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第 05 讲 正弦定理和余弦定理的应用 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：解三角形应用举例.....................................3
角度1：测量距离问题...........................................3
角度2：测量高度问题..........................................10
角度3：测量角度问题..........................................14
高频考点二：求平面几何问题......................................19
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题........................25
第四部分：数学文化题...............................................32
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应
根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2、仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰
角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
3、方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 的范围是
.
4、方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西) ，
例：(1)北偏东 ：(2)南偏西 ：
5、坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角( 为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即
.
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中
第一题是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量
标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表
目距的差”则海岛的高 （ ）A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
典型例题
例题1．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）小赵同学骑自行车从 地出发向东骑行了 km到达
地，然后从 地向西偏南 方向骑行了一段距离到达 地，再从 地向西偏北 方向骑行了 km
到达 地，已知 地在 地东偏南 方向上，则 地与 地之间的距离为（ ）
A． km B． km C． km D． km
例题2．（2023春·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，
被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示
的蓝洞的口径 ， 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 ， ，测得 ， ，
， ，则 、 两点的距离为___________m．例题3．（2023春·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点 处下
山至 处有两种路径．一种是从 沿直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直
线步行到 ．现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，
乙从 乘缆车到 ，在B处停留1min后，再从 匀速步行到 ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/
min，山路 长为1260m，经测量， ， ．
(1)求索道 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
例题4．（2023·全国·高一专题练习）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点 、 、 分别
表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点 在点 的北偏东47°方向，点 在点 的南偏西36°方向，点 在
点 的南偏东79°方向，且 、 两点的距离约为3海里.
（1）求 、 两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘 国舰艇正从点 正东10海里的点
处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 （直线行进），而我东海某渔政船正位于点
南偏西60°方向20海里的点 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点 处，再
折向点 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于 国舰艇赶到进行救助？说明理由．练透核心考点
1．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母
的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的
南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
2．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，点 ， 在无法到达的河对岸，为测量出 ， 两点
间的距离，在河岸边选取 ， 两个观测点，测得 ， ， ，
，则 ， 两点之间的距离为____________（结果用m表示）.
3．（2023·高一课时练习）如图，设 、 两点在河的两岸，一测量者在 的同侧所在的河岸边选定一点
，测出 的距离为 ， ， 后，就可以计算出 、 两点的距离为______
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处
沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10 海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，
乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．
（1）求乙船每小时航行多少海里？
（2）在C处北偏西30°方向且与C相距 海里处有一个暗礁E，暗礁E周围 海里范围内为航行危险
区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；
如无危险，请说明理由．角度2：测量高度问题
典型例题
例题1．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑
之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，
用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物
高约为50m，在它们之间的地面上的点 （ ， ， 三点共线）处测得 处、泰姬陵顶端 处的
仰角分别是45°和60°，在 处测得泰姬陵顶端 处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度 为
（ ）
A．75m B． m C． m D．80m
例题2．（2023春·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组
为了测量某座山峰的高气度，先在山脚 处测得山顶 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m
的 处（即 ），观测到山顶 处的仰角为15°，山脚 处的俯角为45°，则山高
___________m.例题3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）目前，中国已经建成全球最大的 网
络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对
面山顶上的一座 基站 ，已知基站高 ，该同学眼高 （眼睛到地面的距离），该同学在
初始位置 处（眼睛所在位置）测得基站底部 的仰角为37°，测得基站顶场 的仰角为45°.
(1)求出山高 （结果保留一位小数）；
(2)如图，当该同学面向基站 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置 处（眼睛所在位
置）到基站 所在直线的距离 ，且记在 处观测基站底部 的仰角为 ，观测基站顶端 的
仰角为 .试问当 多大时，观测基站的视角 最大？
参考数据： ， ， ， .
练透核心考点
1．（2023春·北京通州·高一通州区运河中学校考阶段练习）某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现
选取与塔底 在同一个水平面内的两个测量基点A与 ，现测得 ， ， 米，
在点A处测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为（ ）米.
A． B．
C． D．2．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角
为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为
___________千米.
3．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与
塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 .在 和 两点测得塔顶 的仰角分别为 和 ，且
， ，则塔高为___________ .
角度3：测量角度问题
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）为捍卫国家南海主权，我海军在
南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛 出发，沿南偏东 的方向航行40海里后到达海岛
，然后再从海岛 出发，沿北偏东 的方向航行了 海里到达海岛 .若巡逻舰从海岛 出发沿直线
到达海岛 ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A．北偏东 ， B．北偏东 ，
C．北偏东 ， D．北偏东 ，例题2．（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）如图， 是某海域位于南北方向相距
海里的两个观测点，现位于 点北偏东45°， 点南偏东30°的 处有一艘渔船遇险后抛锚发
出求救信号，位于 点正西方向且与 点相距50海里的 处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海
里/时.
