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专题26 米勒最大张角（视角）模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
真题演练.....................................................................................................................................2
巩固练习.....................................................................................................................................3
在600 多年前，德国数学家米勒提出一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆
呈现最长?即在什么地方，视角最大?最大视角问题是数学史上100 个极值问题中的一个，也称为米
勒问题。这一问题更一般的描述是：已知，点A、B 是∠MON 的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一
个动点，当C 在何处时，∠ACB 最大？问题的答案是：当且仅当△ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，
∠ACB 最大。人们称这一命题为米勒定理！
米勒定理：已知点AB 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的一动点，则当且仅当三
角形ABC 的外圆与边OM 相切于点C 时，∠ACB 最大。
证明：如图，设C’是边OM 上不同于点C 的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B 是圆外角，∠ACB
是圆周角，易证∠AC’B 小于∠ACB，故∠ACB 最大。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
在三角形AC’D 中，
又
（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，某雕塑MN 位于河段OA 上，游客P 在步道上由点O 出发沿
OB 方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN 最大时，游客P 行走的距离
OP 是 米．
【答案】20
【详解】解：如图，取MN 的中点F，过点F 作FE⊥OB 于E，以直径MN 作⊙F，
∵MN＝2OM＝40m，点F 是MN 的中点，
∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，
∴EF＝20m，OE＝
EF＝20
m，
真题演练
∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，
∴OB 是⊙F 的切线，切点为E，
∴当点P 与点E 重合时，观景视角∠MPN 最大，
此时OP＝20
m，
故答案为：20
．
1、如图，已知点A、B 的坐标分别是
、
，点C 为x 轴正半轴上一动点，当
最大时，
点C 的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：过点
、
作
，点
与轴相切于点
时，
最大，
连接
、
、
，作
轴于
，如图，
点
、
的坐标分别是
、
，
，
，
，
巩固练习
，
，
与轴相切于点
，
轴，
四边形
为矩形，
，
，
在
中，
，
点坐标为
，
．
故选：B．
2、足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好．当张角达到
最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1 所示，运动员带球在直线CD 上行
进时，当存在一点Q，使得
（此时也有
）时，恰好能使球门AB 的张
角
达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点．
(1)如图2 所示，AB 为球门，当运动员带球沿CD 行进时，
，
，
为其中的三个射门点，则在
这三个射门点中，最佳射门点为点______；(2)如图3 所示，是一个矩形形状的足球场，AB 为球门，
于点D，
，
．某球员沿CD 向球门AB 进攻，设最佳射门点为点Q．①用含
a 的代数式表示DQ 的长度并求出
的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范
围为
，若此时守门员站在张角
内，双臂张开MN 垂直于AQ 进行防守，求MN 中点与
AB 的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a 的代数式表示）
【答案】(1)
(2)①
；
；②
．
【详解】（1）解：连接
、
，
∵CD∥AB，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴最佳射门点为
故答案为：
．
（2）解：①作BE⊥AQ 于E，
∵最佳射门点为点Q，
∴
，
∵
，
∴
，
∴△ADQ∽△QDB，
∴
，
∵
，
，
∴
，代入比例式得，
，
解得，
（负值舍去）；
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
则
，
；
②过MN 中点O 作OF⊥AB 于F，交AQ 于P，
∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为
，
∴当
时才能确保防守成功．
∵MN⊥AQ，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
；
MN 中点与AB 的距离至少为
时才能确保防守成功．．
