专题 01 集合、常用逻辑用语与复数
（三大考点，192 题）
考点分类 五年考情（2017-2026） 命题规律
2026年：新课标全国Ⅰ卷、新课
标全国Ⅱ卷、天津卷、上海卷
2025年：北京卷、天津卷、新课
标全国Ⅰ卷、新课标全国Ⅱ卷、
上海卷
2024年：新课标Ⅰ卷、北京卷、
全国甲卷、天津卷
2023年：北京卷、上海卷、全国
甲卷、全国乙卷、天津卷、新课
标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷 1. 题型固定：选择题为主，少量填空
题，属于高考基础送分题，位置多处于
2022年：上海卷、浙江卷、新高
试卷前3题，难度低。
考全国Ⅰ卷、新高考全国Ⅱ卷、
2. 核心考向：以数集、不等式解集、
全国甲卷、全国乙卷、北京卷
点集为载体，高频考查交集、并集、补
考点01 集合 2021年：天津卷、新高考全国Ⅰ 集三类基本运算；偶尔考查集合间包含
卷、新高考全国Ⅱ卷、北京卷、 关系、集合元素个数计算。
浙江卷、全国甲卷、全国乙卷 3. 命题特点：题干简洁，常结合一元
一次/二次不等式、函数定义域、值域
2020年：海南卷、天津卷、北京
综合考查，极少出现复杂变形，注重基
卷、浙江卷、山东卷、全国Ⅰ
础运算能力。
卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷
2019年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、天津卷
2018年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、北京卷、浙江卷、江
苏卷
2017年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、上海卷、浙江卷、天
津卷、北京卷、江苏卷
2026年：新课标全国Ⅰ卷、新课 1. 主流题型：以充分、必要条件判断
为绝对高频考点，选择题占绝大多数。
标全国Ⅱ卷、天津卷
2. 结合载体：常融合函数、数列、向
2025年：北京卷、天津卷
量、立体几何、不等式等主干知识命
考点02 常用逻辑
2024年：新课标Ⅱ卷、上海卷、 题，不单独考查抽象逻辑。
用语
北京卷、天津卷、全国甲卷 3. 次要考向：全称量词命题与存在性
量词命题的真假判断与否定，近十年考
2023年：全国甲卷、全国乙卷、
频中等；整体侧重逻辑推理能力，难度
新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷、北京 中等，区分度适中。卷、天津卷
2022年：新高考全国Ⅰ卷、新高
考全国Ⅱ卷、全国甲卷、全国乙
卷、北京卷、浙江卷
2021年：新高考全国Ⅰ卷、新高
考全国Ⅱ卷、全国甲卷、全国乙
卷、北京卷、天津卷、浙江卷
2020年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、山东卷、海南卷、北
京卷、天津卷、浙江卷
2019年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、北京卷、天津卷、浙
江卷、上海卷
2018年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、北京卷、天津卷、浙
江卷
2017年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、天津卷、浙江卷、北
京卷
2026年：新课标全国Ⅰ卷、新课
标全国Ⅱ卷、天津卷、上海卷
2025年：北京卷、天津卷、新课
标全国Ⅰ卷、新课标全国Ⅱ卷、
上海卷
2024年：新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ
卷、全国甲卷、北京卷、天津
卷、上海卷
2023年：全国甲卷、全国乙卷、
新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷、北京 1. 题型分布：选择题为主，填空题为
卷、天津卷、上海卷 辅，均为基础题，稳定出现在试卷前
2022年：新高考全国Ⅰ卷、新高 部。
2. 核心考点：复数四则运算（除法分
考全国Ⅱ卷、全国甲卷、全国乙
母实数化为重中之重）、复数的模、共
考点03 复数 卷、北京卷、天津卷、上海卷、
轭复数、实部与虚部辨析；
浙江卷
3. 拓展考向：复数的几何意义（复平
2021年：新高考全国Ⅰ卷、新高 面内对应点的象限、向量）、复数为实
考全国Ⅱ卷、全国甲卷、全国乙 数/纯虚数的参数求解，部分试卷结合
卷、北京卷、天津卷、上海卷、 模的几何意义考查最值问题。
浙江卷
2020年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、山东卷、海南卷、北
京卷、天津卷、上海卷、浙江
卷、江苏卷
2019年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、北京卷、天津卷、浙
江卷、江苏卷
2018年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷、北京卷、天津卷、浙
江卷、江苏卷
2017年：全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、
全国Ⅲ卷、山东卷、北京卷、天
津卷、浙江卷、上海卷、江苏卷
考点01 集合
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
，
即集合 ，且集合 ，所以 .
