专题05 统计与概率
1.分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2 层，第1 层和第2 层包含的个体数分别为M 和N ，抽取的样本量
分别为m 和n .我们用
1
2
,
,
,
M
X
X
X
表示第1 层各个个体的变量值，用
1
2
,
,
,
m
x x
x
表示第1 层样本的各个个
体的变量值；用
1
2
,
,
,
N
Y Y
Y
表示第2 层各个个体的变量值，用
1
2
,
,
,
n
y y
y
表示第2 层样本的各个个体的变
量值，则第1 层的总体平均数和样本平均数分别为
1
2
1
2
1
1
,
1
1
M
m
m
M
i
i
i
i
x
x
x
X
X
X
X
X
x
x
M
M
m
m
.
第2 层的总体平均数和样本平均数分别为
1
2
1
2
1
1
,
1
1
N
n
N
n
i
i
i
i
Y
Y
Y
y
y
y
Y
Y
y
y
N
N
n
n
.
总体平均数和样本平均数分别为
1
1
1
1
,
M
N
m
n
i
i
i
i
i
i
i
i
X
Y
x
y
W
M
N
m
n
.
由于用第1 层的样本平均数x 可以估计第1 层的总体平均数X ，用第2 层的样本平均数y 可以估计第2
层的总体平均数Y ，因此可以用
M
x
N
y
M
N
mx
ny
m
n
W
x
y
x
y
M
N
M
N
M
N
m
n
m
n
m
n
.
2.方差与标准差
一组数据
1x ，
2x ，
3x ，，
nx 用x 表示这组数据的平均数，
则这组数据的方差：
2
2
1
1
(
)
n
i
i
s
x
x
n
；
标准差：
2
1
1
(
)
n
i
i
s
x
x
n
3.相互独立事件的概念
对任意两个事件A 与B ，如果
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
成立，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立
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则：
B
P
A
P
B
A
P
，
B
P
A
P
B
A
P
，
B
P
A
P
B
A
P
4.概率公式
（1）事件A 与B 相互独立等价于
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
（2）事件A 与B 互斥，则
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
（3）概率的一般加法公式
设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
（4）如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么
( )
1
( )
P B
P A
，
( )
1
( )
P A
P B
；
题型一分层抽样的样本平均数与总体平均数
例题1．（2023 下·全国·高一校联考开学考试）某单位有男职工30 人，女职工70 人，其中男职工平均年龄
为40 岁，方差为4，女职工平均年龄为35 岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为
.
例题2．（2023·吉林·统考一模）吉林市一中学有男生900 人，女生600 人．在“书香校园”活动中，为了解
全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100 名学生，其中男生、女生每天读书时间的
平均值分别为60 分钟和80 分钟，方差分别为10 和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值
为
分钟，方差为
．
例题3．（2023 下·浙江湖州·高一统考期末）已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100 名学生的身高
情况为：男生样本平均数为172cm，方差为120，女生样本平均数165cm，方差为120，则总体样本方差
是
.
练习题
1．（2023 上·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练习）某校高三（1）班（45 人）和高三（2）
班（30 人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10 名同学，相关统计情况如下：高三（1）
班答对题目的平均数为1 、方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5、方差为0.35，则这10 人答
对题目的方差为
；
2．（2023 上·高一单元测试）针对某市A，B 两个小区进行居民每月用电量调查，拟采用分层随机抽样的方
法，抽取A 小区1 号楼12 户每月用电量数据，其平均数和方差分别为198.5 和10.22；2 号楼15 户每月用
电量数据，其平均数和方差分别为210.0 和20.22；3 号楼13 户每月用电量数据，其平均数和方差分别为168.0
和28.56.抽取B 小区1 号楼10 户每月用电量数据，其平均数和方差分别为170.6 和27.15；2 号楼20 户每
月用电量数据，其平均数和方差分别为200.2 和14.55；3 号楼20 户每月用电量数据，其平均数和方差分别
为180.5 和19.56，可以推测A，B 两个小区每月用电量更稳定的是
小区．
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3．（2023 下·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）甲、乙两位射击爱好者，各射击10 次，甲的环数从小到大
排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10.若甲的
方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20 个数据的方差为
.
4．（2022 上·安徽·高二校联考阶段练习）为了调查公司员工的健康状况，某公司男女员工比例是2:3 ，用分
层随机抽样的方法抽取样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为70kg ，标准差为5kg ；女员工的平
均体重为50kg ，标准差为6kg .则由此估计该公司员工的平均体重是
kg ，方差是
2
kg .