(1)求 两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达 处需要多长时间？（参考数
据： ，角度精确到0.01）
例题3．（2023春·福建莆田·高一校考阶段练习）在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点 处，一艘货
轮在点 东偏北15°方向的点 处行驶着，通过雷达监测，发现在点 北偏东30°方向且距离点 24海
里处的点 处出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距 海里，且护卫舰距离货轮比距离海盗船更近.
(1)求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离；
(2)护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以 海里/小时的速度追击海盗船，与此同时，海盗船开始
以20海里/小时的速度沿着北偏西30°方向逃窜，求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方
向.练透核心考点
1．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东
，距离 海里，灯塔C在A的北偏西 ，距离为 海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D
处时再看灯塔B在其南偏东 方向，则 __________．
2．（2023春·陕西西安·高一校考阶段练习）一艘海轮从 出发，沿北偏东 的方向航行 后
到达海岛 ，然后从 出发，沿北偏东10°的方向航行 到达海岛 .
(1)求 的长；
(2)如果下次航行直接从 出发到达 ，应沿什么方向航行多少 ？
3．（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，
测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进 米后到
点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米．高频考点二：求平面几何问题
典型例题
例题1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）在如图所示的平面四边形 中， ，
，记 ， 的面积分别为 ，则 的最大值为__________．
例题2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图， 为半圆（ 为直径）上一动点， ，
， ，记 .
(1)当 时，求 的长；
(2)当 周长最大时，求 .
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， 的面积是 的面积的
倍． ， ， ．
(1)求 的大小；
(2)若点 在直线 同侧， ，求 的取值范围．
练透核心考点1．（2023·山东青岛·统考一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四
边形 区域建一处湿地公园．已知 ， ， ， ，
千米，则 ______千米．
2．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形 内接于圆O，内角 ，对角线AC的长为7，
圆 的半径为 .
(1)若 ， ，求四边形 的面积；
(2)求 周长的最大值.
3．（2023·全国·高一专题练习）在平面四边形 中， .
(1)求 的长；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题
典型例题例题1．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）在 中， 、 、 分别是角 、 、
的对边，向量 ， ， .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的值.
例题2．（2023春·吉林·高一校考阶段练习）在 中，角 、 、 对的边分别为 、 、 ．且
．
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ， ， 为 边中点，求 的长．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期；
(2)设 的三个角 、 、 所对的边分别为 ，若 ，且 ，求 的取值范围．
例题4．（2023春·天津东丽·高一天津市第一百中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)求 的最小正周期；
(2)求 的单调递减区间；(3)设 的三个角 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，求 的取值范
围.
练透核心考点
1．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）已知 ，设
函数 ．
(1)当 时，分别求函数 取得最大值和最小值时 的值；
(2)设 的内角 的对应边分别是 且 ， ，求 的值．
2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）已知函数
．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，求 的最大值．
3．（2023春·全国·高一阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在 中，若 ，求 的最大值．4．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；
(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
第四部分：数学文化题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和
“表”两个部件组成.圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器.所谓高表测影法，通俗的
说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化.垂直于地面的直
杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为 ， ，
如图2，若影长之差 尺，则表高AB为（ ）尺．
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提
供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的
接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体
建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）中国最早的天文观测仪器叫“圭表” ，最早装置圭表的观测台是西
周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太
阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10
寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北
两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部
为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的 ，记甲地
中直线AB与地面所成的角为 ，且 则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A．8千里 B．10千里 C．12千里 D．14千里4．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区．地处如
皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四
周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度 ，在观音塔的
正北方向找到一座建筑物 ，高约为22.5 ，在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部
A，观音塔顶部 的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部 的仰角为15°，观音塔的高度约为
（ ）
A．32 B．39 C．45 D．55
5．（2023春·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）南海诸岛自古以来就是中国领土，早在公元
前2世纪的西汉时期，中国先民就发现了南海诸岛，并进行命名.三国时期吴国万震所著《南州异物志》将
南海称为“涨海”，将南海中的岛礁称为“崎头”，南宋周去非在《岭外代答》中以“长砂（长沙）”
“石塘”统称南海诸岛.明代中叶以后，中国官方和民间有许多对南海诸岛命名的记载，如《渡海方程》
《桴海图经》《顺风相送》等.南海上A，B两个小岛相距 ，从A岛望C岛和B岛所成的视角为
，从B岛望C岛和A岛所成的视角为 ，求C岛和B岛之间的距离.（结果精确到 ，参考数据：
）