2．（2026·天津·高考真题）已知全集 ，集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得 ,又因 ，则 .
3．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得 ，所以
4．（2025·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合 ，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：D.
5．（2025·天津·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由 ，则 ，
集合 ，
故
故选：D.
6．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】求出集合 后结合交集的定义可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D.
7．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合 ， ，则 中元素个数为
（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
9．（2024·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得 .故选：C.
10．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合 中的元素 ，满足 ，
则 可能的取值为 ，即 ，
于是 .
故选：C
11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
12．（2024·天津·高考真题）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B13．（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合 ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
14．（2023·上海·高考真题）已知 ， ，若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，直接求出集合 中的元素作答.
【详解】因为 ，由 ，得 或 ，
又 ，且 ，即有 且 ，因此 ，
所以 .
故选：A
15．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 的值，然后计算 即可.【详解】由题意可得 ，则 .
故选：A.
16．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
17．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集 ,集合 ，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集 ， ，所以，
．
故选：A．
18．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
19．（2023·天津·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由 ，而 ，
所以 .
故选：A
20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
21．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
22．（2022·上海·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于 是整数集，结合交集的概念即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，故选：B.
23．（2022·浙江·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
24．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法
因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
25．（2022·全国乙卷·高考真题）集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
26．（2022·全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A.
27．（2022·全国甲卷·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ,
所以 .
故选：D.
28．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
29．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
30．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：D
31．（2021·天津·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】 ，
， .
故选：C.
32．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
33．（2021·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： .
故选：B.
34．（2021·浙江·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合交集的定义可得结果.
【详解】由交集的定义结合题意可得： .故选：D.
35．（2021·全国乙卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
36．（2021·全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：B.
37．（2021·全国甲卷·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为 ，所以 ,
故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
38．（2021·全国乙卷·高考真题）已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故选：A.
39．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求 .
【详解】由题设有 ，
故选：B .
40．（2020·海南·高考真题）设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 =（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.
【详解】因为A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.
41．（2020·天津·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知： ，则 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
42．（2020·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集定义直接得结果.
【详解】 ，
故选：D.
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
43．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y S，若x≠y，都有xy T
②对于任意x，y T，若x<y，则 S；
下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取 ，则 ，此时 ，包含4个元素，排除选项 C；
若取 ，则 ，此时 ，包含5个元素，排除选项D；若取 ，则 ，此时 ，包含7个元素，排除选项
B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合 ，且 ， ，
则 ，且 ，则 ，
同理 ， ， ， ， ，
若 ，则 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍.
若 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 .
若 ， 则 ，故 ，故 ，
即 ，故 ，
此时 即 中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定
义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现
象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
44．（2020·浙江·高考真题）已知集合P= ， ，则P Q=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
45．（2020·山东·高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
【答案】C
【分析】根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
46．（2020·全国III卷·高考真题）已知集合 ， ，则 中元素
的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意， 中的元素满足 ，且 ，
由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4.
故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
47．（2020·全国III卷·高考真题）已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意， ，故 中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
48．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
【详解】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
49．（2020·全国I卷·高考真题）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的
值.
【详解】求解二次不等式 可得： ，求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
50．（2020·全国II卷·高考真题）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A． B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【分析】解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 ，
或 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
51．（2020·全国II卷·高考真题）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则
（ ）
A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
52．（2019·全国III卷·高考真题）已知集合 ，则A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出集合B再求出交集.
【详解】 ，
∴ ，则 ，
故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
53．（2019·天津·高考真题）设集合 ， ， ，则
A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
【答案】D
【分析】先求 ，再求 ．
【详解】因为 ，
所以 .
