例题4．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知 为锐角三角形，角 所对的
边分别为 ，且 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
练透核心考点
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）在锐角 中，角 所对的边
分别为 ，它的面积等于 且 ，则 的面积的取值范围是_________.
2．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 为 的垂心， ，求 面积的最大值.3．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）在① ，②
这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知 的角 对边分别为 ，而且_____．
（I）求 ；
（Ⅱ）求 面积的最大值．
4．（2023·吉林·统考二模）已知 的三个角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求边 ；
(2)若 是锐角三角形，且___________，求 的面积 的取值范围.
要求：从① ，② 从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多
个条件分别解答，按第一个解答计分.高频考点四：三角形周长（边）相关问题
角度1：求三角形周长（边长）
典型例题
例题1．（2023春·贵州黔西·高一校考阶段练习）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、
、 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的值．
例题2．（2023春·天津河东·高一天津市第四十五中学校考阶段练习）在 中，角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)已知 ， 的面积为 ，求边长 的值.
例题3．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）在 中，角 所对的边
分别为 且
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 求 的周长.例题4．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）在 中， 、 、
三个内角所对的边依次为 、 、 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长
练透核心考点
1．（2023春·陕西西安·高一西安市第六中学校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
2．（2023春·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对
边，且 ．
(1)求A；
(2)若 ，则 的面积为 ，求 的周长．
3．（2023春·甘肃白银·高一校考阶段练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积 ，求 的周长．
4．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知 中，角 所对的边分别为 ，且
， 外接圆的半径为 .
(1)求A的值；
(2)若 ，求 的周长.
角度2：三角形周长（边长）的最值
典型例题
例题1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足
.
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围.例题2．（2023春·云南·高二校联考阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 周长的最大值.
例题3．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）设 的内角 ， ，
的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行求解．
问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知______， ．
(1)求 ；
(2)求 周长的取值范围
例题5．（2023春·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）已知锐角 的面积是 ，
．(1)求 的值；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
练透核心考点
1．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
2．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形 中， 四点共圆，
， ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
3．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围.4．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解
答．
① ；② ；③ ；
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为 边上的一点，______．
(1)求角C；
(2)若 为角平分线，且 ，求 最小值．
5．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，
汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），
证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2
中，若 ， ，D，E两点间的距离为 ，则弦图中小正方形的边长为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线，取一个正三角
形，在每个边以中间的三分之一部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的三分之一部
分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示.现在向圆中均匀散落1000粒豆子，则落在六角星中的
豆子数约为（ ， ）（ ）
A．331 B．481 C．508 D．577
3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中
有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体
现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当
绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行 米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．（2023·全国·高三专题练习）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄
始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 ，且 ，从而保证伞圈 能够沿着伞柄滑动.如图
（2），伞完全收拢时，伞圈 已滑到 的位置，且 ， ， 三点共线， ， 为 的中
点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知 是一个锐角三角形的三边长，请写
出一个 的值__________.
2．（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）如图所示，点 在线段 上， ， ，
若再给出一条线段的长度，可以使 唯一确定，这个线段可以是______（只需写出代表该线段
的字母，无需给出长度）
3．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 外接
圆的面积为 ，请写出一组满足上述条件的边和角： ______， ______．
②探究性试题
1．（2023·辽宁丹东·统考一模） ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．
(1)证明； ABC是钝角三角形；△
(2)在四个△条件① ② ③ ④ 中，哪三个条件同时成立能使 ABC存
△在？请说明理由．
③劣够性试题
1．（2023·吉林延边·统考二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
．
(1)求B；
(2)在下面两个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
① 的周长为 ；②面积为 ．
2．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以
解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在 ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)△ 求角B的大小；
(2)若 ABC为锐角三角形， ，求 的取值范围.
△第六部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ， ，
，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·高三校考）已知 的内角 的对边分别为 ，满足
，
(1)求 ；
(2) 是线段 边上的点，若 ，求 的面积.
3．（2023·高二课时练习）若 ，求 的最大值．②分类讨论的思想
1．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）已知 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ．若 为直角三角形，则 的面积
为________．
2．（2023·辽宁·高二统考） ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ．
(1)求A的大小；
△
(2)若 ， ，求a．
3．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）在 ABC中，已知 ，b＝1，B＝30°．
(1)求角A； △
(2)求 ABC的面积．
△
