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第03讲 函数的奇偶性、周期性与对称性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如
偶函数 果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝ 关于y轴对称
f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如
奇函数 果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－ 关于原点对称
f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期．
(3)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
3．对称性
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称．
一．函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性例1．判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
（5） ．
（6） ．
（7） ．
（8）
（9）
（10）
【复习指导】：判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2．（1）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=（ ）
A． B．C． D．
（2）已知 （ ）是 上的偶函数，且当 ＞ 时 （ ） （ ），则当 ＜ 时 （ ）的解析式是 （ ）
（ ）f x R x 0 f x =x 1-x x 0 f x f x
=
A． B． C． D．
（3）若函数 是定义在 上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（4）已知函数f(x)＝ 为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
（5）函数 是偶函数，则实数 __________．
（6）已知 为偶函数，且当 时， ，则 在 处的切线方程为
______．
（7）已知 ， 分别是 上的奇函数和偶函数，且 ，试求 和 的表
达式．
【复习指导】：1. 利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性
得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．2. 利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
3. 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上
的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
二．函数的周期性
例3．（1）已知 是定义在 上的奇函数，对任意 ，都有 ，若 ，则
=（ ）
A．2013 B．2 C．-2 D．2012
（2）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点 对称，当 时， ，则
的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
（3）奇函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清
三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小关系；三是复合函数
的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归
思想的应用．
（4）设 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当 时， ，则当时， 的解析式为______________
（5）已知函数 的定义域为R，且 为奇函数，其图象关于直线 对称．当 时，
，则 ____.
（6）已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当 时， ，则函
数 的零点个数为________
【复习指导】：解函数问题时，有些隐含性质需我们从已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对
称时，函数一般也是周期函数．
⑴当函数 是奇函数，又有对称轴 时，则函数一定是周期函数，且周期为 ；
⑵若 有两条对称轴 和 ，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；
⑶同样若 有两个对称中心 和 ，则函数是周期函数， 是函数的一个周期.
三．函数的对称性
例4．（1）已知定义域为 的函数 在 单调递减，且 ，则使得不等式
成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
（2）已知函数 的图象关于直线 对称，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．（3）已知函数 满足 ，且 时， ，
则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
（4）（多选）已知函数 ， ,都有 成立，且任取 ，
，以下结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 则
（5）已知函数 定义域为R，满足 ，且对任意 ，均有 ，则不等
式 解集为______．
（6）若函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是________.
（7）函数 的图像的对称中心是 ,则实数 ______（8）已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图象与y＝x＋1有三个交点(x，y)，
1 1
(x，y)，(x，y)，则y＋y＋y＝________.
2 2 3 3 1 2 3
【复习指导】：函数对称性代数表示
（1）函数 为奇函数 ，函数 为偶函数 （定义域关于原点对称）；
（2）函数 关于点 对称 ，函数 关于直线 对称
；
（3）函数周期为T,则 .
1．若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
3．已知 是偶函数，当 时， ，若当 时， 恒成立，则
的最小值为( )A． B． C． D．1
4．下列函数，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 是奇函数，当 时， ，则曲线 在 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 为 上的奇函数， 为偶函数，若当 ， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
8．若 为偶函数，满足 ， ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．1010 D．20209．函数 的定义域为 ，若 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． D．
10．已知 是 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则 等于（
）
A． B．2 C． D．98
11．已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且函数 与直线 有一个交点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 都有 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
13．已知函数 的定义域为 .当 时， ；当 时， ；当 时，
.则 （ ）
A． B． C． D．
14．设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，若，则 （ ）
A． B． C． D．
15．已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
16．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则下列
不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1
19．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的
解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
20．如果函数 对任意的实数 ，都有 ，且当 时， ，那么函数
在 的最大值与最小值之差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
21．已知定义在 上的函数 满足 ,且 为偶函数，若 在 内单调递减，
则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调递减，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
23．定义在 的单调函数 对任意 恒有 ，且 时，
，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．24．已知定义在R上的函数 满足：（1） ；（2） ；（3）
时， .则 大小关系（ ）
A． B．
C． D．
25．已知定义在 上的函数 是偶函数，且在 上单调递增，则满足 的 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
26．二次函数 在区间 上为偶函数，又 ，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
27．已知 是 的奇函数，满足 ，若 ，则 （
）
A． B．2 C．0 D．5028．已知函数 ，记 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
29．（多选）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A． 是周期为 的周期函数 B． 是周期为 的周期函数
C． 为奇函数 D． 为奇函数
30．（多选）已知 是定义域为 的奇函数，且满足 ，则下列结论正确的是（
）
A．
B．函数 的图象关于直线 对称
C．
D．若 ，则
31．（多选）已知函数 为 上的奇函数， 为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A． 图象关于直线 对称 B．
C． 的最小正周期为4 D．对任意 都有32．（多选）已知函数 对任意 都有 ，若 的图象关于直线
对称，且对任意的 ， ，且 ，都有 ，则下列结论正确的是（ ）．
A． 是偶函数 B． 的周期
C． D． 在 单调递减
33．函数 为偶函数，且在 单调递增，则 的解集为
______________.
34．若 是奇函数，则 ___________．
35．设函数 为偶函数，则 __________．
36．已知函数 和 分别是偶函数和奇函数，且 ，则 = _______.
37．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为
___________．
38．已知周期为2的偶函数 的定义域为 ，且当 时， ，则当
时， 的解析式为________39．设 是定义在 上以2为周期的偶函数，已知 ， ，则函数 在
上的解析式是___________
40．函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为
____．
41．已知定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， ，则
___________；当 时， ___________.
42．已知函数y=f(x)的图象与函数y 的图象关于原点对称，则f(x)=__________
43．设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 ____
44．已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x ，x ∈[0，3]，且x ≠x 时，都有
1 2 1 2
>0，给出下列命题：① f(3)＝0；
② 直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③ 函数y＝f(x)在[－9，－6]上为单调递减函数；
④ 函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．
其中正确的命题是____________．(填序号)
45．已知 是定义域为 的奇函数，满足 .若 ，则
_______
46．若函数 则 _____．
47．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．48．判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
49．设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 .当 时，
.
(1)当 时，求 的解析式；
(2)计算 .
50．设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ，当 时，
，
当 时，求 的解析式．
