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专题验收评价
专题5 空间向量与立体几何
内容概览
A·常考题不丢分
题型一 多面体结构及表面积体积问题
题型二 多面体内接外切问题
题型三 空间几何体角度问题
题型四 空间几何体动点问题
C·挑战真题争满分
一、单选题
1．（2024 上·山西运城·高三校考期末）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的
高为0.5 米，圆柱部分的高为2 米，底面圆的半径为1 米，则该组合体体积为（ ）
A．
立方米
B．
立方米
C．
立方米
D．
立方米
多面体结构及表面积体积问题
题型一
2．（2024 上·山东淄博·高三统考期末）已知正四棱台
的上、下底面边长分别为2 和4，若
侧棱
与底面ABCD 所成的角为
，则该正四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上
大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知
，
，现往容器里加米，当米的高度
是“方斗”高度的一半时，用米
，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 上·山西·高三期末）如图，玛雅金字塔是世界上最大的金字塔之一，同埃及金字塔不同，它的每
个侧面都是等腰梯形，并且梯形两腰延长得到的三角形是一个呈“金”字的等边三角形，它的底面是边长
为
的正方形，塔高为
．该金字塔的体积约为（ ）
．（参考数据
，
）
A．120064
B．40977
C．34048
D．31659
5．（2024 上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）如图所示，正四棱台
中，
上底面边长为3，下底面边长为6，体积为
，点
在
上且满足
，过点
的平面
与平
面
平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）在菱形
中，
，将
沿对角线
折起，使点A 到达
的位置，且二面角
为直二面角，则三棱锥
的外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2024·河南·统考模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥
的高与球
的直径相等，则圆锥
的体积与球
的体积的比值是 ，圆锥
的表面积与球
的表面积的比值是 ．
一、单选题
1．（2023 上·陕西西安·高三校联考阶段练习）若平面
截球
所得截面圆的面积为
，且球心
到平面
多面体内接外切问题
题型二
的距离为
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 上·江苏苏州·高三统考期中）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导
航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到
地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r 为
的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道
平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星信
号覆盖地球表面的表面积为
（单位：
），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）．
A．18％
B．34％
C．42％
D．50％
3．（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）球
半径为
，球面上有三点
､
､
，
，
，则四面体
的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·河北·高三联考）将边长为
的菱形
沿对角线
折成直二面角，得到四面体
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河北·高三联考）已知球O 是正三棱锥
（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中
心）的外接球，
，
，点E 是线段BC 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的
最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2024 上·江苏苏州·高三校考期末）下列物体，能够被半径为
的球体完全容纳的有（ ）
A．所有棱长均为
的四面体
B．底面棱长为
，高为
的正六棱锥
C．底面直径为
，高为
的圆柱
D．上､下底面的边长分别为
，高为
的正四棱台
一、单选题
1．（2024·浙江·高三模拟）在正四面体ABCD 中，E，F 是棱BC，AB 的中点，则异面直线 DE 与CF 所
成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 上·甘肃武威·高三统考期末）如图，在棱长都相等的正三棱柱
中，
为棱
的中
点，则直线
与直线
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
空间几何体角度问题
题型三
二、多选题
3．（2024 上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）如图，在正方体
中，
，点
分别在棱
和
上运动（不含端点），若
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线
与直线
所成角为
B．
平面
C．
D．线段
长度的最大值为
4．（2024 上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）如图，在正四棱柱
中，
，点
分别是
的中点，点
是线段
上的动点，则下列说法正确的是
（ ）
A．存在
，使得
平面
B．当
时，存在
，使得
平面
C．存在
，使得平面
平面
D．存在
，使得平面
平面
三、解答题
5．（2024 上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）如图，矩形
中
为边
的中点，将
沿直线
翻折成
，使
，若
为线段
的
中点，
(1)求证：
平面
(2)求证：平面
平面
(3)求二面角
夹角的正弦值
6．（2024 上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）如图，在三棱锥
中，
是
的
中点，
是
的中点，点
在线段
上，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面
，且
，求直线
与平面
所成角的余弦值.
7．（2024·河南·统考模拟预测）如图，平行六面体
中，底面
是边长为2 的正方形，
为
与
的交点，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
一、解答题
1．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在几何体
中，
平面
.
空间几何体动点问题
题型四
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，在棱
上是否存在一点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
？
若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由.
2．（2023·四川雅安·统考一模）如图，在三棱柱
中，直线
平面
，平面
平
面
．
(1)求证：
；
(2)若
，在棱
上是否存在一点
，使二面角
的余弦值为
？若存在，
求
的值；若不存在，请说明理由．
3．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知，图中直棱柱
的底面是菱形，
其中
.又点
分别在棱
上运动，且满足：
，
.
(1)求证：
四点共面，并证明
平面
；
(2)是否存在点
使得二面角
的余弦值为
？如果存在，求出
的长；如果不存在，请说明
理由.
一、单选题
1．（2023·全国乙卷）已知圆锥PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，
，若
的面积等于
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国甲卷）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·全国乙卷）在正方体
中，E，F 分别为
的中点，则（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
4．（2022·全国乙卷）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则
当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·全国Ⅱ卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·全国·乙卷）在正方体
中，P 为
的中点，则直线
与
所成的角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·全国甲卷）已知A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且
，则
三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·全国Ⅰ卷）已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·全国·Ⅱ卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．（2023·全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C
在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
11．（2022·全国·Ⅱ卷）如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记
三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2021·全国·Ⅰ卷 ）在正三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，
，则（ ）
A．当
时，
的周长为定值
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，有且仅有一个点
，使得
D．当
时，有且仅有一个点
，使得
平面
13．（2021·全国·Ⅱ卷）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．
则满足
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
14．（2023·全国·乙卷）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
15．（2022·全国乙卷）如图，四面体
中，
，E 为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，点F 在
上，当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正
弦值．
16．（2022·全国·甲卷）在四棱锥
中，
底面
．
(1)证明：
；
(2)求PD 与平面
所成的角的正弦值．
17．（2022·全国Ⅰ卷）如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．
(1)求A 到平面
的距离；
(2)设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
18．（2022·全国·Ⅱ卷）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
，
，求二面角
的正弦值．
19．（2021·全国·乙卷）如图，四棱锥
的底面是矩形，
底面
，
，
为
的中点，且
．
（1）求
；
（2）求二面角
的正弦值．
20．（2021·全国·Ⅰ）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点.
（1）证明：
；
（2）若
是边长为1 的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，
求三棱锥
的体积.
21．（2021·全国·Ⅱ）在四棱锥
中，底面
是正方形，若
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值．
