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专题01 集合与常用逻辑用语
目 录
题型一：集合
易错点01 忽视集合中元素的互异性
易错点02 未弄清集合的代表元素
易错点03 遗忘空集
题型二 常用逻辑用语
易错点04 判断充分性必要性位置颠倒
易错点05 由命题的真假求参数的取值范围
题型一：集合
易错点01：忽视集合中元素的互异性
典例 （24-25 高三上·云南·期中）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.
【详解】因为
，所以
，由
，
所以
或
，解得
或
或1，
经检验集合中元素的互异性，把
或
舍去，所以
.
故选：A.
【易错剖析】
本题易忽略集合元素的互异性而错选D.
1
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【避错攻略】
类型1 集合与元素关系的判断
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定
是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集
合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.
类型2 根据元素与集合以及集合间关系求参数
第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；
第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.
易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：
(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．
(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值
后，再根据其互异性检验．
(3)无序性：常用于判断集合相等．
1．（24-25 高三上·湖南长沙·期中）已知集合
.若
，则实数
的
取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项.
【详解】由
及集合中元素的互异性可得
或
，故实数
的取值集合为
.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
中所有元素之和为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
2
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【分析】由
，求出
或
，再分类讨论由集合的互异性可求出
，即可得出答案.
【详解】由
得
或
，解得：
或
，
若
，则
，不符合题意；
若
，
，从而
，
所以
中所有元素之和为4，
故选：C．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合
，
，若
中恰有三个元素，则由a 的取
值组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
【详解】因为
中恰有三个元素，所以
或
或
，
结合集合中元素的互异性，解得
或
或
（舍去）或
.
故选：D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，则满足
的实数a 的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【详解】依题意，
，若
，解得
（
时不满足集合的互异性，舍去），
若
，解得
（
时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述，
或
.
故选：B
3
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2．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，且
，则实数
为（ ）
A．2
B．3
C．0 或3
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
或
，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为
且
，
所以
或
，
①若
，此时
，不满足元素的互异性；
②若
，解得
或3，
当
时不满足元素的互异性，当
时，
符合题意.
综上所述，
.
故选：B
3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合
，若
，则实数a 组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分
和
两种情况运算求解，注意集合的互异性.
【详解】
，则有
或
，解得
或
或
，
实数a 组成的集合为
.
故选：D
4．（23-24 高三上·全国·阶段练习）已知
，集合
，
，若
，且
的所有元素和为12，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4
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【答案】A
【分析】先确定集合
中可能的元素，根据两集合中元素的和求出
的值，再根据集合中元素的互异性取
值.
【详解】集合
中的元素可能为：
，，
因为
，
.
若
，则
，
，则
，元素和不为12；
若
，则
，
，则
，元素和不为12；
当
时，
，因为
中所有的元素和为12，
所以
，解得
或
（舍去）.
综上：
.
故选：A
5．已知
，
，若集合
，则
的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.
【详解】∵集合
，分母
，
∴
，
，且
，解得
，
∴
.
故选：B.
6．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知集合
，若对
都有
，则
为
（ ）
A．1
B．
C．2
D．1 或2
【答案】C
【分析】得到
，分
和
两种情况，求出
，舍去不合要求的解，得到答案.
5
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【详解】由题意得
，
当
时，解得
或
，
当
时，
满足要求，
当
时，
，
，
，
中元素均与互异性矛盾，舍去，
当
时，
，此时
，
中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，
.
故选：C
7．已知
为实数，
，集合
中有一个元素恰为另一个元素的
倍，则实数
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意分情况讨论并判断即可.
【详解】由题意：
当
时，
，此时集合
，不成立；
当
时，
，
时不成立，
时，集合
，成立；
当
时，集合
，成立；
当
时，
或
，
时集合
，不成立，
时集合
，成立；
当
时，
，
时集合
，不成立，
时集合
，成立；
当
时，
或
，
时集合
，不成立，
时不成立；
故
，
故选：B.
8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合
，
，
，若
，
则
的子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．7
D．8
6
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【答案】B
【分析】本题根据B、C 两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求
集合A、B 的交集，然后可求子集的个数.
