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专题3 用导数研究函数的极值
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考
查的重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函
数极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题的求解.
(一) 求函数的极值
1.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a 处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a 附近的
左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a 叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b 处的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b 附近的
左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b 叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0 的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右
正,那么f(x)在x0处取极小值.
3.对极值理解：
(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值；
(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对
应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小
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值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也
可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值的大小没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值
不一定比极小值大；
(4)使f′(x)＝0 的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是
极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0 处有f′(0)＝0,即x＝0 是f(x)＝x3的驻点,但从f(x)在(－∞,＋
∞)上为增函数可知,x＝0 不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)＝0 是f(x)在x＝x0
处取到极值的必要不充分条件,函数y＝f′(x)的变号零点,才是函数的极值点；
(5)函数f(x)在［a,b］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之
间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且
有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．
【例1】(2024 届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟三) 已知函数
（
）.
(1)求函数
的极值；
(2)若集合
有且只有一个元素，求
的值.
【解析】（1）由
，
因为
，所以
的定义域为
，则
，
因为
时，
；
时，
.
所以
的单调递增区间为
；单调递减区间为
，
所以
是
的极大值点，
的极大值是
，无极小值.
（2）由（1）可得
，
要使得集合
有且只有一个元素，则只需要
设
，则
，
因为
时，
；
时，
，
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所以
的单调递减区间为
；单调递增区间为
.
所以
，所以关于
的方程
有解时，
只能是
，所以集合
有且只有一个元素时
.
(二)函数极值点的个数问题
可导函数
的极值点的个数,通常转化为方程
实根个数,再根据
的单调性或图象求解,求解
时要注意
是
的必要不充分条件.可导函数
在点
处取得极值的充要条件是：
是导函数的
变号零点,即
,且在
左侧与右侧,
的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数
,
在极小值点
处是不可导的.
【例2】（2024 届北京市景山学校高三上学期考试）已知函数
.
(1)当
时,求
的单调区间；
(2)求证：当
时,函数
有三个不同的极值点.
【解析】（1）当
时,
,
,
所以在区间
单调递增,
在区间
单调递减.
所以
的增区间为
；减区间为
.
（2）依题意
,
,
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对于函数
,
,
所以
有两个零点,设为
,则
,
不妨设
,所以在区间
单调递减；
在区间
单调递增,
所以
有三个不同的极值点
.
(三)由函数极值点个数确定参数范围
此类问题一般是先把问题转化为
实根个数问题,可借助图象分析,若
可化为二次方程问题,
可利用二次方程根的分布求解.
【例3】（2024 届山西省晋中市高三下学期5 月适应训练）已知函数
，
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
存在两个极值点，求实数
的取值范围．
【解析】（1）由
，知
.
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，有
，
从而对
和
有
，对
有
.
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由于
，故
.
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记
，则
.从而对
有
，对
有
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，对
均有
，所以
不可能有两个零点，从而
不
可能有两个极值点；
当
时，由
，
，
，结合零点存在定理可知
存
在两个零点
，
.
再结合
的单调性知
在
时取正值，在
时取负值，所以
有极大值点
和极小值点
.
综上，
的取值范围是
.
(四)含参数的函数极值的讨论
求含参数函数
的极值,通常转化为不等式
或
的解集问题,求解时要注意对参数进行
分类讨论.
【例4】（2024 届河宁夏银川一中、昆明一中高三下学期二模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的极值.
【解析】（1）
，
当
时，
，
，又
，
故曲线
在
处的切线方程为
，即
.
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（2）
，解得
，
，
①若
，可得
或
时，
，当
时，
，
所以
在
，
递减，
递增，
所以
的极小值为
，
的极大值为
.
②若
，则
，所以函数
在R 上单调递减，无极值；
③若
，当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
，
递减，
递增，
所以
的极小值为
，
的极大值为
.
综上，当
时，
的极小值为
，
的极大值为
. 当
时，函数
无
极值.当
时，
的极小值为
，
的极大值为
(五)由极值点满足条件求解不等式问题
此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等
式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解.
【例5】（2024 届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数
.
(1)当
时，曲线
与曲线
恰有一条公切线
，求实数
与的值；
(2)若函数
有两个极值点
且
，求
的取值范围.