题型二样本数字特征
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知一组数据
1
2
3
,
,
x x
x 的平均数是5，方差是4，则由
1
2
3
2
1,2
1,2
1
x
x
x
和11 这四个数据组成的新数据组的方差是
．
例题2．（2024 上·辽宁大连·高一统考期末）已知数据
1
2
8
,
, ,
x x
x
的平均数为5，
8
2
1
5
18
i
i
x
；数据
1
2
12
,
,
,
y y
y
的平均数为10，
12
2
1
10
36
i
i
y
．则数据
1
2
8
1
2
12
,
,
,
,
,
,
,
x x
x y y
y
的平均数为
，方差
为
．
例题3．（2023 上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知实数1,5, ,x y 的平均数为4，则这四个数的中位
数的取值范围是
．
例题4．（2022 下·北京朝阳·高二统考期末）在一组数据0，3，5，7，10 中加入一个整数
．．a 得到一组新数
据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a 的一个取值为
．
练习题
1．（2024·全国·高三专题练习）某学校高一年级在校人数为600 人，其中男生320 人，女生280 人，为了
解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50 名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2cm ，
抽取50 名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0cm，则该校高一学生的平均身高的估计值为
．
2．（2023 上·全国·高二期末）如下的一列数据中，1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,
,200,200,
,200
，对于1
200
n
，
正整数n 出现了n 次，则这一列数据的中位数是
.
3．（2023 上·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知2,4,6,8, x 这5 个数的标准差为2，若
在2,0,5,2
1,
2
x
x
中随机取出3 个不同的数，则5 为这3 个数的中位数的概率是
．
4．（2023 上·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）互不相等的4 个正整数从小到大排序为
1a ，
2a ，
3
a ，
4a 若它们的和为12，且这4 个数据的极差是中位数的2 倍，则这4 个数据的上四分位数为
.
5．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）若一组样本数据
1
2
,
n
x x
x
､､
的平均数为10，另一组样本数据
1
2
2
4,2
4,
,2
4
n
x
x
x
的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是
，方差
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是
.
6．（2022·高一课时练习）在分层抽样时，如果将总体分为k 层，第j 层抽取的样本量为
jn ，第j 层的样本
平均数为
jx ，样本方差为
2
js ，
1,2,
,
j
k
，．记
1
k
j
j
n
n
，则所有数据的样本方差为
2s
．
题型三独立事件
互斥事件
对立事件判断
例题1．（2023 下·河南开封·高一统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A “2 枚硬币都是正面
朝上”，事件B “2 枚硬币朝上的面相同”，则下列A 与B 的关系中正确的个数为（
）
①A
B
②互斥
③互为对立
④相互独立
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例题2．（2023 下·广东肇庆·高一统考期末）给定一个正整数(
3)
n n
，从集合
{1,2,3,
, }
n
中随机抽取
一个数，记事件A “这个数为偶数”，事件B “这个数为3 的倍数”.下列说法正确的是（
）
A．若
6
n
k
，
*
k N ，则至少存在一个n ，使事件A 和事件B 不独立
B．若
6
n
k
，
*
k N ，则存在无穷多个n ，使事件A 和事件B 独立
C．若n 为奇数，则至少存在一个n ，使事件A 和事件B 独立
D．若n 为偶数，则对任意的n ，事件A 和事件B 独立
例题3．（多选）（2023·吉林·统考一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2 个，从中不放回
的依次取出2 个球，事件A “取出的两球同色”，事件B “第一次取出的是白球”，事件C “第二次取出的
是白球”，事件D = “取出的两球不同色”，则（
）
A．
1
2
P B
B．B 与C 互斥
C．A 与B 相互独立
D．A 与D 互为对立
例题4．（2023 上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期中）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相
互独立.发送0 时，收到1 的概率为1
2 ，收到0 的概率为1
2 ；发送1 时，收到0 的概率为1
3 ，收到1 的概率
为2
3 .
(1)重复发送信号1 三次，计算至少收到两次1 的概率；
(2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两
个0，是否互相独立，并给出证明.
练习题
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1．（2022 上·北京丰台·高二统考期末）对于随机事件A，B，有下列说法：
①如果A ，B 相互独立，那么
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
；
②如果A ，B 对立，那么
( )
1
( )
P B
P A
-
；
③如果A ，B 互斥，那么
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B .
