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1.1 集合（精讲）
1
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一．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．
∉
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
二．集合间的基本关系
(1)概念
关系
自然语言
符号语言
Venn 图
子集
如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元
素,称集合A 为集合B 的子集(即若x A,
∈
则x B)
∈
A B
⊆
或B A
⊇
或
真子
集
如果集合A B,
⊆
但存在元素x B,
∈
且x A,
∉
则称集
合A 是集合B 的真子集
A
B 或B
A
集合
相等
如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,
同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,
那么集合A 与集合B 相等
A=B
（2）子集个数
对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A 的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
（3）易错点
①A B
⊆
包含两层含义:A
B 或A=B
②
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
三．集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn 图
交集
由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成
的集合,称为集合A 与B 的交集,记作A∩B
A∩B={x|x∈A 且x B}
∈
并集
由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成
的集合,称为集合A 与B 的并集,记作A B
∪
A B={x|x A,
∪
∈
或x B}
∈
2
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补集
对于一个集合A,由全集U 中不属于集合A
的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全
集U 的补集,记作∁UA
∁UA={x|x U,
∈
且x A}
∉
1.解决集合含义问题的关键有三点：
①是确定构成集合的元素
②是确定元素的限制条件
③是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
2. 互异性考查
利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3.集合运算的两种常用方法
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
4.已知集合关系求参数
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满
足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
5.集合间的运算
①集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示，注意所求参数是否满足集合中元素的性质中的互异性
②集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
考法一 元素与集合的关系
【例1-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合
，若
，则实数m=（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．0 或1
【答案】C
【解析】设集合
，若
，
，
或
，
3
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当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；所以
或.故选：C
【例1-2】（2023·北京东城·统考一模）已知集合
，且
，则a 可以为（ ）
A．－2
B．－1
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
，∴
，
可知
，故A、C、D 错误；
，故B 正确.故选：B
【一隅三反】
1．（2023·云南）若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．
【答案】A
【解析】若
，则
，不符合集合元素的互异性；
若
，则
或
（舍），此时
，符合题意；
综上所述：
.故选：A.
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知
，若
，且
，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
且
，解得
，故选：B
3.（2023 广东湛江）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m 的值为________．
【答案】－
【解析】由题意得m＋2＝3 或2m2＋m＝3，则m＝1 或m＝－．当m＝1 时，m＋2＝3 且2m2＋m＝3，根据集合
元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－．
4
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考法二 元素的互异性
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）集合
中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，
那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【解析】根据集合中元素的互异性得
，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.
【例2-2】(2023·山东)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 021＋b2 021为( )
A．1
B．0 C．－1
D．±1
【答案】C
【解析】由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1 或a＝－1．根据集合中元素的互异性可
知a＝1 应舍去，因此a＝－1，故a2 021＋b2 021＝－1．
【一隅三反】
1.（2022·浙江·高三专题练习）已知
，
，若集合
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，解得
或
，
当
时，不满足集合元素的互异性，故
，
，
，故选：B.
2.（2023 湖南）若以集合
的四个元素
为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形
B．平行四边形
C．梯形
D．菱形
【答案】C
【解析】由题意，集合
的四个元素
为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得
四个元素互不相等，以四个元素
为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.
3.（2023 湖北）已知集合A＝，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．
【答案】2
5
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【解析】显然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A 中元素不满足
互异性，舍去．∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2．
考法三 集合间的关系
【例3-1】（2023 春·四川成都）集合
，若
，则集合B 可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、B、D：
、
、
，与题设不符；C：
，满足要求.故选：C
【例3-2】（1）（2023·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
（2）（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，则集合
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）因为集合A＝{1，2，3}，知集合中有4 个元素，则子集个数为
个，非空子集个数为
个.故选：C.
（2）由已知集合
，
联立
和
，可得
或
或
，则
，
故集合
的子集个数为
个，故选：D
【例3-3】（1）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已集合
，
若
，则实数a 的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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（2）（2023·广东茂名·统考二模）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）
，∴当
时，
，满足
；
当
时，若
，则
时，
时，
．
的取值集合是
．故选：C．
（2）集合
，
.要使
，只需
，解得：
.
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）设全集
，若集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为全集
，
，所以
.
