文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 二轮复习专项训练19
空间向量与空间角
[考情分析] 高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常
与空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进
行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．题目难度为中档题．
【练前疑难讲解】
一、异面直线所成的角
(1)设直线l，m 的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，设l，m 的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
(2)异面直线所成的角的范围为.
二、直线与平面所成的角
(1)设直线l 的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α 的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，设直线l 与
平面α 的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝.
(2)线面角的范围为.
三、平面与平面的夹角
(1)设平面α，β 的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，且平面α 与平面β 的夹
角为θ，
则cos θ＝|cos〈μ，v〉|＝.
(2)平面与平面的夹角的取值范围为.
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形
，
，将
沿对角线
折
起，使以
四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线
与
所成角的余弦值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭
建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市
民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.
已知
和
是圆
的两条互相垂直的直径，将平面
沿
翻折至平面
，使得
平面
平面
（如图2）此时直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·广东深圳·二模）如图，在矩形AEFC 中，
，EF=4，B 为EF 中点，现分
别沿AB、BC 将△ABE、△BCF 翻折，使点E、F 重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-
ABC，则（ ）
A．三棱锥
的体积为
B．直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为
C．直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为
D．三棱锥
外接球的半径为
4．（22-23 高二上·山东德州·期中）如图，已知正方体
的棱长为
，点
分别为棱
的中点，
，则（ ）
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．无论
取何值，三棱锥
的体积始终为
B．若
，则
C．点
到平面
的距离为
D．若异面直线
与
所成的角的余弦值为
．则
三、填空题
5．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱
底面ABCD 为平行四边形，
且
，则异面直线
与BD的夹角余弦值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，动点
，
分别在
棱
，
上，且满足
，当
的体积最小时，
与平面
所成角的
正弦值是 ．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
四、解答题
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
，
，
，点
，
分别为
和
的中点．
(1)证明：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
8．（2021·全国·高考真题）在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
【基础保分训练】
一、解答题
1．（23-24 高三上·山东枣庄·期末）如图，直四棱柱
的底面为平行四边形，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
分别为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若底面
为矩形，
，异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
到平面
的距离.
2．（2024·天津·二模）如图，
平面
，
，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)设
是棱
上的点，若
与
所成角的余弦值为
，求
的长．
3．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
是侧棱
的中点，侧面
为正三角形，侧面
底面
．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
4．（2024·天津河东·一模）在正方体
中（如图所示），边长为2，连接
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)底面正方形
的内切圆上是否存在点
使得
与平面
所成角的正弦值为
，
若存在求
长度，若不存在说明理由．
5．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱
中，
为
的中点，点
分别在棱
和棱
上，且
．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
6．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，点
在棱
上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)当二面角
为
时，求
.
7．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
为
上一点且满足
，
，分别为
，
的中点．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的大小；
(3)求点
到平面
的距离．
8．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是矩形，
，过棱
的中点E 作
于点
，连接
．
(1)证明：
；
(2)若
，求平面
与平面
所成角的正弦值．
【能力提升训练】
一、解答题
1．（22-23 高三上·湖北·阶段练习）如图，在几何体
中，底面
为以
为斜边
的等腰直角三角形.已知平面
平面
，平面
平面
平面
.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)证明：
平面
；
(2)若
，设
为棱
的中点，求当几何体
的体积取最大值时
与
所成角的正切值.
2．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥
中，已知棱
两两垂
直，长度分别为1，2，2，若
，且向量
与
夹角的余弦值为
.
(1)求实数
值；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值.
3．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱
中，
与
的距离为
，
，
．
(1)证明：平面
平面ABC；
(2)若点N 在棱
上，求直线AN 与平面
所成角的正弦值的最大值．
4．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥
中，四边形ABCD 为直角梯形，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
AB∥CD，
，平面
平面ABCD，F 为线
段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.
(1)证明：
；
(2)当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD 夹角的正弦值为
.
5．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
为
的中点，且
．
（1）求
；
（2）求二面角
的正弦值．
6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，为圆锥顶点，
是圆锥底面圆的圆心，
，
是
长度为
的底面圆的两条直径，
，且
，
为母线
上一点．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：当
为
中点时，
平面
；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，试确定P 点的位置．
7．（23-24 高三上·江苏淮安·期中）如图，
是半球
的直径，
是底面半圆
弧
上的两个三等分点，
是半球面上一点，且
．
(1)证明：
平面
：
(2)若点
在底面圆内的射影恰在
上，求直线
与平面
所成角的正弦值．
8．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
分别是侧棱
的中点，
，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)如果
，且三棱锥
的体积为
，求二面角
的
余弦值.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
12