故选D．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即
借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
54．（2019·全国II卷·高考真题）已知集合 ， ，则A∩B=
A．(–1，+∞) B．(–∞，2)
C．(–1，2) D．
【答案】C
【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．
【详解】由题知， ，故选C．
【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的
概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．55．（2019·全国I卷·高考真题）已知集合 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求 ，再求 ．
【详解】由已知得 ，所以 ，故选C．
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
56．（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
【分析】先求出集合A，再求出交集．
【详解】由题意得， ，则 ．故选A．
【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．
57．（2019·全国I卷·高考真题）已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结
合的思想解题．
【详解】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
58．（2018·北京·高考真题）已知集合A= ,B={−2,0,1,2},则 ( )
A．{0,1} B．{−1,0,1}
C．{−2,0,1,2} D．{−1,0,1,2}【答案】A
【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.
详解：
因此A B= ，选A.
点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合
是正确求解的两个先决条件.
59．（2018·全国III卷·高考真题）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．
【详解】解：由集合A得 ,
所以
故答案选C.
【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
60．（2018·浙江·高考真题）已知全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 ，故选C.
【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
61．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：根据集合 可直接求解 .详解： ,
,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的
集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式
进行运算.
62．（2018·全国I卷·高考真题）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合 中的元素，
最后求得结果.
【详解】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结
果.
63．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合 ，则 中元素的个数为
（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
所以共有9个，
故选：A.
【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
64．（2018·全国I卷·高考真题）已知集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出 的解集，从而求得集合A，之后根据
集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式 得 ，
所以 ，
所以可以求得 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确
一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
65．（2017·全国I卷·高考真题）已知集合A={x|x<1}，B={x| }，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵集合
∴∵集合
∴ ，
故选A
66．（2017·全国III卷·高考真题）已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由题意可得 ，故 中元素的个数为2，所以选B.
【名师点睛】集合基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于
解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
67．（2017·全国I卷·高考真题）已知集合A= ，B= ，则
A．A B= B．A B
C．A B D．A B=R
【答案】A
【详解】由 得 ，所以 ，选A．
点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图
处理．
68．（2017·全国II卷·高考真题）设集合 ， ．若 ，则
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 集合 ， ，∴ 是方程 的解，即
∴
∴ ，故选C
69．（2017·全国II卷·高考真题）设集合 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意 ，故选A.
点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于
解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
二、填空题
70．（2026·上海·高考真题）已知集合 ， ，则 __________．
【答案】
【详解】由题意得 ，解得 ，经验证此时集合 满足题意.
71．（2025·上海·高考真题）已知全集 ，集合 ，则
_________．
【答案】 /
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知 .故答案为： .
72．（2025·上海·高考真题）已知集合 ， ，则 等于________．
【答案】
【详解】试题分析：
考点：集合运算
【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合
类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用
Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
73．（2018·江苏·高考真题）已知集合 ， ，那么 ________．
【答案】{1，8}.
【详解】分析：根据交集定义 求结果.
详解：由题设和交集的定义可知： .
点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.
考点02 常用逻辑用语
1．（2026·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 ，解得： 或 ，
即 时， 成立，反之不成立，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.2．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域为D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存
在 ，使得 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数 的值域为 ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，充分性成立；
取 ， ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，但此时函数 的值域为 ，必要性不成立；
所以“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2025·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由 ，则“ ”是“ ”的充分条件；
又当 时， ，可知 ，
故“ ”不是“ ”的必要条件，
综上可知，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2024·上海·高考真题）定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不
全为0的实数 ，使得 ．已知 ，则 的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当 时，三个向量构成空间的一个基底，
则即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由 能推出 ，
对D，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，
则当 无法推出 ，故D错误.
故选：C．
5．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：B.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
7．（2024·天津·高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件.
故选：C.
8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
9．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B
10．（2023·北京·高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，
代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可
由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑
法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
11．（2023·天津·高考真题）已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.
故选：C
13．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
14．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整
数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
15．（2021·天津·高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
16．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在 上的函数，那么“函数 在 上单调递增”是
“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
17．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示， ，当 时， 与 垂直，
，所以 成立，此时 ，
不是 的充分条件，
当 时， 成立，
是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件故选：B.
18．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递
增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．
19．（2020·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
20．（2020·北京·高考真题）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，
属于基础题.
21．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是
“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
22．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据定义域为R的函数 为偶函数等价于 进行判断.
