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2026 年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）
专题02 不等式
考点01：不等式的性质
1. （2025 进才中学高三模拟）下列命题中正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
1
D. 若
，则
【答案】D
【详解】举例说明判断ABC，利用不等式性质推理判断D.
【分析】对于A，由
，得
，取
，显然
，A 错误；
对于B，由
，取
，显然
，B 错误；
对于C，由
，取
，显然
，C 错误；
对于D，由
，得
，则
，而
，
因此
，所以
，D 正确.
故选：D
2.若
，
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
3. （2025 华东师大三附中高三三模）已知
，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】对选项逐一判断，不正确的举反例，正确的加以说明即可．
【详解】对于A 选项：举反例
可知不成立；
对于B 选项： 举反例
可知不成立；
对于C 选项：
，
2
因为
，所以
，而
且不同时为0，
故
，即
，正确；
对于D 选项： 举反例
可知不成立；
故选：C．
4.（2025 上海市崇明区高三三模） 已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】选项A，利用不等式的传递性分析即可；选项BCD 均可通过取特殊值进行否定.
【详解】选项A，由已知
，则
，
，即
，所以A 正确；
选项B，当
时，
，则
，所以B 错误；
选项C，当
时，
，则
，所以C 错误；
选项D，当
时，
，则
，所以D 错误.
故选：A.
5.（2026 届嘉定区高三一模）如果
,那么下列不等式中成立的是（）.
A.
B.
C.
B.
【答案】B
【解析】对于
由
得
,错误;
对于
由
，则有
，即
，正确；
对于
由
得
，则根据不等式的性质有
，即
，由
可
3
得
，错误；
对于
:由
得
，则
，即
，错误.
故选:B.
考点02：不等式与集合、充分必要条件
6. （2025 年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知集合
，
，则
______．
【答案】
【分析】先解不等式
求得A，再根据交集运算规则运算即可.
【详解】解
，
，
所以
，又
，
所以
.
故答案为：
.
7.（2025 上海外国语大学附属大境中学高三三模） “
且
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件结合不等式性质理解判断.
【详解】若
且
，例如
满足条件，但不满足
若
，则
，且
4
∴“
且
”是“
”的必要不充分条件
故选：B.
8.（2026 虹口区高三一模）已知
为实数，则“
”是“
”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分又非必要
【答案】B
9. 已知
为大于1 的正数，则“
”是“
”的（ ）条件.
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分又非必要
【答案】C
【分析】利用指数函数的单调性求解.
【详解】
，
在
上是单调增函数，
，
，充分性成立；
，
，必要性成立.
“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
10.（2026 届高三宝山区一模）若
,则
是
的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】当
当
所以
是
的必要非充分条件，故选：B.
考点03：一元二次不等式的求解
11.（25-26 复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）不等式
的解集为___________．
【答案】
5
【分析】根据二次不等式的解法直接求解即可．
【详解】
，
即
，
所以
.
故答案为：
．
12．
的解集为
【答案】
【解析】因为
，
对于
，即
，解得
；
对于
，即
，解得
或
；
可得
或
，所以不等式的解集为
.
13. （2025 复旦大学附属中学高三6 月检测）
解集为
，则
的
解集为 ______．
【答案】
【分析】由不等式
的解集为
，可得到
且
,代入一元二次不等式求解即可.
【详解】由题干知，不等式
的解集为
，
可得到
，代入一元二次不等式得
，
由于
，所以
，即
.
故答案为：
6
14．已知
，若关于x 的不等式
的解集为
，则m 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为不等式
的解集为
，
根据二次函数的图像和性质可得，
，解得
.
15．（上海市格致中学2023 届高三三模）关于x 的不等式
的解集是
，则实数a
的取值范围为 ．
（答案）
（详解）因为关于x 的不等式
的解集是
，所以
在上恒成
立，
令
，易知
为偶函数，所以
在上恒成立，即
在
上恒成立，
所以，当
时，由
，得到
，
当
时，由
，得到
，又因为
，当且仅当
时取等号，所
以
，
综上，实数的取值范围为
.
故答案为：
.
考点04：分式不等式的求解
16. 不等式
的解集是________.
7
【答案】
【分析】将分式不等式等价变形为
，解此不等式即可.
