重难点22：破解圆锥曲线的面积：圆锥曲
线中三角形与四边形面积问题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、三角形面积之焦点三角形法............................................................4
题型二、三角形面积之底×高÷2法................................................................5
题型三、三角形面积之定底求高法................................................................6
题型四、三角形面积和差问题........................................................................7
题型五、三角形面积比值问题：补角模型....................................................9
题型六、三角形面积比值问题：等角模型..................................................10
题型七、三角形面积比值问题：共角模型..................................................11
题型八、四边形面积之对角线垂直法..........................................................12
题型九、四边形面积之分割法......................................................................13
题型十、三角形、四边形面积最值（范围）问题......................................15
题型精析・方法突破提能力..............................................................................16
方法
1 ：三角形面积之焦点三角形法
椭 圆：设椭圆椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)为
椭圆上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
S=b
2tanθ
2
。
证明（大题按照此步骤）：由余弦定理：m
2+n
2−2mncosθ =(2c)
2
由椭圆定义得：m +n=2a，平方得到：m
2+n
2+2mn=(2a)
2
知识网络・核心根基深扎牢
两式相减得到：mn=
2b
2
1+cosθ
所以：S=1
2 mnsinθ= b
2sinθ
1+cosθ =b
22sinθ
2 cosθ
2
2cos
2θ
2
=b
2tanθ
2
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0 ，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)
为双曲线上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
S=b
2
tanθ
2
。
证明（大题按照此步骤）：由余弦定理：m
2+n
2−2mncosθ =(2c)
2
由椭圆定义得：|m −n|=2a，平方得到：m
2+n
2−2mn=(2a)
2
两式相减得到：mn=
2b
2
1−cosθ
所以：S=1
2 mnsinθ= b
2sinθ
1−cosθ = b
22sinθ
2 cosθ
2
2sin
2θ
2
= b
2
tanθ
2
方法
2 ：三角形面积之底
×高÷2法
弦长公式：
|AB|=
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2；
|AB|= ❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2；
点到弦长距离公式：
d =|k x0−y0+m|
❑√1+k
2
面积公式：（该公式可计算最值型面积）
S=1
2 ×|AB|×d =1
2
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2∙|k x0−y0+m|
❑√1+k
2
方法
3 ：三角形面积之定底求高法
如图直线过定点Q，直线与椭圆或双曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，
S∆ABP=1
2 ×|PQ|×|y1−y2|=1
2 ×|PQ|❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2
方法
4 ：三角形面积最值范围问题方法策略
1.先利用面积公式求出含参数的表达式
2.利用换元法化简表达式或分子分母同除以分子，将分子化为常数
3.利用基本不等式或函数单调性求最值或范围
【例题1】椭圆x
2
25 + y
2
16 =1的焦点为F1, F2，P 为椭圆上一点，若∠F1 P F2=60°，则
Δ F1 P F2的面积是.
A．16 ❑√3
3
B．32❑√3
3
C．16 ❑√3
D．32❑√3
【1-1】椭圆x
2
25 + y
2
16 =1的左右焦点分别为F1, F2，点P在椭圆上，且∠F1 P F2=π
3 ，则
△F1 P F2的面积是
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、三角形面积之焦点三角形法
典例探究
举一反三
【1-2】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2．
(1)若双曲线C与椭圆x
2
4 + y
2=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q(2,1)，求该双曲线
的标准方程；
(2)若b=1，点P在双曲线右支上，且∠F1 P F2=π
3 ，求△F1 P F2的面积．
【1-3】设a为实数，已知双曲线C : x
2
a −y
2
3 =1与椭圆x
2
5 + y
2
a
2 =1有相同的焦点F1, F2．
(1)求a的值；
(2)若点P在C上，且P F1⊥P F2，求△F1 P F2的面积．
【例题2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为
､
F1(−c ,0)和F2(c ,0)，离
心率是
❑√3
2 ，直线x =c被椭圆截得的弦长等于2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l: x +2 y −2=0与椭圆相交于A ,B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积.