【详解】 时， , 为偶函数；
为偶函数时， 对任意的 恒成立，
，得 对任意的 恒成立，从而 .从而“ ”是“ 为偶函
数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
23．（2019·北京·高考真题）设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“
”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
| + |>| | | + |>| - |
| + |2>| - |2 • >0 与
的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
24．（2019·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出 的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 等价于 ，故 推不出 ；
由 能推出 ．
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由⇒p，q成⇒立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个
方法特别适合以否定形式给出的问题．
25．（2019·浙江·高考真题）若 ，则“ ”是 “ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的值，
推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的
充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，
通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
26．（2019·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出 ；
由 能推出 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
27．（2019·上海·高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】通过函数 的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.
【详解】设 ，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立
由此可知：当 ，即 时，
当 时，可得 ，即
可知“ ”是“ ”的充要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.
28．（2018·北京·高考真题）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性
【详解】当 时， 不成等比数列，所以不是充分条件；
当 成等比数列时，则 ，所以是必要条件.
综上所述，“ ”是“ 成等比数列”的必要不充分条件
故选B.
【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“ ”以及“ ”的真假.判断一个命题为
真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面
很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.
29．（2018·浙江·高考真题）已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 ， ，所以当 时， 成立，即充分性成立；当 时， 不一定成立，
可能是异面直线，故必要性不成立；所以 是 的充分不必要条件，
故选：A
30．（2018·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式 ，
由 .
据此可知 是 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
31．（2018·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式 可得 ，
求解绝对值不等式 可得 或 ，
据此可知：“ ”是“ ” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
32．（2017·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【详解】 ，但 ，不满足 ，所以是充
分不必要条件，选A.
【考点】 充要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是
的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条
件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则
是 的充分不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要不充分条件.
33．（2017·浙江·高考真题）已知等差数列 的公差为d,前n项和为 ,则“d>0”是
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由 ，可知当 时，有 ，即
，反之，若 ，则 ，所以“d>0”是“S + S>2S”的充要条件，选C．
4 6 5
【名师点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知 ， 结合
充分必要性的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，该题“ ”
“ ”，故互为充要条件．
34．（2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么
；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定
存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若 ，那么 是 的充分不必要条件，
同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ， 互为充要条件；若 ，那么就是既不充
分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知
,若 ，那么 是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ，
互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命
题的两个命题等价，将 是 条件的判断，转化为 是 条件的判断.
考点03 复数
1．（2026·全国二卷·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
2．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A选项，复数 的共轭复数 ，因此 ，A选项正确.
对于B选项，复数的模 ，因此 ，B选项错误.
对于C选项，∵ ，
∴ ，该选项正确.
对于D选项，
∵ 分子 ，分母 ，
∴ ， 是实数，故 ，该选项正确.
3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足 ，则 （ ）A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数 ，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由 可得， ，所以 ，
故选：B.
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
5．（2025·全国一卷·高考真题） 的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为 ，所以其虚部为1，
故选：C.
6．（2024·北京·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得 .
故选：C.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）设 ，则 （ ）A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出 ，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得， ，故 .
故选：D
8．（2024·全国甲卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由 ，则 .
故选：A
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若 ，则 .
故选：C.
10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
11．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .
故选：D
12．（2023·全国乙卷·高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简 ，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：C.
13．（2023·全国甲卷·高考真题） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.14．（2023·全国甲卷·高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：C.
15．（2023·全国乙卷·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
16．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
18．（2022·浙江·高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求 .
【详解】 ，而 为实数，故 ，
故选：B.
19．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求 .
【详解】 ，
故选：D.
20．（2022·全国乙卷·高考真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
21．（2022·全国甲卷·高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
22．（2022·全国甲卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
23．（2022·全国乙卷·高考真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出 ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】由 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得 ,即
故选:
24．（2022·北京·高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．
【详解】由题意有 ，故 ．
故选：B．
25．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 .
【详解】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D
26．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
【详解】 ，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，故选：A.
27．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： .
故选：D.
28．（2021·浙江·高考真题）已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值.
【详解】 ，
利用复数相等的充分必要条件可得： .
故选：C.
29．（2021·全国乙卷·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知
数的值，即可得出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
30．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】 ，
.
故选：B.
31．（2021·全国乙卷·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得： .
故选：C.
32．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为 ，故 ，故
故选：C.
33．（2020·海南·高考真题） =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
34．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据复数几何意义得 ，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得 ， .
故选：B.