【详解】不等式
等价于
，解得
，
因此，不等式
的解集是
.
故答案为
.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
17. （2025 上海市金山中学高三三模）不等式
的解集为______________．
【答案】
【分析】将原不等式等价转化为
，然后解该二次不等式可得出结果.
【详解】不等式
等价于
，解得
，
因此，不等式
的解集为
，故答案为
.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求
解，考查运算求解能力，属于基础题.
18.（2025 复旦大学附属中学高三6 月检测）不等式
的解集为 ____________ ．
【答案】
或
.
【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【详解】
等价于
，即
，
8
解得
或
，即原不等式的解集为：
或
.
故答案为：
或
.
19. （2025 上海市格致中学高三三模）不等式
的解集为________．
【答案】
【分析】应用分式不等式的解法得
，解一元二次不等式求解集.
【详解】由题设
，而
，
所以
，则
，即解集为
.
故答案为：
20. （2025 行知中学高三6 月模拟）不等式：
的解集是_________.
【答案】
【分析】移项通分，利用因式分解法求解不等式.
【详解】不等式
，
而
恒成立，解得
，且
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
21．已知
，
为实数，关于
的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】关于
的不等式
的解集为
，所以
，
9
则不等式
.
不等式
的解集为
.
考点05：含绝对值不等式的求解
22.（2026 届高三长宁区一模）不等式
的解集为_____.
【解析】
所以
的解集为
23.（2026 届高三奉贤区一模）不等式
的解集是_____.
【答案】
【解析】
所以不等式
的解集是
24. （2025 上海外国语大学附属大境中学高三三模）不等式
的解集为 __________________．
【答案】
【分析】去绝对值直接求解即可.
【详解】由
，
可得：
，
解得：
，
所以原不等式的解集为：
，
故答案为：
25. （2025 上海市徐汇中学高三三模）不等式
的解集是__________．
【答案】
10
分析】零点分段法求解绝对值不等式.
【详解】当
时，
，解得
，此时解集为空集，
当
时，
，即
，符合要求，此时解集为
，
当
时，
，解得
，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为
.
故答案为：
考点06：平均值不等式及其应用
26. （2025 上海市崇明中学高三三模）若实数
、
满足
，下列不等式中恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为
，则
，故
，A 对B 错；
，即
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，CD 都错.
故选：A.
27. （2025 年华东师范大学第一附属中学高三三模）
，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为
的是（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】B
11
【分析】利用基本不等，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，当
时，
，所以选项A 错误，
对于选项B，易知
，因
，
当且仅当
，即
时取等号，所以选项B 正确，
对于选项C，易知
，所以
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以选项C 错误，
对于选项D，易知
，又
，
当且仅当
取等号，但
无解，
所以
，故选项D 错误，
故选：B.
28. （2025 上海市金山中学高三三模）若正数
满足
，则
的最大值为_________.
【答案】
.
【分析】利用基本不等式即可求得.
【详解】
为正数，
，即
，
则
，当且仅当
，即
时取等号.
故答案为：
.
12
29. （2025 华东师大三附中高三三模）若
，
，且
，则
的最小值为______．
【答案】2
【分析】由基本不等式计算即可求解.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
故
的最小值为2.
故答案为：2
30.（2025 建平中高三下学期三模） 若
，
，且
，则
的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】由
，则
，当且仅当
，即
，等号成立.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
31. （2025 杨浦区高三5 月质量检测）已知
，则
的范围是________．
【答案】
【分析】利用重要不等式即可求解.
【详解】由
，可得
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，所以
，
所以
的范围是
.
13
故答案为：
.
32. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）若正实数
、
满足
，则
的最小值为
________．
【答案】
【分析】根据对数的运算公式，求出实数
、
满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由题意得
，可得
，
由对数性质可知
，根据基本不等式可知
，当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为4.
故答案为：4.
33. （2025 七宝中学高三三模）若正数
，
满足
，则
的最大值为_______.
【答案】2
【分析】根据
得出
，得出
，
，根据
的范围求出
的范围
即可.
【详解】
，
，
，所以
，即
，
，
根据二次函数的性质可知
时，上式取得最大值2.