题型二、三角形面积之底×高÷2法
典例探究
举一反三
【2-1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)长轴长为4，且椭圆C的离心率
❑√3
2 ，其左右焦点
分别为F1, F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F2且倾斜角为150°的直线l与椭圆C交于P ,Q两点，分别求△F1 PQ的周长
和面积．
【2-2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，经过点(0,❑√3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设D为C的右顶点，过点E(−1, 1
2)的直线交C于A ,B两点，若E为AB的中点，求
△ABD的面积．
【2-3】已知椭圆G: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√6
3 ，右焦点为(2❑√2,0),斜率为1 的
直线l与椭圆G交于A ,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(−3,2).
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△PAB的面积.
【例题3】如图所示，椭圆x
2
16 + y
2
9 =1的左、右焦点分别为F1, F2，一条直线l经过F1与椭
题型三、三角形面积之定底求高法
典例探究
圆交于A，B 两点.
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△AB F2的面积.
【3-1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为e =
❑√2
2 ，且椭圆经过点(2,−❑√2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点F1作斜率为1 的直线l交椭圆于A ,B两点，F2为C的右焦点，求
△AB F2的面积.
【3-2】如图所示，椭圆x
2
16 + y
2
9 =1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆
交于A，B两点．
(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△AB F2的面积．
举一反三
【3-3】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2 倍，左焦点为F1(−❑√3,0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若F2是椭圆E的右焦点，过点F1且斜率为1 的直线交椭圆E于M , N两点，求
△F2 MN的面积．
【例题4】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过点P(5,0)的直线l交C于A ,B两点，O为
坐标原点，记△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1+3 S2的最小值为（ ）
A．8 ❑√2
B．20 ❑√2
C．24 ❑√2
D．32❑√2
【4-1】已知双曲线C : x
2
4 −y
2
5 =1的左、右焦点分别为F1，F2，已知点P在双曲线右支上
且在第一象限，点M (2,1)为三角形P F1 F2的内心，则S△PM F1−S△PM F2=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【4-2】若椭圆x
2
4 + y
2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y =−x +1与椭圆交于A，B
题型四、三角形面积和差问题
典例探究
举一反三
两点，若点P 为线段AB上的动点，则S△A F1P+ S△B F2 P的最小值为（ ）
A．4 ❑√3+1
5
B．4 ❑√3−1
5
C．4(❑√3−1)
5
D．4(❑√3+1)
5
【4-3】已知O为坐标原点，F为抛物线C : y
2= 4 x的焦点，直线l与C交于点A ,B（点A在
第一象限），若⃗OA ⋅⃗OB =0，则△AOF与△AOB面积之和的最小值为（ ）
A．6 ❑√5
B．7 ❑√5
C．8 ❑√5
D．9 ❑√5
【例题5】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光
线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1, F2，过F2的直线与椭圆E交于点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为
M，若| AB|= 3a
2 , |B F1)
|M F1)
= 5
7 ，则
S△MAB
S△A F1 F2
=（ ）
A．81
35
B．35
16
C．9
5
D．4
5
题型五、三角形面积比值问题：补角模型
典例探究
【5-1】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>0, b>0)，其中a
2+b
2=1，F1为椭圆的左焦点．
(1)若椭圆离心率为
❑√2
2 ，求椭圆方程；
(2)点P(x0, y0)是第一象限内椭圆E与直线l: x + y =1的公共点，直线l与直线x =−a
2
c
交于Q，直线PQ与y轴交于R，直线Q F1与y轴交于T，连接PT，设△TQR的面积为S1，
△TPR的面积为S2，试比较
S1
S2
与|TQ)
|TP) 的大小．
【5-2】已知抛物线τ : y
2= 4 x的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线τ于A、B两点，过点F
的直线l2交抛物线τ于C、D两点，且l1⊥l2.
(1)求证：1
|AB) +
1
|CD)为定值，并求出该定值；
(2)如图，点A、C在x轴的同侧，x A> xC，直线AC与直线BD的交点为E，记△EFC，
△ACF的面积分别为S1，S2，求
S1
S2
的取值范围.
举一反三
【5-3】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点(❑√2,1)，且离心率为
❑√2
2 ．
(1)求E 的方程；
(2)过T (1,0)作斜率之积为1 的两条直线l1与l2，设l1交E 于A，B 两点，l2交E 于C，
D 两点，AB ,CD的中点分别为M，N．探究：△OMN与△TMN的面积之比是否为定值？
若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【例题6】已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√3
2 ，长轴长为4，直线l与x轴，
y轴分别交于点M ，N（均不与坐标原点O 重合），与椭圆E相交于A ，B两点.