【详解】由题意得，
，又集合
，
若
，则
，此时
，
则
，故
子集个数为
；
若
，则
，此时显然
集合不成立，舍去；
若
，
，同理舍去.
综上得：
时，
子集个数为4 个；
故选：B.
9．（多选）（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）若集合
，则实数
的取值可以是
（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
【答案】BD
【分析】根据集合中元素的互异性求解.
【详解】集合
，则
，
解得
，可知BD 符合题意，
故选：BD.
10．（多选）（23-24 高三上·福建宁德·期中）设集合
，
，且
，则
的值可
以为（ ）
A．
B．3
C．0
D．1
【答案】AC
【分析】由子集的概念解出
，并注意验证集合间元素是否满足互异性.
【详解】因为
，所以
或
，解得
或
.
当
时，
，集合
中的元素不满足互异性，故舍去.
7
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当
时，符合题意.
当
时，也符合题意.
故选：AC.
11．（2024·安徽·三模）已知集合
，若
的所有元素之和为12，则实
数
.
【答案】
【分析】分类讨论
是否为
，进而可得集合B，结合题意分析求解.
【详解】由题意可知：
且
，
当
，则
；当
，则
；当
，则
；
若
，则
，此时
的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
若
，则
，此时
的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若
且
，则
，故
，解得
或
（舍去）；
综上所述：
.
故答案为：
.
易错点02：未弄清集合的代表元素
典例 （2024·湖南衡阳·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解.
【详解】
为函数
的值域，
令
或
，
，
8
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为函数
的定义域，
即
，因为
，所以函数
定义域为
，
故
，
故选：D.
【易错剖析】
本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A 表示的是函数的值域，而集合B 表示的是函数的定义域而
出错.
【避错攻略】
在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：
方法1 列举法
列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
【具体步骤】
第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；
第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；
第三步：定结果。
方法二：赋值法
高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差
异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.
【具体步骤】
第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异；
第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素；
第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；
第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过
集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定
要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.
9
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1.（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．[1，4]
【答案】A
【分析】先化简集合
，再利用交集定义即可求得
.
【详解】
故
故选：A
2.（24-25 高三上·江苏盐城·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．A
B．B
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可知集合
表示点集，而集合A 表示数集，即可根据交集的定义求解.
【详解】由
可得
,
故
，
故选：C
3.（24-25 高三上·山东·期中）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由补集定义可得答案.
【详解】因为
，
，
10
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所以
，
.
故选：D.
1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式化简集合
，再利用交集的定义求解即可.
【详解】依题意，
，
，
所以
.
故选：A
2．（24-25 高三上·陕西汉中·期中）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解集合
，然后利用补集的定义即可求解
【详解】根据题意，集合
，
因为
，所以
.
故选：B
3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合
，
，则
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式可得
，再由交集运算可得结果.
【详解】由不等式
，得
，所以
，
又
，可得
.
故选：A
4．（24-25 高三上·浙江·阶段练习）已知集合
，
，则
的
元素个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数
【答案】C
【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数.
【详解】因为集合
，
，
则联立
，解得
或
，
故
，集合中有2 个元素.
5．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，将集合
化简，再结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】
或
，
12
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，所以
，
故选：C
6.（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】联立集合A 与集合B 的方程组，解方程组可得答案.
【详解】根据题意知联立集合A 与集合B 方程组得
，
解之可得
或
，所以
.
故选：A
7.（24-25 高三上·山东济宁·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合
，再求出集合
，最后根据集合的运算法则计算可
得.
【详解】由
可得
，解得
或
，
所以
，
又
，则
，所以
，
所以
，所以
.
故选：D.
易错点03：遗忘空集
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典例 （24-25 高一上·重庆万州·期中）已知集合
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由并集的定义可知
得到
，讨论集合
是否为空集，得到对应的参数
的范围，再
求并集得到结果.
【详解】因为
，所以
.
若
，则
，即
；
若
，则
解得
.
综上所述，
的取值范围是
.
故选：B
【易错剖析】
因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对
的
讨论而错选C..