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
35．（2020·浙江·高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
【答案】C
【分析】根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为 为实数，所以 ，
故选：C
【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
36．（2020·山东·高考真题） （ ）
A．1 B．−1
C．i D．−i
【答案】D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
37．（2020·全国III卷·高考真题）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：D.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
38．（2020·全国III卷·高考真题）若 ，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
39．（2020·全国I卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A．0 B．1
C． D．2
【答案】C
【分析】先根据 将 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
40．（2020·全国I卷·高考真题）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得： ，则 .故 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
41．（2020·全国II卷·高考真题）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4
C．–4i D．4i
【答案】A
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】 .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
42．（2019·北京·高考真题）已知复数z=2+i，则
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵ 故选D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..
43．（2019·全国III卷·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据复数运算法则求解即可.
【详解】 ．故选D．
【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
44．（2019·全国II卷·高考真题）设z=i(2+i)，则 =
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i【答案】D
【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据共轭复数的概念，写出 ．
【详解】 ，
所以 ，选D．
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概
念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
45．（2019·全国I卷·高考真题）设 ，则 =
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得 ，再求 ．
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
46．（2019·全国II卷·高考真题）设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先求出共轭复数再判断结果.
【详解】由 得 则 对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．
47．（2019·全国I卷·高考真题）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，
1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】 则 ．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，
利用方程思想解题．
48．（2018·北京·高考真题）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.
详解： 的共轭复数为
对应点为 ，在第四象限，故选D.
点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢
分.
49．（2018·全国III卷·高考真题）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算展开即可．
【详解】解：
故选D.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
50．（2018·全国II卷·高考真题）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据公式 ，可直接计算得
详解： ，故选D.
点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主
要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略 中的负号导致出错.
51．（2018·全国II卷·高考真题）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解： 选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
52．（2018·全国I卷·高考真题）设 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，然后求解复
数的模.
详解：
，
则 ，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握
纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运
算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
53．（2017·全国III卷·高考真题）设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】C
【分析】求出 即得解.【详解】解：由题意可得 ，所以 ，
所以 .
故选：C
54．（2017·全国I卷·高考真题）设有下面四个命题
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 ，则 .
其中的真命题为
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则由 得 ，所以 ，故 正确；
当 时，因为 ，而 知，故 不正确；
当 时，满足 ，但 ，故 不正确；
对于 ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确，故选B.
点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成 的形
式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
55．（2017·山东·高考真题）已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则
A．1或 B． 或 C． D．
【答案】A【详解】由 得 ，所以 ，故选A.
【名师点睛】复数 的共轭复数是 ，据此结合已知条件，求得 的方
程即可.
56．（2017·全国III卷·高考真题）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】 ，则表示复数 的点位于第三象限. 所以选C.
【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数
的实部为 、虚部为 、模为 、对应的点为 、共轭复数为
57．（2017·山东·高考真题）已知i是虚数单位,若复数z满足 ,则 =
A．-2i B．2i C．-2 D．2
【答案】A
【详解】由 得 ,即 ,所以 ,故选A.
【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合
并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面
结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2) ＝i, ＝－i.
58．（2017·北京·高考真题）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围
是
A．（–∞，1） B．（–∞，–1）
C．（1，+∞） D．（–1，+∞）
【答案】B
【详解】试题分析：设 ，因为复数对应的点在第二象限，所以 ，解得： ，故选B.
【考点】复数的运算
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需
把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi 复平面内的点
Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 .
59．（2017·全国II卷·高考真题） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用复数的乘法计算得解.
【详解】解：由题意 .
故选：B.
60．（2026·天津·高考真题）化简 __________．
【答案】
【详解】 .
61．（2026·上海·高考真题）已知 ，对于所有满足 的复数 ，都有 的最小值与 的最
小值相同，则 ____________.
【答案】3
【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.
【详解】由 得复数 对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为1，
则 的最小值为 ，
而 表示点 到圆上一点的距离，且点 到圆心 的距离为 ，则 的最小值为 ，
又因为 的最小值与 的最小值相同，
所以 ， ，解得 .
故答案为：3.
62．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简 ，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得 ，所以 .
故答案为：
63．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足 ，则 的最小值是_________．
【答案】
【分析】先设 ，利用复数的乘方运算及概念确定 ，再根据复数的几何意义数形结合计算即
可.