(1)求E的方程；
(2)直线l的斜率为−1
2时，求△OAM与△OBN的面积之比；
【6-1】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，直线x = 4与x轴的交点为M，与C的交
点为N，且|NF)= 5
4|MN ).
（1）求C的方程；
（2）设A(−2,1),B(2,1)，动点Q(m,n)(−2<m<2)在曲线C上，曲线C在点C处
的切线为l.问：是否存在定点P(0,t ) (t <0)，使得l与PA , PB都相交，交点分别为D , E，
且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由.
【6-2】已知A(−1,0)，B(1,0)，平面上有动点P，且直线AP的斜率与直线BP的斜率之
题型六、三角形面积比值问题：等角模型
典例探究
举一反三
积为1.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点A的直线与C交于点M（M在第一象限），过点B的直线与C交于点N（N在
第三象限），记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1= 4 k2.
①求证：直线MN过定点；
②试判断△AMN与△BMN的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不
为定值，请说明理由．
【6-3】已知双曲线W：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点
N (0,b)，右顶点是M，且⃑MN ⋅⃑M F2=−1，∠NM F2=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q(0,−2)的直线l 交双曲线W 的右支于A、B 两个不同的点（B 在A、Q
之间），若点H (7,0)在以线段AB 为直径的圆的外部，试求△AQH 与△BQH 面积之比λ 的
取值范围．
【例题7】设抛物线E: y
2=8 x的焦点为F，过点M (4,0)的直线与E 相交于A，B 两点，与
E 的准线相交于点C，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF与△ACF的面积之比
S△BCF
S△ACF
=（ ）
A．1
4
B．1
5
C．1
6
D．1
7
题型七、三角形面积比值问题：共角模型
典例探究
【7-1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1的离心率为
❑√6
3 ，其长轴的两个端点分别为A (−3,0)，
B (3,0)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点P 为椭圆上除A，B 外的任意一点，直线AP 交直线x = 4于点E，点O 为坐标原
点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l，直线BP 交y 轴于点M，交直线l 于点N，求
△BMO与△NMO的面积之比．
【7-2】在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点N（x，y）与定点F（﹣1，0）的距
离和它到定直线x=
2
﹣的距离之比是
❑√2
2 ．
（1）求动点N的轨迹C 的方程；
（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB，M 为AB 的中点，直线OM 与
C1:( x−4)
2+ y
2=32交于P，Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．
【7-3】已知椭圆C的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x轴上，离心率为
❑√3
2 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作
AM的垂线交BN于点E.求△BDE与△BDN的面积之比.
举一反三
题型八、四边形面积之对角线垂直法
【例题8】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，焦距为2c，以a,b,c为三边的
三角形面积为
❑√3
2 .
(1)求C 的方程；
(2)过右焦点F作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M , N , P ,Q，求四边形MPNQ面
积的最小值.
【8-1】在平面直角坐标系Oxy中，动圆Q与圆C1: x
2+( y −1)
2=9内切于M，且与圆C2:
x
2+( y +1)
2=1外切于N，设动圆Q的圆心轨迹为曲线E（如图）·
(1)求曲线E的方程；
(2)若圆x
2+ y
2=1的两条相互垂直的切线l1, l2均不与坐标轴垂直，且直线l1, l2分别与
曲线E相交于点A , C和B , D，求四边形ABCD面积的最小值.
