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第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问题(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a范围......................3
方法一：完全分离参数法........................................3
方法二：部分分离参数法........................................4
高频考点二：已知零点个数求解参数a范围............................5
方法一：完全分离参数法........................................5
方法二：部分分离参数法........................................7
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、分离变量法
在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数a范围
核心知识点：将f (x,a)与0的大小关系转化成g(x)和h(a)的大小关系
① 恒成立
② 恒成立
③ 恒成立
④ 恒成立
4、常见题型2：已知零点个数求解参数a范围
核心知识点：
将f (x,a)=0转化成h(a)=g(x)，应用导数方法绘制g(x)函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要
用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a范围
方法一：完全分离参数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 ，对任意 ，当 时，都
有 ，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)已知 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
例题3．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间和极值；
(2)若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题 ： ，使得 为假命题，则实数 的取值范围是
__________．
2．（2023·甘肃定西·统考一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数 的最小值.
3．（2023秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期末）已知函数 ，曲线 在点
处的切线与直线 垂直（其中 为自然对数的底数）
(1)求 的解析式及单调递减区间；
(2)若存在 ，使函数 成立，求实数 的取值范围.
方法二：部分分离参数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 有解，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）在关于x的不等式 (其中 为
自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·浙江·高三期末）已知函数 ，若 恒成立，则 的
最小值是______________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 的解集为 ，且 中只有一
个整数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）（1）设函数 ，其中 ，
若存在唯一的整数 ，使得 ，则a的取值范围是________．
高频考点二：已知零点个数求解参数a范围
方法一：完全分离参数法
典型例题
例题1．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）已知三次函数 的
极大值是20，其导函数 的图象经过点 ， .如图所示.
(1)求 的单调区间；
(2)求 ， ， 的值；
(3)若函数 有三个零点，求 的取值范围.例题2．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数 ， ， . .
(1)若曲线 在点 处的切线方程是 ，求 和 的值；
(2)若 ，且 的导函数 恰有两个零点，求 的取值范围.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 （其中 是自然对数的底数）.
(1)求 在 上的最值；
(2)若函数 没有零点，求实数 的取值范围.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，（ 且 ）.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，证明： 在 上恒成立；
(2)若 有2个零点，求a的取值范围．2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， 的导函数为 ．
(1)讨论 的极值点的个数；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 （e为自然对数的底数）， （
）， .
(1)若直线 与函数 ， 的图象都相切，求a的值；
(2)若方程 有两个不同的实数解，求a的取值范围.
方法二：部分分离参数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）讨论关于 的方程 的解的个数．例题2．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求曲线 与直线 的公共点个数，并说明理由；
(3)若对于任意 ，不等式 恒成立，直接写出实数 的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数 ， 且 ，其中 是自然对数的底数
(1)当 时，求函数 的单调区间和最值；
(2)若函数 没有零点，求实数m的取值范围．
2．（2023·高二校考课时练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间和极值.
(3)若关于 的方程 有唯一的实数根，直接写出实数 的取值范围.