【详解】设 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ，由复数的几何意义知 在复平面内对应的点 在单位圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，如图所示即线段 上运动，
设 ，则 ，由图象可知 ，
所以 .故答案为：
64．（2025·上海·高考真题）已知复数 ，其中i为虚数单位，则 __________．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.
【详解】 ，
故 ．
故答案为： .
65．（2024·上海·高考真题）已知 ，则 _______.
【答案】 /
【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得.
【详解】由题意可得 ，故 .
故答案为： .
66．（2024·上海·高考真题）已知虚数 ，其实部为1，且 ，则实数 为______．
【答案】2
【分析】设 且 ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设 ， 且 .
则 ，， ，解得 ，
故答案为：2.
67．（2024·天津·高考真题） 是虚数单位，复数 ______．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】 .
故答案为： .
68．（2023·上海·高考真题）已知当 ，则 ______；
【答案】
【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.
【详解】 ， .
故答案为： .
69．（2023·天津·高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为_________．
【答案】 /
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以 ，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得 .
故答案为： .
70．（2023·上海·高考真题）设 且 ，满足 ，则 的取值范围为
________________．
【答案】【分析】判断出 对应点的轨迹，从而求得 的取值范围.
【详解】设 ，
，则 ，
所以 ，
，所以 ，
即 对应点 在以 为圆心，半径为 的圆 上.
， 对应点为 ，
与 关于 对称，
所以点 在以 为圆心，半径为 的圆 上，
表示 与 两点间的距离，
圆 与圆 相交，圆心距为 ，如图所示，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
71．（2022·天津·高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为_______．【答案】 /
【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】 ．
故答案为： ．
72．（2022·上海·高考真题）已知 （其中i为虚数单位），则 ___________；
【答案】
【分析】先由 求出 ，从而可求出
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
73．（2022·上海·高考真题）已知 ，则 ________
【答案】 /
【分析】直接根据共轭复数的概念得答案.
【详解】
故答案为： .
74．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足 (i是虚数单位)，则 ______.
【答案】
【分析】由已知求得 ，再由复数模的计算公式求解．
【详解】解： ，
，
则 ．
故答案为： ．
75．（2020·天津·高考真题） 是虚数单位，复数 _________．
【答案】
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.
76．（2020·江苏·高考真题）已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____.
【答案】3
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
77．（2020·全国II卷·高考真题）设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
【答案】
【分析】方法一：令 ， ，根据复数的相等可求得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数 所对应的点为 , , 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四
边形 为菱形， ，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算 .
【详解】方法一：设 ， ，
，
，又 ，所以 ， ，.
故答案为： .
方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , ,
由已知 ,
∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ，
∴ .
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是
一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
78．（2019·江苏·高考真题）已知复数 的实部为0，其中 为虚数单位，则实数a的值是_____.
【答案】2.
【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.
【详解】 ，
令 得 .
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
79．（2019·天津·高考真题） 是虚数单位，则 的值为__________.【答案】
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【详解】 ．
【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.
80．（2019·浙江·高考真题）复数 （ 为虚数单位），则 ________.
【答案】
【分析】本题先计算 ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的
考查.
【详解】 .
【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.
81．（2018·天津·高考真题）i是虚数单位，复数 ___________.
【答案】4–i
【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则得： .
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
82．（2017·上海·高考真题）已知复数 满足 ，则 _____________．
【答案】
【详解】分析：设 ，代入 ，由复数相等的条件列式求得 的值得答案．
详解：由 ，得 ，
设 ，
由 得 ，即 ，解得 ，所以 ，则 ．
点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考
查了考生的推理与运算能力．
83．（2017·天津·高考真题）已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
【答案】-2
【详解】 为实数，
则 .
【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需
把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数 ，
当 时， 为虚数，
当 时， 为实数，
当 时， 为纯虚数.
84．（2017·浙江·高考真题）已知a，b∈R， （i是虚数单位）则 ______，
ab=________．
【答案】 5, 2
【详解】由题意可得 ，则 ，解得 ，则 ．
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切
实掌握其运算技巧和常规思路，如 ． 其次要熟悉复数相
关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为（ ， ）、共轭为
等．
85．（2017·江苏·高考真题）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________【答案】
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【详解】解：复数z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，
∴|z| ．
故答案为 ．
【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
．其次要熟悉复数相关概念，如复数 的实部为 、虚部为 、
模为 、对应点为 、共轭复数为 ．
