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专题03 利用导函数研究函数的单调性问题
（含参讨论问题）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.............2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式
分解型.............................................................................................4
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.................5
三、专项训练.......................................................................................6
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求
的定义域
第二步：求
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于
进行求导得到
，对
初步处理（如通分），提出
的恒正
部分，将该部分省略，留下的部分则为
的有效部分（如：
，则记
为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只
有该部分决定
的正负.
1
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第四步：确定导函数有效部分
的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①令
，确定其零点
，并在
轴上标出
②观察
的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①对
因式分解，令
，确定其零点
，
并在
轴上标出这两个零点
②观察
的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对
，求
②分类讨论
③对于
，利用求根公式求
的两根
，
④判断两根
，
是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出
草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0 开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（23-24 高二下·山东潍坊·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性.
2
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2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数
.
(1)若
的图象在点
处的切线与直线
垂直，求
的值;
(2)讨论
的单调性与极值.
3．（23-24 高二下·山西长治·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
3
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题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分
解型
1．（23-24 高二下·山东·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性．
2．（2024·辽宁·二模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
3．（23-24 高二下·四川南充·期中）已知函数
．
(1)当
时，求
的在
上的最大值和最小值；
(2)当
时，求
的单调区间．
4
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4．（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
的定义域为
，其中
为自然对数底数
(1)讨论函数
的单调性；
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（23-24 高二下·四川内江·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)试讨论
的单调性；
5
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4．（23-24 高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
三、专项训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知
，
.
(1)讨论
的单调性.
2．（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求函数
在
上的最大值和最小值；
(2)讨论函数
的单调性．
6
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3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单
调性.
4．（23-24 高二下·全国·课前预习）已知函数
，
,讨论
的
单调性.
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，讨论
的单调性.
7
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6．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，讨论
的
单调区间.
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知
．求
的单调区间；
8．（2023 高二上·江苏·专题练习）已知函数
，
，讨论函数
的单调性.
8
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9．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单调性．
10．（22-23 高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数
，其中
.
(1)若
在
处取得极值
，求a 的值；
(2)当
时，讨论
的单调性．
9
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