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10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）
一．向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2.零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
3.单位向量：长度等于1 个单位长度的向量．
4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任意向量共线．
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6.相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二．向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：
＋
＝
＋
结合律：(
＋
)＋
＝
＋(
＋
)
减法
－
＝
＋(－
)
1
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数乘
|λ
|＝|λ||
|
当λ>0 时，λ
的方向与
的方向相同；
当λ<0 时，λ
的方向与
的方向相反；
当λ＝0 时，λ
＝0
λ(μ
)＝(λμ)
(λ＋μ)
＝λ
＋μ
λ(
＋
)＝λ
＋λ
三．向量共线定理
向量
(
≠0)与
共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使
＝λ
①向量共线定理中规定向量
≠
，因为如果
＝
，
当
＝
时，
＝λ
，λ 可以是任意实数；
当
≠
时，b＝λ
，λ 值不存在．
②当向量
，
同向时，λ>0，当向量
，
反向时，λ<0.
四．平面向量基本定理
条件
，
是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1
＋λ2
基底
若
，
不共线，把{
，
}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
五．平面向量的坐标运算
1.设
＝(x1，y1)，
＝(x2，y2)则
＋
＝(x1＋x2，y1＋y2)
－
＝(x1－x2，y1－y2)
λ
＝(λx1，λy1) |
|＝.
2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)
3．平面向量共线的坐标表示
（1）设
＝(x1，y1)，
＝(x2，y2)，其中
≠0，则
∥
⇔x1y2－x2y1＝0
（2）已知P 为线段AB 的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P 点坐标为
（3）已知△ABC 的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
则△ABC 的重心G 的坐标为
考点一 平面向量的概念辨析
2
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【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量
的长度与向量
的长度相等；
②向量
与
平行，则
与
的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量
与向量
是共线向量，则点
，
，
，
必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】对于①，向量
与向量
，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量
与
平行时，
或
为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量
与
是共线向量，点
，
，
，
不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
【例1-2】（2023·全国·高三对口高考）下列各命题中正确的命题是 ．
①所有的单位向量都相等；
②向量的模是一个正实数；
③
中，必有
：
④若
均为非零向量，则
与
一定相等；
⑤若
与
同向，且
，则
；
⑥由于
的方向不确定，故
不与任何非零向量平行；
⑦若
，则存在唯一实数
，使
成立；
⑧设
是平面内两个已知向量，则对平面内的任意向量
，存在唯一实数对x，y，使得
，
成立；
3
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⑨
中，D，E，F 分别是边
的中点，则
；
【答案】③⑨
【解析】①单位向量都是模长为1 的向量，但方向不一定相同，错；
②零向量的模为0，错
③
中
，对；
④若
均为非零向量，仅当
同向共线时
，错；
⑤若
与
同向，且
，由于向量没有大小之分，不存在
，错；
⑥由于
的方向不确定，故
与任何非零向量平行，错；
⑦若
，且
为非零向量时存在唯一实数
，使
成立，错；
⑧设
是平面内两个已知向量，仅当
为不共线向量时，对平面内的任意向量
，存在唯一实数对
x，y，使得
，成立，错；
⑨
中，D，E，F 分别是边
的中点，则
，对；
故答案为：③⑨
【一隅三反】
1．（2023 秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若
，
都为非零向量，则使
成立的条件是
与
反向共线
D．若
，
，则
【答案】A
【解析】A 选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；
4
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B 选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；
C 选项，因为
与
都是单位向量，所以只有当
与
是相反向量，即
与
是反向共线时
才成立，故C 正确；
D 选项，由向量相等的定义知D 正确.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量
，必有
D．若
满足
且
与
同向，则
【答案】C
【解析】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若
同向共线，
，
若
反向共线，
，
若
不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知
.
综上可知对于任意向量
，必有
，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度；
②向量两要素是大小和方向；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
5
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④在平行四边形
中，
．
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
【答案】D
【解析】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确，
由平行四边形的性质可知
，显然④正确，故选：D
考点二 平面向量的线性运算及基本定理
【例2-1】（2023 秋·广东·高三统考阶段练习）已知
的重心为
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
分别是
的中点，
由于
是三角形
的重心，
所以
.
故选：B.