典例探究
举一反三
【8-2】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2 ，点(❑√2,1)在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆过原点O的弦AC ,BD相互垂直，求四边形ABCD面积的最大值．
【8-3】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)的上顶点为B，右焦点为F，点B、F 都在直线
3 x + ❑√3 y −3=0上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若圆x
2+ y
2=1的两条相互垂直的切线l1,l2均不与坐标轴垂直，且直线l1,l2分别与E
相交于点A，C 和B，D，求四边形ABCD面积的最小值．
【例题9】已知椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2 ，焦距为2❑√2．
(1)求椭圆C的方程；
题型九、四边形面积之分割法
典例探究
(2)过圆O: x
2+ y
2=6上一动点P(x0, y0)作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B．
（I）证明：PA ⊥PB；
（II）求四边形PAOB面积的取值范围．
【9-1】已知椭圆Γ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点P(
❑√3,
❑√3
2 )，点Q 为Γ 的下顶点，直线PQ
的斜率为3
2．
(1)求Γ 的方程；
(2)AB 是过Γ 右焦点的弦（AB 不是长轴），AB 的中点为G，过点A，B 分别作直线
l：x = 4的垂线，垂足分别为C，D，l 与x 轴的交点为E．
（ⅰ）证明：AE //GD；
（ⅱ）记CG 与AE 的交点为M，DG 与BE 的交点为N，求四边形MGNE 面积的最大
值．
【9-2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，点P在C上运动，G
是△P F1 F2的重心，且点G到点R(−
❑√3
3 ,0)与到点S(
❑√3
3 ,0)的距离之和为4
3 ．
(1)求C的方程；
(2)设A ,B分别为C的左、右顶点，动点Q在直线x = 4上，直线QA与C的另一个交点
为M，直线QB与C的另一个交点为N．
（ⅰ）证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
举一反三
（ⅱ）求四边形ANBM面积的最大值．
【9-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的长轴长为2❑√3，左、右焦点分别为F1, F2，直
线l: y = px +q与C交于P ,Q两点，且△P F1 F2面积的最大值为3
2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若⃗OP⋅⃗OQ =0.
（i）证明：q
2= p
2+1；
（ii）若直线m经过原点，与椭圆C交于R ,S两点，且⃗OR ∥ (⃗OP+⃗OQ)，求四边形
PRQS面积的取值范围.
【例题10】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，点P(1, 3
2)
在椭圆C上，且
题型十、三角形、四边形面积最值（范围）问题
典例探究
PF ⊥x轴，
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l交椭圆于A，B两点，点C在直线x = 4上，满足BC ∥x 轴.
①证明直线AC过定点；
②设定点坐标为M，求△MAB面积的最大值.
【10-1】已知双曲线C的渐近线方程为❑√3 x ± y =0，过右焦点F (2,0)且斜率为k的直线l与
C相交于A、B两点. 点B关于x轴的对称点为点E.
(1)求双曲线C的方程：
(2)求证：直线AE恒过定点，并求出定点的坐标；
(3)当k ≥2时，求△AEF面积的最大值.
【10-2】圆锥曲线第二定义：设动点M到定点F(c ,0)(c>0)的距离与点M到定直线
l: x = a
2
c 的距离的比是c
a，当c
a >1时，该动点M的轨迹为双曲线.定直线l: x = a
2
c 称为准线，
比值e = c
a称为离心率，| MF |=|e x0−a)称为焦半径.如图，F1, F2为曲线C的左、右焦点，
该曲线离心率e =
❑√5
2 ，准线l: x = 4 ❑√5
5
.动点P(x0, y0)( y0≥1)在曲线C的右支上.设
∠F1 P F2的平分线与x轴、y轴分别交于点N (m,0),Q.
(1)求曲线的标准方程；
举一反三
(2)求m的取值范围；
(3)设过点F1,Q的直线l与双曲线C交于A ,B两点，求△F2 AB面积的最大值.
【10-3】在直角坐标系xOy中，A ,B ,C是抛物线E: x
2= 4 y上不重合的三点，F为E的焦
点.且△ABC的重心为F.
(1)求直线AB在y轴上的截距的取值范围；
(2)求△ABC面积的最大值.
1.已知抛物线C：y
2=2 px( p>0)的焦点为F(1,0)，坐标原点为O，直线l与抛物线C交于
A，B两点（与O均不重合），以线段AB为直径的圆过原点O，则△AOB与△AOF的面积
之和可能为（ ）
A．17
B．8 ❑√5
C．18
D．9 ❑√3
2.设双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1, F2，它的实轴长为4，P 是C
上的一点且满足⃗F1 P⋅⃗F2 P =0，△P F1 F2的面积是4，则C 的方程是 .
3.过抛物线C:y2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于P，Q 两点，与抛物线的准线相交于
点M，且⃑FM =3⃑FP，则△OMP 与△OMQ 的面积之比S△OMP
S△OMQ
= .