故答案为：2.
34. （2025-26 复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）若正数
满足
，则
的最小值为
______.
14
【答案】
##
【分析】根据基本不等式求解．
【详解】由已知
，当且仅当
，即
时等号成立，故所求最小值是
．
故答案为：
．
35.（2026 届高三宝山区一模）已知第一象限的点
和
经过直线，若直线的倾斜角为
，则
的最小值为_____.
【答案】
【解析】直线的倾斜角为
，
所以
.
因为
所以
当且仅当
时取等
36．（上海市金山中学2023 届高三核心素养检测）若关于x 的不等式
的解集为，
则
的最小值为 ．
（答案）8
15
（详解）因为不等式
的解集为，则
，
因为
，所以
，
∴
．
当且仅当
，即
时，取到等号．
故答案为：8
考点07：三角不等式
37. （2025 杨浦区高三5 月质量检测）设
，
，则
满足______________条件
【答案】
【分析】将不等式两边平方即可求解.
【详解】由
，得
，
所以
，即
，
所以
.
故答案为:
.
38. （2025 上海市育才中学高三三模）若关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立，则实数a
的最大值是___________．
【答案】3
【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解.
【详解】因为
，当且仅当
时，等号成立，
若关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立，则
，
所以实数a 的最大值是3.
故答案为：3.
16
39.（2025 复旦大学附属中学高三6 月检测）
恒成立，求
范围__________
【答案】
【分析】由绝对值不等式可求出绝对值之和函数的最小值，代入，得到关于
的一元二次不等式，解之可得
到答案.
【详解】由绝对值不等式可得到：
，当
时取“=”；
所以
,
不等式
对所有
恒成立，
等价于
，
即：
，解此不等式：
.
故答案为：
40. （2025 杨浦区高三5 月质量检测）不等式
对一切实数
恒成立，则实数
的取值范围
为__________.
【答案】
【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可.
【详解】
表示
到
的距离，
表示
到
的距离，它们的和为
到
和
到
的距离
之和，
根据三角不等式，当
位于
和
之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为
，
所以不等式
对一切实数
恒成立等价于若最小值
，则原式对所有
恒成立，
所以
或
，解得
或
.
故答案为：
.
41. 不等式
对一切
恒成立,则实数
的取值范围是________.
【答案】
17
42. （2025 年华东师范大学第一附属中学高三三模）不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】根据绝对值三角不等式
及题干可得
，等式成立需要
同号，列不等式求解即可得解.
【详解】因为
，又
，
所以
，则
.
故答案为：
.
43.（2025 七宝中学高三三模） 对于实数
，若
，则
的最大值为
__________.
【答案】3
【分析】解绝对值不等式得出
，
，再利用不等式的性质求出
即可求
出最值.
详解】由题意可得，
，
，
则
，
，则
，得
，
故
，则
的最大值为
.
故答案为：
.
考点08：不等式的综合应用
44．（上海市金山中学2023 届高三核心素养检测）若关于x 的不等式
的解集为，
则
的最小值为 ．
（答案）8
18
（详解）因为不等式
的解集为，则
，
因为
，所以
，
∴
．
当且仅当
，即
时，取到等号．
故答案为：8
45．（上海市七宝中学2023 届高三5 月第一次模拟）在
中，角、、所对的边分别为、、，
，
的平分线交
于，若
，则
的最小值为 .
（答案）
/
（详解）因为
，
的平分线交
于，且
，
由
，即
，
整理可得
，所以，
，
因此，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因此，
的最小值为
.
故答案为：
.
19
46．（上海市黄浦区2023 届高三二模）已知实数a，b，c 满足：
与
，则abc 的取
值范围为 ．
（答案）
（详解）由题意得
，
由
得
,得
,所以
,
令
，
，
当
时，
，此时
在
和
上单调递增，
当
时，
此时
在
单调递减，
所以
的极大值为
，
的极小值为
，
又因为
，
则
的取值范围为
.
故答案为：
.
47 已知实数
，满足
，若不等式
对任意的正实数
恒成立，那么实
数m 的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】由
根据函数的单调性求
，再由基本不等式求
的最小值，由此可求实
数m 的最大值.