【例2-2】（2023 秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在
中，点D 在边BC 所在直线上，
，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
6
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【解析】
，
，
，
又
，所以
．故选：B．
【一隅三反】
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
中，设
，由
，可得
，故
．
又
是
的中点，
，所以
，所以
．
由点
三点共线，可得
，解得
，
故
．
7
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故选：A．
2．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，在平行四边形
中，
，
，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在平行四边形
中，
，
，
所以
，
若
，则
，则
．
故选：D．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在
中，点
是
的中点，点
在
上，
且
，
，则
.
【答案】
【解析】依题意
，又点
在
上，且
，
所以
，所以
，解得
，
即
，
所以
，
8
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又
，所以
，
，
所以
.
故答案为：
考点三 平面向量的共线定理
【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知
，
是不共线向量，且
，
，
，则（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
，
，
三点共线
C．
，
，
三点共线
D．
，
，
三点共线
【答案】A
【解析】因为
，
，
，
所以
，
所以
，
，
三点共线，故A 正确，
因为
，
是不共线向量，若存在实数
使得
，则
，
所以
，显然方程无解，
所以不存在实数
使得
，所以
，
，
三点不共线，故B 错误；
同理
，
，
三点也不共线，故C 错误；
又
，
所以不存在实数使得
，故
，
，
三点不共线，故D 错误；
故选：A
【例3-2】（2022 秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）已知向量
为平面向量的一组基底，且
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，若
三点共线，则实数
应该满足的条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
若
三点共线，
又
又
为平面向量的一组基底
故选：D.
【例3-3】（2022 秋·新疆巴音郭楞·高三八一中学校考阶段练习）已知向量
，
，
，若
与
共线，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由向量
，
，
，可得
，
因为
与
共线，可得
，解得
.故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．M，N，P 三点共线
B．M，N，Q 三点共线
C．M，P，Q 三点共线
D．N，P，Q 三点共线
【答案】B
【解析】
，
，
，
10
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，
，
由平面向量共线定理可知，
与
为共线向量，
又
与
有公共点
，
，
，
三点共线，
故选：B．
2．（2023·陕西榆林）在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，所以
，
共线，不能作为基底；
对于B，
，所以
，
共线，不能作为基底；
对于C，
，所以
，
共线，不能作为基底；
对于D，
，所以
，
不共线，可以作为基底．
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知
为数列
的前
项和，
，
，平面内三个不共线的向量
满足
，若点
在同一条直线上，则
.
【答案】
【解析】
三点共线，
，即
，
11
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又
，
，
数列
为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
数列
是以为周期的周期数列，
.故答案为：
.
考点四 平面向量的坐标运算
【例4-1】（2023 秋·黑龙江牡丹江）（多选）已知向量
，则（ ）
A．
B．
C．
可以作为平面向量的一个基底
D．
【答案】BC
【解析】选项A，
，即
，A 错误；
选项B，
，B 正确；
选项C，
，即
不共线，即
可以作为平面向量的一个基底，C 正确；
选项D，
，由
，即
与
不共线，D 错误．
故选：BC
【例4-2】（2023 春·江西宜春）（多选）已知平面向量
，
，
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则向量
在上的投影向量为
D．若
，则向量
与的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】对于A，若
，则
解得
，故A 正确；
对于B，若
，可得
，即
，解得
，故B 正确；
对于C，若
，
，
12
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则向量
在上的投影向量为
，故C 错误；
对于D，若
，则
，所以
，
但当
时，
，此时
同向，其夹角为
，故D 错误.
故选：AB.
【一隅三反】
1．（2023 秋·山东青岛·高三统考开学考试）设
，
，若
，则
（ ）
A．5
B．
C．20
D．25
【答案】A
【解析】
，
，若
，则有
，解得
，
则有
，得
.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量
，且
，则实数
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．任意实数
【答案】B
【解析】
.由
，得
，
解得
.故选：B.
3．（2023 秋·湖南长沙·高三长沙市南雅中学校考开学考试）已知向量
，
，若
∥，
，则
.
【答案】
13
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【解析】设
，则
，
若
∥，
，可得
，解得
，
即
，所以
.
故答案为：
.
4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量
，
，且
在
方向上的投影数量是
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
，所以
，
因为
在
方向上的投影数量是
，
所以
，即
，显然
，即
，
整理得
，解得
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
5．（2024 秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知向量
，
，若
，则
.
【答案】13
【解析】因为
，
，则
，又
，
所以
，解得
.
故答案为：13
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