4.已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1 F2)=2，点A (2,0)在
C上，P为椭圆C的一个动点.
题型精析・方法突破提能力
(1)求C的方程.
(2)当∠F1 P F2= π
3 时，求△P F1 F2的面积.
(3)求⃗P F1⋅⃗P F2的取值范围.
5.已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
5 =1（a>❑√5）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点．
(1)若a=3，求⃗P F1⋅⃗P F2的取值范围；
(2)若∠F1 P F2=120°，求△F1 P F2的面积．
6.已知椭圆与双曲线x
2
16 −y
2
9 =1具有共同的焦点F1，F2，点P在椭圆上，P F1⊥P F2，
若______（在①②③中选择一个：①椭圆过点(5 ❑√2,0)，②椭圆的短轴长为10，③椭圆离
心率为
❑√2
2 ．说明：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求△P F1 F2的面积．
7.已知椭圆x
2
45 + y
2
20 =1上存在点M，使M F1⊥M F2，其中F1、F2为该椭圆的两个焦点，
求△M F1 F2的面积．
8.已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0），离心率e =
❑√3
2 ，且点A(2,−1)在椭圆上.
(1)求该椭圆的方程；
(2)直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且∠PAQ =π
2 ，求
△PAQ的面积.
9.已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的离心率为❑√3, P(3,2❑√3)为C上一点．
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点且倾斜角为30
∘的直线l交C于M ，N两点，O为坐标原点，求
△OMN的面积.
10.已知双曲线C的中心为坐标原点O，且焦点在x轴上，点P(4 ,−3)在双曲线C上，其一
条渐近线方程为❑√3 x +2 y =0．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点Q(0,2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M 、N两点，求△OMN的面
积．
11.已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y =
❑√3
2 x，焦距为2❑√7．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若O 为坐标原点，直线l：x−y +2=0交双曲线C 于A，B 两点，求△OAB的面积．
12.在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F(−1
2 ,0)的距离|MF)是点M到y轴的距离
与点M到直线x =1的距离的等差中项，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若点D (1,0)，过F的直线与曲线C交于A ,B两点，且|AB)=6，求△ABD的面积.
13.已知抛物线y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，A为抛物线上一点，延长AF交抛物线于点B．
抛物线的准线与x轴的交点为K，A(
p
3 , m)(m>0), |AF)= 5
3．
(1)求抛物线的方程；
(2)求△ABK的面积．
14.已知椭圆C : x
2+2 y
2=2，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为π
4 的直线l交椭
圆于A，B两点．
(1)求AB的长；
(2)求△AB F2的面积．
15.已知过点M (2,2❑√3)的直线l与双曲线E: x
2
4 −y
2
3 =1交于A ,B.
(1)求与双曲线E: x
2
4 −y
2
3 =1共渐近线且过点M的双曲线的方程；
(2)若线段AB的中点为M，求直线l的方程和三角形AOB面积.
16.已知抛物线C：y
2=2 px（p>0）的焦点F关于其准线的对称点为M (−3,0).
(1)求抛物线C的方程；
(2)若O为坐标原点，过焦点F且斜率为1 的直线l交抛物线C于A、B两点，求△AOB
的面积.
17.已知点A是抛物线y
2=16 x上的动点，过点A向x轴作垂线段，垂足为B，垂线段AB中
点为C，设C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点F (1,0)且斜率为1 的直线l交曲线E于M，N两点，O为坐标原点，求
△OMN的面积.
18.已知抛物线y
2=2 px ( p>0)的焦点F与双曲线x
2−y
2
3 =1的右顶点重合，过点
P(0,−4)的直线l与抛物线交于A ,B两点.
(1)求抛物线方程；
(2)若⃗PB = 4⃗PA，且A在x轴的下方，B在x轴的上方，求△OAB的面积．
19.已知抛物线C: y
2=2 px( p>0)的准线方程为x =−1，过其焦点F的直线l交抛物线C于
A ,B两点，线段AB的中点为M ,坐标原点为O ,且直线OM 的斜率为
❑√2
2 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△AOB的面积.