根据元素与集合的关系可知，ABD 错误，C 正确.故选：C
2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C 是三个集合，若
，则下列结论不正确的是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,
,
,
，故B 正确；
，
,
,故AD 正确；故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，
，则A∩B 的子集个
数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7
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【答案】D
【解析】集合
表示以
为圆心，
为半径的圆上的所有点，
集合
表示直线
上的所有点，
因为直线
经过圆心
，所以直线与圆相交，
所以
的元素个数有2 个，则
的子集个数为4 个，
故选：
.
4．（2023 春·湖南岳阳）已知集合
，且
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．0
【答案】A
【解析】因为集合
，且
，所以
，且
，则
，解得：
，
故选：
.
5．（2023 春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合
，
，若
，则实
数m 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，
，又
且
，所以
，即
.故选：C
考法四 集合间的运算
【例4-1】（1）（2023·陕西西安）若集合
，集合
，则
中整数的个数为
（ ）．
A．5
B．6
C．7
D．8
（2）（2023 春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）设集合
，
，
则
（ ）．
8
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A．
B．
C．
D．
（3）（2023·海南）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）C（2）C（3）C
【解析】（1）由题意，可得集合
，
，
则
，其中集合
有
，共有个.
故选：C.
（2）集合
，
又因为集合
，由交集的定义可得，
，故选：C.
（3）由题设
，由
知：
，则
，
所以
，故
.故选：C
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，
，则
中元素的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
集合
，
，
把
代入
，得
，即
，有唯一解，故集合
中元素的个数为
1．
故选：B
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【例4-3】（1）（2023·天津河东·一模）已知集合
，
，
，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）A
【解析】（1）由
知：
，
当
，即
，则
，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当
，即
或
，
若
，则
，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若
，则
，
，满足要求.
综上，
.故选：A
【一隅三反】
1．（2023·广西南宁·统考二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
或
，
又
，所以
，故A，B，C 错误.故选：D.
2．（2023·广东湛江·统考二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
所以
.故选：D.
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3．（2023 春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使函数
有意义，则有
，解得
或
，
所以
或
，
由
，得
，
所以
．故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）设集合
，
，若
，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，又
，所以
，
又
，所以
，解得
，即实数
的取值范围为
.故选：A
5．（2022 秋·河北沧州）已知集合
，
，若
，则a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
11
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①当
时，满足
，此时
，解得
；
②当
时，由
，得
，解得
；综上所述，
，故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合
，
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，由
得
，所以
.故选：A.
7．（2023 云南）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，因为
，所以
，
当
时，集合
，满足
；
当
时，集合
，
由
，
得
或
，解得
或
，
综上，实数
的取值集合为
.故选：D.
8．（2023 湖南）已知集合
，
.若
，则实数
（ ）
A．-3
B．
C．
D．3
【答案】B
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【解析】因为
，所以直线
与直线
平行，
所以
所以
. 经检验，当
时，两直线平行.故选：B.
考法五 韦恩图
【例5-1】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，设全集
，集合
，
，则
图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
图可知阴影部分表示的集合为
，
因为集合
，
，所以
.故选:A.
【例5-2】（2023·广东·统考一模）已知集合
，则下列Venn 图中阴影
部分可以表示集合
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
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选项A 中Venn 图中阴影部分表示
，不符合题意；
选项B 中Venn 图中阴影部分表示
，符合题意；
选项C 中Venn 图中阴影部分表示
，不符合题意；
选项D 中Venn 图中阴影部分表示
，不符合题意，
故选：B
【一隅三反】
1．（2023 春·河北·高三统考学业考试）已知R 是实数集，集合
，则下
图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是
，而
或
，
所以
.
故选：D
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知全集
，集合
，
，则阴影部分表示的集合为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知图中阴影部分表示的集合为
，
又
，得
，
又
，则
，
所以
．
故选：B．
3．（2023 春·浙江·高三校联考开学考试）已知全集
，集合
或
，
，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
由图可知阴影部分表示的集合是
，
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故选：A.
考法六 集合中的新定义
【例6-1】（2023 春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为
，定义一种运
算
，
，若全集
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
或
，
则
，
故选：C
【例6-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合
且
，已
知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知
，又
，
所以
．
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合
和
，我们把集合
记作
.若集合
，则
中元素的个数为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
，则
，则
中元素的个数为
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合
，设集合
，
，则
中元素的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
，
故
中元素的个数为.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算
，若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
或
所以
或
，
或
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所以
或
，
，
代入
验证，
故
.
故选：D.
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