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第 10 讲 主元法巧解双变量或多变量问题
【典型例题】
例1．（2024·全国·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，对于任意 ， ， 总
有 且 ．若对于任意 ，存在 ，使 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或 或
例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知任意 ，若存在实数b使不等式 对任意的
恒成立，则b的最小值为 .
例3．（2024·浙江衢州·一模）已知实数a，b，c满足 ，则 的最小值是 .
例4．（2024·高一·浙江湖州·期末）已知实数a，b，c满足 ，则abc的最小值是 ．
例5．（2024·高三·全国·竞赛）实数 ， ， 满足 ， .则 的最小值是
.
例6．（2024·江苏徐州·一模）设实数 ， ， ，满足 ， ，则 的取值范
围是 ．
例7．（2024·高三·全国·专题练习）若 ， ，设 ，则 的最小值为 ．
例8．（2024·河南商丘·二模）已知函数 .（1）如图，设直线 将坐标平面分成 四个区域（不含边界），若函数 的
图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的 的取值范围；
（2）当 时，求证： 且 ，有 .
例9．（2024·高三·山西太原·阶段练习）知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最小值；
(2)当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 ， 求证： ．
例10．（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）讨论关于x的方程 的解的个数；
（3）当a＞0，b＞0时，求证： ．
例11．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知函数 .
（1）讨论 的单调性;
（2）当 时，证明:
【过关测试】
一、单选题1．（2024·高二·河北衡水·阶段练习）已知函数 ，对于
，若 ，满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
2．（2024·高三·江西·阶段练习）设函数 ，若 时， ＞0恒
成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（-∞，0） C．（-∞，） D．（-∞，1）
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数 ，若当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是
A．(-3，+ ) B．(-1，+ ) C．(- ，-3) D．(- ，-1)
4．（2024·高三·全国·专题练习）设 ， 为实数，首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项的和为 ，
满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·高一·浙江金华·期末）若存在正实数 ，使得 ，则
A．实数 的最大值为 B．实数 的最小值为
C．实数 的最大值为 D．实数 的最小值为
6．（2024·浙江台州·一模）已知函数 在区间 上有零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·二模）已知任意 ，若存在实数b使不等式 对任意的 恒成立，
则（ ）
A．b的最小值为4 B．b的最小值为6
C．b的最小值为8 D．b的最小值为10
8．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知实数 ， ， 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．-1 D．二、填空题
9．（2024·高二·全国·假期作业）设首项为 ，公差为 的递增等差数列 的前 项和为 ，其中 ，
为实数，若 ，则 的取值范围是 ．
10．（2024·高三·全国·专题练习）设 ， 为实数，首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，
满足 ，则 的取值范围为 ．
11．（2024·高二·浙江·期末）若 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
12．（2024·高三·浙江·阶段练习）若正数 ， ， 满足 ，则 的最大值是 .
13．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为
．
三、解答题
14．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数 ， （ 为自然对数的底数）
(1)当 时，求 的单调区间；
(2) 时，若函数 与 的图象有且仅有一个公共点.
（i）求实数 的集合；
（ii）设经过点 有且仅有3条直线与函数 的图象相切，求证：当 时，
.
15．（2024·高三·北京·开学考试）已知 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)设 ，求 的单调区间；
(3)求证：当 时， .
16．（2024·高三·全国·专题练习）设函数 .
(1)求 的极值；(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明： .
17．（2024·高一·湖南·阶段练习）设 是有序实数对构成的非空集， 是实数集，如果对于集合 中的任
意一个有序实数对 ，按照某种确定的关系 ，在 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称
为从集合 到集合 的一个二元函数，记作 ，其中 称为二元函数 的定
义域.
(1)已知 ，若 ，求
(2)非零向量 ，若对任意的 ，记 ，都有 ，则称
在 上沿 方向单调递增.已知 .请问 在 上沿向量 方向
单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有 ，
② ，使得 .
那么，我们称 是二元函数 的最小值.求
的最大值.
18．（2024·高三·浙江湖州·期中）设 是定义在 上的函数，若存在区间 和 ，使得
在 上严格减，在 上严格增，则称 为“含谷函数”， 为“谷点”， 称
为 的一个“含谷区间”.
(1)已知实数 ， 是含谷函数，且 是它的一个含谷区间，求 的取值范围；
(2)设 ， .设函数 是含谷函数， 是它的一个含谷区
间，并记 的最大值为 .若 ，且 ，求 的最小值.19．（2024·高三·山西晋中·阶段练习）设函数 ，a，b， ， 为 的导函
数．
（1）若 ， ，且 和 的零点均在集合 中，求 的极小值；
（2）若 ， ， ，且 的极大值为M，比较M与 大小关系，并说明理由？
20．（2024·高三·浙江杭州·期中）已知实数a≠0，设函数 ．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意 均有 ，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．
21．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知实数 ，设函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围.
(注： 为自然对数的底数.)
22．（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知实数 ，设函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)对任意 均有 ，求实数 的取值范围．23．（2024·福建泉州·二模）已知函数 ， ．
（1）若 ， ，求实数 的值．
（2）若 ， ，求正实数 的取值范围．
24．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数 ，
(1)当 为何值时，曲线 在 处的切线与 轴垂直；
(2)讨论 的单调性；
(3)当 时，试证明 ．