20.已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1 F2)= 4 ❑√2，点
M(2❑√2, 2❑√3
3 )在椭圆C上，直线l: y = x +t．
(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；
(2)当t =2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A ,B两点，P ,Q为椭圆C上两动点，求
S△PAB+ S△QAB的最大值．
21.已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点F(1,0)，过F的直线l交椭圆C于A ,B两点，
若⃗AF = λ⃗FB，当λ =1时，|AB)= ❑√2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的下顶点为D，△ADF的面积为S1，△BDF的面积为S2，求S1−S2的最大
值.
22.已知直线l与抛物线Γ：y
2=2 px(p>0)交于A、B两点，且点A、B在x轴两侧，其准线
与x轴的交点为点C，当直线l的斜率为1
2且过抛物线Γ的焦点时，| AB|=20.
（1）求抛物线Γ的标准方程；
（2）若抛物线的焦点为F，⃑OA ⋅⃑OB =5，且△ABF与△ACF的面积分别为S△ABF、
S△ACF，求S△ABF + S△ACF的最小值.
23.已知抛物线E：y
2=2 px（p>0）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆C：
( x−3)
2+ y
2= 4的两条切线，切点为M，N，| MN |=2❑√3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且⃗OA ⋅⃗OB = 9
4 （其中O
为坐标原点），求△FAB与△OAF面积之和的最小值.
24.已知双曲线E 的中心在原点，焦点在x 轴上，且焦点到渐近线的距离为❑√5，其离心率为
3
2，记直线l从下到上与x 轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，
A，B，C，D，如图所示：
(1)求双曲线E 的方程；
(2)求证：|AB)=|CD)；
(3)若1
|PA)，1
|PB)，
1
|PD)成等差数列，问△OPA，△OCD的面积之和是否为定值?并
说明理由.
25.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，
离心率为
❑√3
2 ，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x−y + ❑√2=0相切；
过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△F1 MN面积的最大值，并求取得最大值时△F1 F2 M与△F1 F2 N的面积之比.
26.已知双曲线Γ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为4，且过点P(2,
❑√3
3 )
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过双曲线Γ的左焦点F分别作斜率为k1,k2的两直线l1与l2，直线l1交双曲线Γ于
A ,B两点，直线l2交双曲线Γ于C , D两点，设M , N分别为AB与CD的中点，若
k1⋅k2=−1，试求△OMN与△FMN的面积之比.
27.已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0).过抛物线焦点F 作直线l1
分别在第一、四象限交C于
K 、P两点，过原点O 作直线l2与抛物线的准线交于E 点，设两直线交点为S.若当点P 的
纵坐标为−2时，|OP)= ❑√5.
(1)求抛物线的方程.
(2)若EP平行于x 轴，证明：S 在抛物线C 上.
(3)在（2）的条件下，记△SEP的重心为R，延长ER交SP于Q，直线EQ交抛物线于
N 、T（T 在右侧），设NT中点为G，求△PEG与△ESQ面积之比n 的取值范围.
28.如图，已知A，B 为抛物线E：x
2=2 py ( p>0)上任意两点，抛物线E 在A，B 处的切线
交于点P，点P 在直线y =−1上，且∠APB =π
2 ，动点Q 为抛物线E 在A，B 之间部分上
的任意一点．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)抛物线E 在Q 处的切线交PA，PB 于M，N 两点，试探究△PMN与△ABQ的面积
之比是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由．
29．已知抛物线C ：y
2=2 px的焦点为F.
(1)过点F 且斜率为❑√3的直线交抛物线C 于P，Q 两点，若|PQ)= 16
3 ，求抛物线C 的
方程；
(2)过点F 的直线交抛物线C 于A，B 两点，直线AO，BO 分别与直线x =−p相交于
M，N 两点，试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值，并说明理由．
30.已知坐标原点为O，抛物线为G: x
2=2 py( p>0)与双曲线y
2
3 −x
2
3 =1在第一象限的交点
为P，F为双曲线的上焦点，且△OPF的面积为3．
(1)求抛物线G的方程；
(2)已知点M (−2,−1)，过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A，B，切线
MA，MB分别交x轴于C，D，求△MAB与△MCD的面积之比．
31．已知椭圆Γ 方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，B1、B2分别是椭圆Γ 短轴上的上下两个端点，
F1是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于B1、B2的点，△B1 F1B2是边长为4 的等边三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；
(3)点R 满足：R B1⊥P B1，R B2⊥P B2，试问：△P B1B2与△R B1B2的面积之比
是否为定值？并说明理由．
32．已知A，B分别是椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右顶点和上顶点，|AB)= ❑√5，直线
AB的斜率为−1
2.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l // AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D.