【详解】设
，则
，
当
时，
，
20
所以函数
在
上为增函数，
∵
∴
，即
，又
，
∴
，
∴
当且仅当
时等号成立，
∵不等式
对任意的正实数
恒成立，
∴
，
故选：D.
1. （2025 上海秋季高考）不等式
的解集为_________．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式
，解出即可.
【详解】原不等式转化为
，解得
，
则其解集为
.
故答案
：
.
2．（2025·上海春考）设
，则
的最小值为 ．
21
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将
展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
故答案为：4
3．（2025·北京·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
4．（2024·上海·高考真题）已知
则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程
的解后可求不等式的解集.
【详解】方程
的解为
或
，
22
故不等式
的解集为
，
故答案为：
.
5．（2024 上海春考）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 ．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由ab ＝1 ，4a2+9b2≥2• 2a• 3b ＝12 ，当且仅当2a ＝3b ，即
或
时取最小值12，
所以4a2+9b2的最小值为12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
6．（2023 年上海卷01）不等式|x﹣2|＜1 的解集为 ．
（答案）（1，3）．
（解答）解：由|x﹣2|＜1 可得，﹣1＜x﹣2＜1，
解得1＜x＜3，
即不等式的解集为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
7．（2023 上海春考）若不等式|x﹣1|≤2，则实数 x 的取值范围为_______
8．（2023 上海春考）已知正实数 a、b 满足 a+4b ＝1，则 ab 的最大值为________ .
9．（2022 年上海卷14）若实数a、b 满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2
B．a+b＜2
C．
2b＞2
D．
2b＜2
【答案】A
【解答】因为a＞b＞0，所以a+b≥2
，当且仅当a＝b 时取等号，
又a＞b＞0，所以a+b
，故A 正确，B 错误，
2
，当且仅当
，即a＝4b 时取等号，故CD 错误，
故选：A．
10．（2022·上海·高考真题）
，
，则
的最小值是 .
23
【答案】
/
【分析】分析可得
，利用不等式的基本性质可求得
的最小值.
【详解】设
，则
，解得
，
所以，
，
因此，
的最小值是
.
故答案为：
.
11．（2022 年上海卷06）x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+2y 的最小值 ．
（答案）
（解答）解：如图所示：
由x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，可知行域为直线x﹣y＝0 的左上方和x+y﹣1＝0 的右上方的公共部分，
联立
，可得
，即图中点A（，），
当目标函数z＝x+2y 沿着与正方向向量
（1，2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值，
24
即目标函数z＝x+2y 过点A（，）时，取最小值：
2
．
故答案为：．
12．（2022·上海春考）不等式
的解集为
【答案】
【解析】：由题意得
等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为
.
故答案为：
.
13.（2021·上海·高考真题）已知函数
的最小值为，则
.
【答案】
【解析】
，当且仅当
时等号满足，
14．（2021 年上海卷16）已知两两不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；
②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（ ）
A．2x2＜x1+x3
B．2x2＞x1+x3
C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3
（答案）A
（解答）解：设x1+y1＝x2+y2＝x3+y3＝2m，
，
，
，
根据题意，应该有
，
且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2）＞0，
则有
，
25
则x1+x3﹣2x2＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），
因为（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，
所以x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，
所以A 项正确，B 错误．
x1x3﹣x22＝（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m
，而上面
已证（2b﹣a﹣c）＞0，
因为不知道m 的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：A．
15．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断
选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出
不符合题意，
符合题意．
【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以其
最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不符
合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性
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质即可解出．
16．（2021·上海·高考真题）已知函数
的最小值为，则
.
【答案】
【分析】配方得
，结合基本不等式即可求解
【详解】
，当且仅当
时等号满足，
故答案为：9
17．（2020 年上海卷13）下列等式恒成立的是（ ）
A．a2+b2≤2ab
B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2
D．a2+b2≤﹣2ab
（答案）解：A．显然当a＜0，b＞0 时，不等式a2+b2≤2ab 不成立，故A 错误；
B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B 正确；
C．显然当a＜0，b＜0 时，不等式a+b≥2
不成立，故C 错误；
D．显然当a＞0，b＞0 时，不等式a2+b2≤﹣2ab 不成立，故D 错误．
故选：B．
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