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第 05 讲 正弦定理和余弦定理的应用 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）在 中， 的对边分别是 ，若 ，
则 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形
【答案】C
【详解】三角形 中， ，所以 为钝角，
三角形为钝角三角形．
故选：C．
2．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）如图所示，某登山队在山脚 处测得山顶 的仰角
，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000米后到达 处，又测得山顶的仰角 ，则山高
为（ ）
A． 米 B．1000米
C． 米 D． 米
【答案】B
【详解】
在 中，
故选：B
3．（2022·甘肃武威·高一期末）“宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是
水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，形成动静对比. 某个
学生想要测量塔的高度，选取与塔底 在同一个水平面内的两个测量基点 与 ，现测得 ，， 米，在点 处测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在三角形 中： ，
由正弦定理得 ，
在 中， 米.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，为了测量某湖泊两侧 ， 间的距离，李宁同学首先选定了与
， 不共线的一点 ，然后给出了三种测量方案( 的角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， )：
①测量 ， ， ；②测量 ， ，C；③测量 ， ， ．
则一定能确定 ， 间距离的所有方案的个数为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】A
【详解】对于①，利用内角和定理先求出 ，再利用正弦定理 解出 ；
对于②，直接利用余弦定理 即可解出 ；
对于③，先利用内角和定理求出 ，再利用正弦定理 解出 ．故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）两座灯塔 和 与海岸观察站 的距离相等，灯塔 在观察站北偏东
，灯塔 在观察站南偏东 ，则灯塔 在灯塔 的（ ）
A．北偏东 B．北偏西
C．南偏东 D．南偏西
【答案】B
【详解】灯塔 ， 的相对位置如图所示，
由已知得 ， ，则 ，
即北偏西 ．
故选：B.
6．（2022·浙江·高一期中）一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 的方向直线航行，30
分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 ，在B处观察灯塔，其
方向是北偏东 ，那么B，C两点间的距离是（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【答案】C
【详解】解：如图，作出 ，由题意可知，
海里， ，则 ，
因为 ，
所以 海里，
即B，C两点间的距离是 海里.
故选：C.7．（2022·河南·高三阶段练习（文））释迦塔全称佛宫寺释迦塔､位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺
内，俗称应县木塔､建于辽清宁二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南宋庆元一年公元1195
年）增修完毕，是世界上现存唯一最古老最高大之木塔，为了测量释迦塔的高度，某同学在点A处测得塔
顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了50 到达点M处，此时测得塔顶D的仰角为75，据此
可估计释迦塔的高度约为（ ）
A．65.8 B．68.3 C．68.9 D．69.1
【答案】B
【详解】根据题意，将实际问题抽象成数学模型，如图所示，因为 ，
所以 ，在 中，由正弦定理可知 ，
即 解得 .在 中， .
所以释迦塔的高度约为 ，
故选：B.
8．（2022·四川省德阳中学校高一阶段练习（理））已知轮船 和轮船 同时从 岛出发， 船沿北偏东
的方向航行， 船沿正北方向航行（如图）．若 船的航行速度为 ， 后， 船测得
船位于 船的北偏东 的方向上，则此时 ， 两船相距（ ） ．A． B．40 C． D．
【答案】B
【详解】解：由图所示：由题意可知： ， ， ，
由正弦定理可知： ，
所以 ，所以 ，
即此时 ， 两船相距 ；
故选：B
二、多选题
9．（2022·安徽池州·高一期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在
D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C
处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为 海里
C．A、B两处岛屿间的距离为 海里
D．B、D之间的距离为 海里
【答案】BC
【详解】解：由题意可知 ， ， ， ，
，
所以 ，故A错误；
，在 中，由正弦定理得 ，得 (海里)，故B正确；
在 中，因为 ， ，所以 (海里)，故D错误；
在 中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二开学考试）某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 ，距离为
；在 处看灯塔 在货轮的北偏西 ，距离为 .货轮由 处向正北航行到 处时，再
看灯塔 在南偏东 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 处与 处之间的距离是 B．灯塔 与 处之间的距离是
C．灯塔 在 处的西偏南 D． 在灯塔 的北偏西
【答案】ABC
【详解】在 中，由已知得 ， ，
则 ， ．
由正弦定理得 ，
所以 处与 处之间的距离为 ，故A正确；
在 中，由余弦定理得，
，
又 ，
解得 ．
所以灯塔 与 处之间的距离为 ，故B正确，
，
，灯塔 在 处的西偏南 ，故C正确；
灯塔 在 的南偏东 ，
在灯塔 的北偏西 ，故D错误；
故选：ABC．
三、填空题
11．（2022·江西九江·高一期末）某人在C点测得某直塔在南偏西 ，塔顶A的仰角为 ，此人沿南偏
东 方向前进 到D，测得塔顶A的仰角为 ，D，C与塔底O在同一水平面上，则塔高为
______________．
【答案】
【详解】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为 ，在 中， ，
则 ，在 中， ，则 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去）．
故答案为：10m.