（i）求△OCM的面积与△ODN的面积之比；
（ⅱ）证明：|CM )
2+|MD)
2为定值.
33．已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ,B，长轴长为短轴长的2 倍，
点P在C上运动，且△ABP面积的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若直线l经过点Q (1,0)，交C于M , N两点，直线AM ,BN分别交直线x = 4于D，E
两点，试问△ABD与△AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理
由．
34．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为
B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P．
(1)若P( 8
5 ,−3 ❑√3
5
)，|BP|= 16
5 ，求椭圆C的方程;
(2)若直线AB与直线AP的斜率之比是−2，求△BOF与△APF的面积之比．
35．已知椭圆M : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1的焦点为F (2,0)，长轴长与短轴长的比值为❑√2.
(1)求椭圆M 的方程：
(2)过点F 的直线l 与椭圆M 交于A，B 两点，BC ⊥x轴于点C，AD⊥x轴于点D，
直线BD 交直线x = 4于点E，求△ECD与△EAB的面积之比.
36．如图所示，已知A，B，C 是焦距为4 的椭圆G: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上的三点，点A
是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心且BC
→
⋅BA
→
=0，|BC
→
|=2|BA
→
|．
（1）求椭圆G 的方程；
（2）过椭圆G 上异于顶点的任意一点P 作圆O: x
2+ y
2=2的两条切线，切点分别为
M，N，若直线MN 与x 轴，y 轴分别交于点E，F，当△EOF的面积最小时求△PMN与
△EOF的面积之比．
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：x
2
a
2 + y
2
b
3 =1(a>b>0)过点(2❑√2, 1
3)，离心率
为2❑√2
3
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线与椭圆C交于不同的两点M，N，再过
点D作AM的垂线交BN于点E，求ΔBDE与ΔBDN的面积之比.
38．已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为1
2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的右焦点为D，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，且点
M在x轴的上方，过D作AM的垂线交BN于点E，求△BDE与△BDN的面积之比．
39．已知C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的短轴长2❑√3，离心率为1
2，圆O: x
2+ y
2=b
2．
（1）求椭圆C和圆O的方程；
（2）过椭圆左焦点的直线l与椭圆C交于A ,B两点，|AB)= 16
5 ，若直线l于圆O交于
M , N两点，求直线l的方程及ΔAOB与ΔOMN的面积之比．
40．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，左、
右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2，连结B2 F并延长交椭圆于点P，连结
P A2，A1B2，记椭圆C的离心率为e.
（1）若e = 1
2，A1B2= ❑√7.
①求椭圆C的标准方程；
②求Δ B2 A1 F和ΔP A2 F的面积之比.
（2）若直线P B2和直线P A2的斜率之积为−9
2，求e的值.
41．已知动点M (x , y)与点F (1,0)的距离和它到直线x = 4的距离之比是1
2 ，点M的轨迹为
曲线C．
(1)求C的方程；
(2)若点A ,B , D , E在C上，且⃗AB =2⃗DE , AD与BE交于点P，点P在椭圆x
2
12 + y
2
9 =1
上，证明：△PAB的面积为定值．
42．已知椭圆Γ的两个焦点坐标分别是F1(−1,0), F2(1,0)，并且经过点(−❑√2,
❑√6
2 )．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)过F1斜率不为0 的直线l交椭圆Γ于A ,B两点，求△A F2B面积的最大值．
43．如图，直线y =kx +b(k >0,b>0)与椭圆x
2
4 + y
2=1交于A、B 两点，记△AOB的面积
为S．
(1)当k =1，b=1时，求S；
(2)当|AB)=2，S =1时，求直线AB 的方程；
(3)求S 的最大值．
44．已知抛物线C : x
2=2 py ( p>0)的焦点为F，过点F且斜率为2❑√2的直线l与圆
D: x
2+( y +2)
2=1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设M (x0,−2)(−1≤x0≤1)，过点M作C的两条切线l1，l2，切点分别为A ,B，试
求△MAB面积的取值范围．
45．平面直角坐标系xOy中，M 是一个动点，直线M M 1与直线y =
❑√3
3 x垂直，垂足M 1位
于第一象限，直线M M 2与直线y =−
❑√3
3 x垂直，垂足M 2位于第四象限，且⃗
M M 1⋅⃗M M 2=−3
8.