其中正确的个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．（2023·云南·高三校联考阶段练习）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6
六个数字，投掷这枚骰子两次，A 表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B 表示事件“第二次向上一面的数
字是2”，C 表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D 表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（
）
A．C 与D 相互独立
B．A 与D 相互独立
C．B 与D 相互独立
D．A 与C 相互独立
3．（2022 下·山西·高一校联考阶段练习）对于一个古典概型的样本空间Ω 和事件A，B，C，D，其中(Ω)
60
n
，
( )
30
n A
，( )
10
n B
，( )
20
n C
，(
)
30
n D
，(
)
40
n A
B
，(
)
10
n A
C
，(
)
60
n A
D
，则（
）
A．A 与B 不互斥
B．A 与D 互斥但不对立
C．C 与D 互斥
D．A 与C 相互独立
4．（多选）（2023 下·福建福州·高一福建省福州延安中学校考期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，
记下骰子朝上一面的点数，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“
7
x
y
”，
B=“xy 为奇数”，C=“
3
x
”，则下列结论错误的是（
）
A．B 与C 相互独立
B．A 与B 对立
C．A 与C 相互独立
D．A 与B 互斥但不对立
5．（2023 下·云南楚雄·高一统考期末）袋中装有大小完全相同的6 个红球，3 个蓝球，其中有2 个红球和1
个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
(1)每次有放回地任取1 个小球，连续取两次，求取出的2 个球恰有1 个红球且两球的数字和为3 的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2 个小球，每次取1 个，记事件
{
A 第一次取到的是红球}，事件
{
B 第二次取
到了标记数字1 的球}，求
,
P A
P B ，并判断事件A 与事件B 是否相互独立.
题型四概率综合应用
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1．（2023 上·浙江·高二温州中学校联考期中）有5 张未刮码的卡片，其中n 张是“中奖”卡，其它的是“未中
奖”卡，现从这5 张卡片随机抽取2 张.你有资金100 元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.
若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽
取的2 张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n 至少为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（多选）（2023 下·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）已知事件
, ,
A B C 满足
0.6
P A
，
0.2
P B
，则下列结论正确的是（
）
A．如果
1
P A
B
C
，那么
0.2
P C
B．如果B
A
，那么
0.6
P A
B
，
0.25
P B A
C．如果A 与B 互斥，那么
0.8
P A
B
D．如果A 与B 相互独立，那么
0.32
P A B
3．（2023 下·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）现有一款闯关游戏，共有4 关，规则如下：在
第n 关要抛掷骰子n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n
n
，
则算过第n 关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2 关并过关的概率为
，若直接挑战第4 关，
则过关的概率为
.
4．（2023 下·福建厦门·高一统考期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.
该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个
游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：
游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球3 个，白球2 个
（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为m 获胜
(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
(2)一名同学先玩了游戏一，试问m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
练习题
1．（多选）（2023 上·辽宁大连·高一期末）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立，发送0 时，
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收到1 的概率为
0
1,
0.5
（
），收到0 的概率为1
；发送1 时，收到0 的概率为
0
1,
0.5
（
），
收到1 的概率为1
.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验收到信号的一端将收到的信号发回到输入
端.下列说法正确的是（
）
A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件.
B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不是相互独立的
C．若
，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25
D．若
0.8
0.6
，
，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68%
2．（2023 下·重庆·高二统考期末）排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1 分，得分
的队有发球权，最后先得25 分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2 分才
能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为2
3 ，乙队发球
时甲队获胜的概率为2
5 ，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24 平，且甲队
拥有发球权，则两队共再发2 次球就结束比赛的概率为
；若此时甲、乙两队双方比分为22：22
平，且甲队拥有发球权，则甲队得25 分且取得该局比赛胜利的概率为
.