12．（2022·河南河南·模拟预测（理））微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化
建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分
别在 处观察该无人机（两人的身高忽略不计）， 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距
100 m，甲观察无人机的仰角为 ，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度 ，则这两个
角可以是_____ .（写出所有符合要求的编号）① 和 ；② 和 ;
③ 和 ；④ 和 .
【答案】①③④
【详解】①：当已知 和 时，在 利用内角和定理和正弦定理可得AC，然后在
中，由三角函数定义可得PC，故①正确；
②：当已知 和 时，在 已知一角一边，在 中已知一角一边，显然无法求解，故②
错误；
③：当已知 和 时，在 中已知两角一边，可解出PA，然后在 中，由三角函数
定义可得PC，故③正确；
④：当已知 和 时，可先由最小角定理求得 ，然后解 可得AC，最后在
中，由三角函数定义可得PC，故④正确.
故答案为：①③④
四、解答题
13．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的
热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为 两部分，小明同学在 点测得雪道 的坡度
，在 点测得 点的俯角 ．若雪道 长为270m，雪道 长为260m．
(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪
量比乙设备少 ，且甲设备造雪 所用的时间与乙设备造雪 所用的时间相等．求甲、乙两种
设备每小时的造雪量．
【答案】(1)235m
(2)甲种设备每小时的造雪量是 ，乙种设备每小时的造雪量是 ．（1）解：过 作 ，过 作 ，两直线交于 ，过 作 垂直地面交地面于 ，如图：
根据题知 ，∴ ．
∵BC的坡度 ，∴ ．
设 ，则 ，∵ ，∴ ，
解得 （负值已舍去），∴ ，
所以，该滑雪场的高度h为235m．
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是 ，则乙种设备每小时的造雪量是 ，
根据题意得： ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，也符合题意，∴ ．
所以，甲种设备每小时的造雪量是 ，乙种设备每小时的造雪量是 ．
14．（2022·全国·高一）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平于2005年8月在浙江湖州
安吉考察时提出的科学论断，随着生态环境治理的不断加强，园林局美化城市的功能日益凸显．时值中国
共产党成立100周年之际，某市园林局计划把一块形状为等边三角形的边角地开辟为特种花草栽种基地，
如图，边角地 是边长为100米的等边三角形，根据实际情况，需在基地修一条直行道路 在
边 上， 在边 上．
(1)若 把基地分成周长相等的两部分，设 的长为 米，试把 的面积表示为 的函数 ，并
求出 的定义域及 的最大值；
(2)若 把基地分为面积相等的两部分，当 取多长时，道路 最短．
【答案】(1) ；定义域为 ； （平方米）(2) 米
（1）由题知： ，
因为 ，
所以函数的定义域为 .
当 时， 取得最大值，
所以 （平方米）．
（2）设 的长为x米
由题意 ，
所以
由题意 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以，当 取 米时，道路 最短．
B 能力提升
15．（2022·全国·高一课时练习）康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖
包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一
座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别
为 和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）
【答案】37.86米【详解】解：由题意得，在 中， ，
在 中， ， ，
所以 ，由正弦定理 ，
得 ，
又 ，
在 中， .
答：滕龙阁的高度约为37.86米.
16．（2022·四川成都·高一期中（文））如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小
岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里
后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上．
(1)求C处与小岛A之间的距离；
(2)求A，B两座小岛之间的距离．
【答案】(1) （海里）
(2) 海里
（1）解：由题可知在 中： ， ，
所以 ．
由正弦定理可得：
所以 （海里）．
（2）解：由题可知在 中：
，所以 ．所以 （海里）．
由余弦定理可得：
，
所以 （海里）．
由题可知在 中： ，
由余弦定理可得：
所以 （海里）．
所以A，B两座小岛之间的距离为 海里．