【解析】（1）解：当
时，
，可得
，
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令
，可得
，又由
，所以切点
在直线
上，则
，
因为
，所以
，令
，则
，
在直线
方程中，令
，可得
，
又因为点
在曲线
上，所以
.
（2）解：函数
，可得
，
由函数
有两个极值点，所以
有两个不等正根，则
，
由
，
可得
，
令
，
，
所以
在区间
上单调递增，
因为
，
所以由
，可得
，
令函数
，可得
，
所以
在
上单调递减，可得
，
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又因为
，所以
的取值范围是
.
【例6】（2024 届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数
,
.
(1)若经过点
的直线与函数
的图像相切于点
,求实数a 的值；
(2)设
,若
有两个极值点为
,
,且不等式
恒成
立,求实数
的取值范围.
【解析】（1）
的定义域为
,
由
,得
,则
,
因为经过点
的直线与函数
的图像相切于点
,
所以
,所以
,解得
,
（2）
,则
,
因为
有两个极值点为
,
,
所以
在
上有两个不同的根,
此时方程
在
上有两个不同的根,
则
,且
,解得
,
若不等式
恒成立,则
恒成立,
因为
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不妨设
,
则
,因为
,所以
,
所以
在
上递减,所以
,所以
,
即实数
的取值范围为
.
【例1】（2024 届山东省泰安肥城市高考仿真模拟）已知函数
，
.
(1)求函数
单调区间；
(2)若函数
在
有两个极值点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，函数定义域为
，
导数
时，
恒成立
时，当
；当
时，当
；当
综上可知：
时为常函数，无单调区间
时，单调增区间为：
，单调减区间为：
时，单调增区间为：
，单调减区间为：
.
（2）因为
，所以
，
因为
在
上有两个极值点，则
，即
在
上有两个根，
令
，
当
时，
，
单调递减
当
时，
，
单调递增
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又因为
时
，
，
，
所以
在
上有2 个极值点需满足
.
综上所述，当
时，函数
在
上有两个极值点.
【例2】（2024 届山东省智慧上进高三下学期5 月大联考）已知函数
，其中
．
(1)当
时，判断
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）证明：
时，
．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
则
，
令
，
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，即最小值，所以
，
所以
在
上恒成立，所以
在
上单调递增；
（2）（ⅰ）由（1）可知
在
上的最小值为
，
当
时
，当
时
，
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若
存在两个极值点
，则
有两个不相等的实数根
，
所以
，解得
，又
，所以
，
且当
时
，即
，则
单调递增，
当
时
，即
，则
单调递减，
当
时
，即
，则
单调递增，
所以
为
的极大值点，
为
的极小值点，
因为
，所以
，
要证
，即证
，又
，
只需证
，即证
，即证
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
成立，
所以
；
（ⅱ）由（ⅰ）知
，
，
且当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
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，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
所以
.
【例3】（2025 届云南省三校高三联考）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极小值点，求
的取值范围.
【解析】（1）证明：令
，
则
，令
则
恒成立，则
在
上单调递减，
则
，所以
在
上单调递减，
则
，即
；
同理，令
，则
，
则
在
上单调递减，
则
，即
，
故当
时，
.
（2）解：由题
，令
，
则
，
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又
，则
①若
，即
时，
易知存在
，使得
时，
，
在
上单调递增，则
，
则
在
上单调递增，与
是
的极大值点矛盾，舍去.
②若
，即
或
时，
易知存在
，使得
时，
，
在
上单调递减，又
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
满足
是
的极大值点，符合题意.
③若
，即
时，由
为偶函数，不妨只考虑
的情形，
此时
，
，
在
上单调递增，这与
是
的极大值点矛盾，舍去.
综上所述，
的取值范围为
.