【避错攻略】
1.当已知
求参数时，一定要分析集合为空集的情况；
2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；
【具体步骤】
第一步：化简，化简所给集合；
第二步：画图，用数轴表示所给集合；
第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)；
第四步：求解，解出不等式(组的解；
第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.
3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.
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易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入
检验的方法加以区分，避免出错.
1.集合
，
，若
，则实数a 的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先求出集合
，依题意可得
，再分
、
、
三种情况讨论
因为
，
，所以
，又
当
，则
，当
，即
，解得
，当
，即
，解得
，综上
可得实数a 的取值集合为
，故选：D
2.设集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】结合
是否为空集进行分类讨论可求
的范围
当
时，
，则
，即
当
时，若
，则
或
解得
或
，综上，实数
的取值范围为
故选：D
3.（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合
，
.
15
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(1)若
，求
的取值范围.
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，分
和
两种情况进行讨论，结合
，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，分
和
两种情况进行讨论，结合
，列出不等式，即可求解；
【详解】（1）解：由集合
，且
因为
，可分
和
两种情况进行讨论：
当
时，可得
，解得
，此时满足
；
当
，因为
，则满足
或
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
（2）解：由集合
，且
,
因为
，可分
和
两种情况进行讨论：
当
时，可得
，解得
，此时满足
；
当
，因为
，则满足
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
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1．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合的包含关系，对集合
是否是空集分类讨论即可求解.
【详解】集合
，若
，
则若
，则
满足题意；
若
，且
，则
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：
2．设集合
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得.
【详解】显然
，由
，得
，
当
时，即
，解得
，满足
，则
；
当
时，则
，解得
；
所以
.
故选：C
3．（23-24 高一上·广东肇庆·阶段练习）已知
，集合
，
，
，则实数
（ ）
A．
或
B．
或0
C．或0
D．
或或0
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【答案】D
【分析】求出集合
中方程的解确定
，即可求出
，根据
，分两种情况
和
讨
论即可．
【详解】由题可知，
，则
或
，
因为
，
所以当
时，
，则
，符合题意；
当
时，
，
由
知，
或
，即
或
，
综上所述，实数
为0 或1 或
，
故选：D．
4．（24-25 高三上·辽宁沈阳·期中）集合
，
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先化解集合
，又
，即可得到
或
，解得即可.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
又
，显然
，
因为
，所以
或
，
解得
或
，
即实数
的取值范围为
或
.
故选：A
18
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5．（24-25 高一上·四川达州·期中）已知集合
.若
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】已知
，这意味着
集合与
集合在
中的补集没有交集，那么
集合是
集合的子集.
接下来通过分析
集合的边界与
集合边界的关系来确定
的取值范围.
【详解】
. 因为
，所以
.
由于
，要满足
，
当
，即
，解得
.
当
，则有
.解得：
.
综上，m 的取值范围为
.
故选：A.
6．已知集合
，
，若
，则实数a 取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意知
，分别讨论
和
两种情况，即可得出结果.
【详解】由
，知
，因为
，
，
若
，则方程
无解，所以
；
若
，
，则
，
因为
，所以
，则
；
故实数
取值集合为
.
19
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故选：D.
7．（24-25 高三上·江苏南通·期中）已知集合
，若
，则实
数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合
计算
，利用
求参数的取值范围.
【详解】由
得，
.
由
得，
，
∴
或
，
∴
，解得
.
故选：A.
8．（24-25 高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合
，
，若
，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解绝对值不等式可得集合A，由
得
，讨论B 为空集和不为空集情况，解相应不等
式，即得答案.
【详解】解
，即
，即
，
由
，得
;
当
时，即
，符合题意；
20
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当
时，需满足
，解得
，
综合可得
，
故答案为：
9．（24-25 高三上·河北·阶段练习）已知集合
，若
，则m 的取值范围是 .
【答案】
或
【分析】化简集合
,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解.
【详解】
因为
所以
或
解得：
或
故答案为：
或
10．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知集合
，若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出集合
，根据集合的包含关系列不等式组求解可得.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，不满足题意；
当
时，由
解得
，
依题意有
，解得
，即实数
的取值范围为
.