(1)求动点M 的轨迹方程C；
(2)若过点H (2,0)的直线交曲线C 于B、D 两点，D 关于x 轴的对称点为点A（异于点
B），直线AB 与x 轴交于点G，求△BGD面积的取值范围.
46．已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e= 1
2，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的
四边形的面积为4 ❑√3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P为曲线x
2+ y
2=7上一点，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，求：
①∠APB；
②△APB面积的取值范围.
46．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为2
3，左、右焦点分别为F1, F2，过F1的
直线交椭圆于A ,B两点，以A F1为直径的动圆内切于圆x
2+ y
2=9,O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点M (2,4)，过右焦点F2作斜率为k (k ∈[−1,1))的直线l交椭圆于P ,Q两点，求
△MPQ面积的取值范围．
47．已知抛物线E: y
2=8 x，两条直线l1，l2分别于抛物线E交于A，B两点和C，D两点．
（1）若线段AB的中点为M (8,4)，求直线AB的斜率；
（2）若直线l1，l2相互垂直且同时过点P(4,0)，求四边形ACBD面积的最小值．
48．已知抛物线E: y
2=8 x，两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点，
（1）若线段AB的中点为M (8,4)，求直线AB的斜率；
（2）若直线l1，l2相互垂直且同时过抛物线E的焦点，求四边形ABCD面积的最小值．
49．已知动圆过定点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点
E(m,0)(m>0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A,B,C,D,且
M，N分别是线段AB，CD的中点．
（1）求轨迹H的方程；
（2）若m=1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值．
50．已知椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为e = 1
2，且与y轴的正半轴的交点为
(0,2❑√3)，抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的右焦点.
(1)求椭圆C1与抛物线C2的标准方程；
(2)过(1,0)的两条相互垂直直线与抛物线C2有四个交点，求这四个点围成四边形的面
积的最小值.
51．已知椭圆C1: x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点F 与抛物线C2: y
2=2 px( p>0)的焦点重合．
(1)求C2的方程及C1与C2交点的横坐标；
(2)过F 作两条相互垂直的直线，其中一条与C1交于A，B 两点，另一条与C2交于M，
N 两点，求四边形AMBN面积的最小值．
52．已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦点F1，F2均在圆O：x
2+ y
2=1上，P 为椭圆上
一点，△P F1 F2的面积的最大值为❑√3．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)两相互垂直且斜率存在的直线l1，l2均与圆O 相切，分别与椭圆E 相交于A，B，
C，D 四点，求四边形ACBD 面积的最小值．
53．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的右顶点为A (1,0)，上顶点
为B，离心率为2❑√2
3
.
(1)求C的方程；
(2)设M是曲线C上位于第一象限的任意点.
（I）若⃗OM ⋅⃗AM = 13
2 ，求点M的坐标；
（II）记点M关于原点O的对称点为M
′，求四边形AMB M
′的面积的最大值.
54．已知椭圆C的中心与坐标原点O重合，F (3,0)为C的一个焦点，且点B(0,❑√7)在C上.
(1)求C的方程及离心率；
(2)设点P为C在第一象限的部分上一点，求四边形OFPB面积的最大值.
55．已知抛物线C : x
2=2 py ( p>0)的焦点为F，直线l过点F且与C相交于A(x1, y1)，
B(x2), y2)两点，当直线l的倾斜角为π
4 时，|AB)=8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点A作抛物线C的切线l1，过点B作l1的平行线l2交C于另外一点M (x3, y3).
①求证：2 x1= x2+ x3；
②求四边形OBMA（O为坐标原点）面积的最小值.
56．已知抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点为(1,0)，过点M (2,0)的直线与E交于A、B
两点，过点B作y轴的垂线与直线OA相交于点P．
(1)求E的方程；
(2)证明：点P在定直线l上；
(3)延长BO交（2）中的直线l于点Q，求四边形ABPQ面积S的最小值．