【例4】（2024 届浙江省绍兴市柯桥区三模）若函数
有且仅有一个极值点
，函数
有且仅有一
个极值点
，且
，则称
与
具有性质
．
(1)函数
与
是否具有性质
？并说明理由．
(2)已知函数
与
具有性质
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
【解析】（1）函数
与
具有性质
，理由如下：
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，令
，则
，故
单调递减，
又
，
，故存在
，使
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
有且仅有一个极值点
，
，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
有且仅有一个极值点，
故函数
与
具有性质
；
（2）（i）
， 又
，故
，
当
时，
，此时
没有极值点，故舍去，
当
时， 令
，则
恒成立，
故
在
上单调递增，
，
，故
，
由
，令
，则
恒成立，
故
在
上单调递减，
当
时，有
，又
时，
，
故此时存在
，使
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
有唯一极值点
，
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有
，又
时，
，
故此时存在
，使
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
有唯一极值点
，
即有
，
，
即
，
，此时需满足
，则
，
故有
，即
，即
，故
符合要求；
当
时，
，又
时，
，
故此时存在
，使
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
有唯一极值点
，
有
，又
时，
，
故此时存在
，使
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
有唯一极值点
，
同理可得
，此时需满足
，即
，则
，
由
，
，故该不等式成立，故
符合要求；
当
时，有
，
，
此时
，即
、
的极值点都为，不符合要求，故舍去；
综上，故
；
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（ii）当
时，有
，则
，故
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
令
，则
，令
，
则
，故
在
上单调递增，
则
，
故
，要证
，只需证
，
，
即当
，有
；
当
时，有
，则
，即
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
即要证
，只需证
，
，
即当
，有
；综上所述，
.
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1. （2024 届西藏拉萨市第三高级中学高三下学期5 月月考）已知函数
.
(1)讨论
的单调性：
(2)若
有两个极值点
，求证：
.
2．（2024 届河南省鹤壁市外国语学校高三上学期11 月检测）已知函数
，其中e 为
自然对数的底数．
(1)若函数
在
上有2 个极值点，求a 的取值范围；
(2)设函数
，
，证明：
的所有零点之和大于
．
3．（2024 辽宁省沈阳市第一二〇中学高三最后一卷）设函数
的两个极值点分别为
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求正数
的取值范围（其中
为自然对数的底数）．
4．（2024 届四川省百师联盟2024 届高三联考）已知函数
（
，
）在点
处的切线方程为
．
(1)求函数
的极值；
(2)设
（
），若
恒成立，求
的取值范围．
5．（2024 届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个
邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就
是一个极大（小）值.
对于函数
，设自变量x 从
变化到
，当
，
是一个确定的值，
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则称函数
在点
处右可导；当
，
是一个确定的值，则称函数
在点
处左可导.当函数
在点
处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数
在点
处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
.
（ⅰ）求函数
在
处的切线方程；
（ⅱ）若
为
的极小值点，求a 的取值范围.
6．（2024 届河北省名校联盟高考三模）已知函数
．
(1)当
时，证明：
．
(2)若函数
，试问：函数
是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，
请说明理由．
7．（2024 届四川省攀枝花市高考数学三模）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)设函数
的导函数为
，若
（
），证明：
．
8．（2024 届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研测试）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)函数
．
①讨论函数
的单调性；
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②函数
，求实数
的取值范围．
9．（2024 届江苏省南通市模拟预测）设
，函数
．
(1)当
时，求过点
且与曲线
相切的直线方程：
(2)
是函数
的两个极值点，证明：
为定值．
10．（2024 届广西贵港市高考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，请判断
的极值点的个数并说明理由；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围．
11．（2024 届江苏省苏州大学高三下学期高考考前指导卷）已知函数
在区间
内
有两个极值点.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
的极大值和极小值的差为
，求实数
的取值范围.
12．（2024 届北京市顺义区第一中学高三下学期考前适应性检测）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求证：函数
存在极小值；
(3)求函数
的零点个数.
13．（2024 届河北省雄安新区部分高中高考三模）已知函数
．
(1)若
是
的一个极值点，求
的值；
(2)若
有两个极值点
，
，其中
，求
的取值范围．
14．（2024 届天津市民族中学高三下学期4 月模拟）已知函数
．
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(1)当
时，试求函数图象在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点
、
；
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）不等式
恒成立，试求实数m 的取值范围．
15．（2024 届贵州省毕节市高三第三次诊断性考试）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
在
上有两个极值点，求实数a 的取值范围．