21
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故答案为：
11．（2024·江苏常州·三模）集合
，
，若
，则
实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合B 是否为空集进行分类讨论可求
的范围．
【详解】由
，且
，
当
时，
，则
，即
，
当
时，若
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
题型二：常用逻辑用语
易错点04：判断充分性必要性位置颠倒
典例 命题“
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求解命题“
”为真命题时
，即可根据真子集求解
命题“
”为真命题,则
对
恒成立，所以
，故
，所以命题
“
”为真命题的充分不必要条件需要满足是
的真子集即可，由于
是
22
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的真子集，故符合，故选：D
【易错剖析】
本题易混淆A 是B 的充分条件和A 的充分条件是B 的区别而出错.
【避错攻略】
1 掌握充分、必要条件的概念及类型
(1)如果p⇒q，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；
(2)如果p⇒q，但q
p
⇏，则p 是q 的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p 是q 的充要条件；
(4)如果q⇒p，且p
q
⇏，则p 是q 的必要不充分条件；
(5)如果p
q
⇏，且q
p
⇏，则p 是q 的既不充分又不必要条件.
【解读】
（1）p 是q 的充分条件，是指以p 为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p 只能推出结论q．一般
来说，给定条件p，由p 可以推出的结论是不唯一的．
（2）“p 是q 的充分条件”与“q 是p 的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．
（3）p 是q 的充要条件意味着“p 成立，则q 一定成立；p 不成立，则q 一定不成立”，要判断p 是否为q
的充要条件，需要进行两次判断：一是看p 能否推出q，二是看q 能否推出p．若p 能推出q，q 也能推出
p，就可以说p 是q 的充要条件，否则，就不能说p 是q 的充要条件．
2.灵活运用判断充分、必要条件的方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断；
(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判
断它们之间的关系.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 都是集合,那么若p⊆q,则p 是q 的充分不必要
条件；若p⊇q,则p 是q 的必要不充分条件；若p＝q,则p 是q 的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范
围的数一定在大范围中,即小大
⇒
,会给我们的解答带来意想不到的惊喜．
(4)举反例：要说明p 是q 的不充分条件,只要找到x0 {
∈x|p},但x0 {
∉x|q}即可．
易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，
为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.
1.已知命题
：
，
，则
为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．
B．
C．
D．
23
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【答案】A
【解析】先分离参数求出
的取值范围，则
为真命题的一个充分不必要条件应该是
的一个真子集，
由题设命题为真，即
在
上恒成立，所以
，则
为真命题的一个充分不必
要条件应该是
的一个真子集，
故选：A
2.（24-25 高三上·云南·期中）“
，
”成立的充分必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】讨论
是否为0，当
时，显然无解，故
，用
表示出方程的解，令结果大于0，求
得
的取值范围.
【详解】当
即
时，
，
，所以
；
当
即
时，
，
.
故选：C.
3.（24-25 高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式
成立的充分条件是
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先分情况求不等式
的解集，再根据集合的包含关系求参数
的取值范围.
【详解】设不等式
的解集为
，
，
因为不等式
成立的充分条件是
，，所以
，
所以
，所以
.
由
，所以
.
24
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由
可得
.
故选：D
1．（24-25 高三上·青海西宁·期中）已知
，
，则使
成立的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断．
【详解】对于A，取
，
，显然有
成立，但
不成立，不符合题意.
对于B，由
，得
，所以
，可推出
，符合题意.
对于C，
，可得
，不符合题意.
对于D，由
，得
，因为
，
，所以
，所以
，不能推出
，不符合题意.
故选：B．
2．使“
”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．
25
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【详解】对于A，若
，
，当
时，
成立，
所以“
，
”
“
”，A 不满足条件；
对于B，
，
，则
，即
，
所以“
，
”
“
”，
若
，则
，不妨取
，
，
，则
，
所以“
，
”
“
”，
所以“
，
”是“
”的充分不必要条件，B 满足条件；
对于C，若
，则
，使得
，即
，
即“
”
“
，
”，
所以“
，
”是“
”的充分条件，C 不满足条件；
对于D，若
，
，则
，即
，当且仅当
时，等号成立，
所以“
，
”
“
”，D 不满足条件.
故选：B.
