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让更多的孩子得到更好的教育
整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项
式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行
乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式
简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法
和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般
步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 知识要点】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：
(m
n
，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方：
(m
n
，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方：
(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：
(a ≠0, m
n
，为正整数，并且m
n
).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
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5.零指数幂：
0
1
0 .
a
a
即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双
向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
mc
mb
ma
c
b
a
m
)
(
(
c
b
a
m
,
,
,
都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加.即
a
b
m
n
am
an
bm
bn
.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质
符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．
根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：
2
x
a
x
b
x
a
b x
ab
.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同
它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：(
)
am
bm
cm
m
am
m
bm
m
cm
m
a
b
c
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，a
b
，
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同
项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
；
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的
平方和加（或减）这两数之积的2 倍.
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项
法等.
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要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、已知
2
5
m
x
，求
6
1
5
5
m
x
的值．
【思路点拨】由于已知
2m
x
的值，所以逆用幂的乘方把
6m
x
变为
2
3
(
)
m
x
，再代入计算．
【答案与解析】
解：∵
2
5
m
x
，
∴
6
2
3
3
1
1
1
5
(
)
5
5
5
20
5
5
5
m
m
x
x
．
【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
举一反三：
【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例1】
【变式】（1）已知
24
6
12
2 ,
9 ,
5
a
b
c
，比较, ,
a b c 的大小.
（2）比较
30
20
10
3 , 9 , 27
大小。
【答案】
解：（1）
b
a
c ； （2）
30
10
20
3
27
9
提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；
（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.
类型二、整式的乘除法运算
2、
（2015•杭州模拟）已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，
并且不含二次项，请分别求出m，n 的值，并求出一次项系数．
【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x
的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
【答案与解析】
解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，
因为该多项式是四次多项式，
所以m+2=4，
解得：m=2，
原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项，
∴3+12n=0，
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解得：n=
，
所以一次项系数8﹣3n=8+ 3
4 = 35
4 ．
【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项
式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
举一反三：
【变式】若
1
3
x
m
x
的乘积中不含x 的一次项，则m 等于______．
【答案】
1
3
；
类型三、乘法公式
3、计算：(1)
a
b
c
d
a
b
c
d
；(2)
2
3
1
2
3
5
x
y
x
y
．
【思路点拨】（1）中可以将两因式变成a
b
与c
d
的和差.（2）中可将两因式变成2
3y
与
2
3
x
的和差.
【答案与解析】
解：(1)原式
2
2
[(
)
(
)][(
)
(
)]
(
)
(
)
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
c
cd
d
．
(2)原式
[(2
3 )
(2
3)][(2
3 )
(2
3)]
y
x
y
x
2
2
2
3
2
3
y
x
2
2
9
4
12
12
5
y
x
y
x
.
【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中
的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．
举一反三：
【变式】计算：
2
4
8
3(2
1)(2
1)(2
1) 1
．
【答案】
解：
2
4
8
2
2
4
8
3(2
1)(2
1)(2
1) 1
(2
1)(2
1)(2
1)(2
1) 1
4
4
8
(2
1)(2
1)(2
1) 1
8
8
16
16
(2
1)(2
1) 1
2
1 1
2
．
4、已知
2
2
2
2
4
6
14
0
x
y
z
x
y
z
，求代数式
2012
(
)
x
y
z
的值.
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【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出, ,
x y z .
【答案与解析】
解：
2
2
2
2
4
6
14
0
x
y
z
x
y
z
2
2
2
1
2
3
0
x
y
z
所以
1,
2,
3
x
y
z
所以
2012
2012
(
)
0
0
x
y
z
.
【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得
出正确答案.
举一反三：
【变式1】如果
，则
的值为 .
【答案】
解：∵
，
∴
，
解得
∴
.
【变式2】（2015 春•祁阳县期末）课堂上老师指出：若a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请判断该三角形的形状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，
说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小明的猜想和理由．
【答案】
解：依题意得：
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0
所以a=b，b=c，c=a．
故△ABC 是等边三角形．
5、求证：无论x
y
，
为何有理数，多项式
2
2
2
6
16
x
y
x
y
的值恒为正数．
【答案与解析】
解：原式＝
2
2
1
3
6
0
x
y
所以多项式的值恒为正数.
【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负.
举一反三：
【变式】证明:不论,a
b 为何值 , 多项式
2
2
2
2
3
5
4
a b
a
b
ab
的值一定小于0.
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【答案】
证明：
2
2
2
2
3
5
4
a b
a
b
ab
＝
2
2
2
2
[(
1)
(
2
)
4]
4
a b
ab
a
b
ab
＝
2
2
(
1)
4
2
ab
a
b
∵
0
)1
2
(
2
ab
,
0
2
b
a
∴
2
(
1)
0
2
ab
,
2
0
a
b
∴ 原式一定小于0.
类型四、因式分解
6、分解因式：（1）
2
2
2
2
2
2
x
x
（2）
2
2
2
4
4
20
x
x
x
x
（3）
2
2
4
4
6
3
4
a
ab
b
a
b
【答案与解析】
解：（1）原式
2
2
2
2
2 1
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
（2）原式＝
2
2
2
2
2
4
(
4 )
20
4
5
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
2
5
1
2
x
x
x
（3）原式＝
2
2
3 2
4
2
4
2
1
a
b
a
b
a
b
a
b
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
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