3．（24-25 高三上·河北张家口·开学考试）已知
，使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.
【详解】对于A，
，A 不是；
对于B，当
时，由
，得
，B 不是；
对于C，
，可能有
，如
，C 不是；
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对于D，由
，得
，则
；若
，则
，D 是.
故选：D
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线
与圆
有公共点的一个充分不必要条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出当直线与圆
有公共点时
的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
若直线
与圆
有公共点，则
，解得
，
因为
，
，
，
所以，直线
与圆
有公共点的一个充分不必要条件是为
.
故选：B.
5．（2024·天津和平·二模）若
，下列选项中，使“
”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，
等价于
，若所求必要条件对应的范围为
，则
，由此判断即
可得到本题的答案．
【详解】不等式
等价于
，
使“
”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为
，则
是
的真子集，
由此对照各项，可知只有A 项符合题意．
故选：A．
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线
，
和平面
，
，
，
，则
的必要不充
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分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理可得结论.
【详解】因为
，所以
，当
时，由线面垂直的性质定理可知
；
只有当
且
时才能得到
.
所以
的必要不充分条件是
.
故选：
.
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知
，
为实数，则使得“
”成立的一个必要不充分条件为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】对于A，
，不能推出
，如
，反之
，则有
，
即
是
的既不充分也不必要条件，A 错误；
对于B，由
，得
，即
，
不能推出
，反之
，则
，
因此
是
的必要不充分条件，B 正确；
对于C，
，
是
的充分必要条件，C 错误；
对于D，由
，得
，反之
不能推出
，
因此
是
的充分不必要条件，D 错误.
故选：B.
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8．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）设
.下列选项中，
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，分
和
，利用基本不等式，求出
的取值范围，即可求出结果.
【详解】令
，
当
时，
，当且仅当
，即
时，取等号，
当
时，
，当且仅当
，即
时，取等号，
所以
或
，当且仅当
时取等号，故
的充要条件是
且
，
故选：D.
9．（24-25 高三上·山东德州·期中）已知
：
，
：
，若
是
的充分不必要条件，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.
【详解】由
可得
，解之得
或
，
设
：
，对应
，
：
，其解集对应
，
则
是
的充分不必要条件等价于A 是B 的真子集，所以
.
故选：A
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10．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）命题
，
，若
的一个充分不必要条件是
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件转化为
，即可求解.
【详解】由于
的一个充分不必要条件是
，故
是
的充分不必要条件，
故
，故
，
故选：D
11．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知集合
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式，确定集合
，通过讨论
的范围，确定集合
，根据题意推出集合
是集合
的真子
集，由此列出不等式组，即可求得答案．
【详解】由题可知
，
，
若
，则
，
若
时，则
.
因为
是
的必要不充分条件，则集合
是集合
的真子集，显然
时成立，
当
时，则
，且这两个不等号不能同时取到，故解得
且
，
综上所述：
.
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故选：B.
易错点05：由命题真假求参数范围
典例 （24-25 高三上·福建龙岩·期中）命题“
”为假命题，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】存在性命题为假等价于“
”为真，应用参变分离求解即可.
【详解】解：因为命题“
”为假命题
等价于“
”为真命题，
所以
，
所以只需
.
设
，
则
在
上单增，所以
.
所以
，即
.
故选：A
【易错剖析】
对全称量词和存在量词理解不到位，不能在恒成立和有解之间进行合理的转化而出错.
【避错攻略】
1.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:
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第一步：先判断命题是恒成立问题还是有解（存在）问题;
第二步：转化为函数的最值问题或方程解的问题;
第三步：求解参数的取值范围.
2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
易错提醒：写出命题的否定，然后再根据否命题的真假求参数，是等价转化思想在解题过程中的运用，可
以有效避免命题为假不易判断的问题.
1.（23-24 高三下·广东·开学考试）已知
，
；
，
．若
为
假命题，
为真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据全称命题以及特称命题的真假，结合二次函数的最值以及一元二次方程的判别式，即可求得
答案.
【详解】由题意知
，
为假命题，
则
，
为真命题，
当
时，
的图象的对称轴为
，
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此时其最大值为
，则
；
又
，
为真命题，
即
，即得
，
综合可得
的取值范围为
，
故选：A
2.（24-25 高三上·河南·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上
的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.
【详解】由题意，命题“
”是假命题，
等价于其否定“
”是真命题，
令
，则
对
恒成立，
即
，需满足
，
而
，
，当且仅当
，即
时取等号.
所以
，即
.
故选：A.
3.（24-25 高三上·江西·阶段练习）命题“
，使
（
且
）成立”是假命题，则
实数
的取值范围是（ ）
33
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到“
，都有
成立”为真命题，且
，利用
与
的图像关于
对称，转化为
，即
，令
，利用导数求得函数
的单
调性与最大值，即可求解.
【详解】由命题“
，使
成立”是假命题，
可得命题“
，都有
成立”为真命题，显然
，
如图所示，因为
与
的图象关于
对称，
可得转化为
，两边取以为底的对数，可得
，所以
，
令
，可得
，
当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减，
所以
，所以
，解得
.
故选：B.
1．（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围
是（ ）
34
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】假设命题“
”为真命题，可得
，由此可得
，再求其
补集可得结论.
【详解】若命题“
”是真命题，
则
，
又因为
，
所以
，
所以若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
．
故选：B.
2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“
”为真命题，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分离参数
，求函数
的最小值即可求解.
【详解】因为命题“
”为真命题，所以
．
令
与
在
上均为增函数，
故
为增函数，当
时，
有最小值
，即
，
故选：A．
3．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：
，
；q：
，
.均为
真命题，则a 的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
，分
和
，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出
为真命题，需
满足
，再利用根的判别式得到
为真命题，需满足
，求交集得到答案.
【详解】
恒成立，
当
时，
，满足要求，
当
时，需满足
，解得
，
故
为真命题，需满足
，
，
，则
，解得
，
故
为真命题，需满足
，
综上，
的取值范围为
故选：D
4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“
，
”是假命题，则m 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“
，
”是假命题，
则“
，
”是真命题，
所以
有解，
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所以
，
又
，
因为
，所以
，
即
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·江苏南通·期中）若命题“
，不等式
成立”是假命题，则
实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，从而
，
恒成立.分离常
数，结合对勾函数的单调性求最值即可.
【详解】原命题为假命题，则否定为真命题，即
，
恒成立，
，令
，则
，
，
所以
，
根据对勾函数的性质知
在
上单调递增，所以当
时，
，
∴
.
故选：A.
6．（24-25 高三上·福建·阶段练习）命题“
，
”是真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】将不等式成立的存在性问题转化为函数的最值问题，得到
的取值范围，再由充分不必要条件的
定义得到结果.
【详解】因为“
，
”，所以
，所以
．
结合选项及充分不必要条件知“
”是“
”的充分不必要条件．
故选：D．
7．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：
．若p 是假命题，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
是真命题列不等式，分离参数
，利用基本不等式求得
的取值范围.
【详解】若
是假命题，则
是真命题，即
恒成立，
则
，
，
由于
，当且仅当
时等号成立，
所以
.
故选：D．
8．（23-24 高三上·黑龙江·阶段练习）设命题
：对任意
，不等式
恒成立，命题
：
存在
，使得不等式
成立.
(1)若
为真命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
与命题
至少有一个是真命题，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
即可，由函数单调性求出
，故
，解不等式得
到答案；
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（2）求出
为真命题时的
，进而分
为真命题，
为假命题或
为假命题，
为真命题，或
，
都
为真命题三种情况，求出实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
为真命题，所以对任意
，不等式
恒成立，
只需
，
其中
在
上单调递增，当故
，
所以
，解得
，所以
的取值范围
；
（2）若
为真命题，即存在
，使得不等式
成立，
则
，其中
，
而
，故当
时，
，
所以
，故
；
因为
，
至少有一个为真，
所以
为真命题，
为假命题或
为假命题，
为真命题，或
，
都为真命题
若
为真命题，
为假命题，则
，所以
；
若
为假命题，
为真命题，则
或
，所以
.
若
，
都为真命题，则
，所以
综上，
，
所以
的取值范围为
.
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