3．（2023 上·湖南·高二校联考阶段练习）甲、乙两位同学参加某种科学知识比赛进入了决赛阶段，决赛规
则如下：最多进行两轮比赛，每人每轮比赛在规定时间内答两道选择题，答对一道得3 分，不作答得1 分，
答错得1
分．第一轮结束总得分高的胜出，得分相同则进行第二轮比赛．对于一道选择题，假设甲选择作
答且答对的概率为a ，选择作答且答错的概率为b ，选择不作答的概率为c ，乙选择作答且答对的概率为x ，
选择作答且答错的概率为y ，选择不作答的概率为z ．又假设甲答不同的题、乙答不同的题及甲、乙之间的
答题均互不影响．
(1)若
2
3
a
，
1
6
b
，
1
6
c
，
4
5
x
，
5
36
y
，
11
180
z
，求：
①第一轮比赛结束甲得分为2 分的概率；
②第一轮比赛结束甲、乙的得分相等且概率相等的概率；
(2)若
0
c
z
，求第一轮结束时乙不需要进行第二轮比赛的概率．
4．（2022 下·福建泉州·高一校考期中）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从
,
A B
两地区一年的数据中随机抽取了相同20 天的观测数据，得到
,
A B 两地区的空气质量指数
AQI 如下图所示：
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根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
空气质量指数AQI
0,100
100,200
200,300
空气质量状况
优良
轻中度污染
重度污染
(1)试估计A 地区当年（365 天）的空气质量状况“优良”的天数；
(2)假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“ A 地区空气质量等级优于B 地区空气质量等级”．根据所
给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率；
(3)若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择
,
A B 两地区哪个地区．（只需写出结论）
1．（2023 下·广东佛山·高二校联考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面
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朝上的点数，A 表示事件“第一次正面朝上的点数为1”，B 表示事件“第二次正面朝上的点数为3”，C 表示
事件“两次正面朝上的点数之和为8”，D 表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，则下列说法错误的是（
）
A．A 与D 相互独立
B．A 与C 互斥
C．
4
5
P B C
D．
1
36
P A D
2．（2022 下·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考阶段练习）甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个
黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球
放入乙罐，分别以
1
2
,
A A 和
3
A 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，
以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（
）
①事件
1A 与
2
A 相互独立；
②
1A ，
2
A ，
3
A 是两两互斥的事件；
③
2
4
(
|
)
11
P B A
；
④
9
22
P B
；
⑤
1
4
(
|
)
9
P A
B
A．5
B．4
C．3
D．2
二、多选题
3．（2023 下·山东淄博·高二统考期末）事件A，B 的概率分别为：
1
2
P A
，
1
3
P B
，则（
）
A．若A，B 为互斥事件，
5
6
P A
B
B．
5
6
P A
B
C．若A，B 相互独立，
1
3
P AB
D．若
1
3
P B A
，则A，B 相互独立
4．（2023 下·河北·高二校联考阶段练习）设M 、N 为随机事件，且
P M 、
0,1
P N
，则下列说法正
确的是（
）
A．若
P N M
P N
，则M 、N 可能不相互独立
B．若
P N M
P N
，则
P M N
P M
C．若
P N M
N
P N M
N
，则
P N
P M N
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D．若
P M N
P N M
a
P N M
P M N
，
P N M
P M N
b
P M N
P N M
，则a
b
5．（2020 上·湖北黄石·高三黄石二中校考阶段练习）甲罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球；乙罐中有5
个红球，3 个白球和2 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
1A ，
2
A 和
3
A 表示由甲罐取出的
球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列
的结论：其中正确结论的为（
）
A．
1
2
P M
B．
1
6
11
P M A
C．事件M 与事件
1A 不相互独立
D．
1A ，
2
A ，
3
A 是两两互斥的事件
三、解答题
6．（2021 上·安徽六安·高二安徽省舒城中学校考阶段练习）随机抽取100 名学生，测得他们的身高（单位：
cm ），按照区间
160 165
,
，
165 170
,
，
170 175
,
，
175,180 ，
180,185 分组，得到样本身高的频率分布
直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中x 的值及身高在170cm及以上的学生人数；
（2）估计该校100 名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样
本方差分别为：m ，x ，
2
1S ；n ，y ，
2
2
S ．记总的样本平均数为w ，样本方差为
2
S ，证明：
①
m
n
w
x
y
m
n
m
n
；
②
2
2
2
2
2
1
2
1
S
m S
x
w
n S
y
w
m
n
．
7．（2020·高一课时练习）在分层抽样时，如果总体分为k 层，而且第j 层抽取的样本量为
jn ，第j 层的样
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本均值为
jx ，样本方差为
2,
1,2,
,
js
j
k
.记
1
k
j
j
n
n
.求证：所有数据的样本均值和方差分别
为:
2
2
2
1
1
1
1
,
k
k
j
j
j
j
j
j
j
j
x
n x
s
n s
n
x
x
n
n
.
8．（2022 下·山东淄博·高一统考期末）某校有高一学生1000 人，其中男女生比例为3: 2 ，为获得该校高一
学生的身高（单位：cm ）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50 的样本，其中男女生样本量均为25，
计算得到男生样本的均值为172，标准差为3，女生样本的均值为162，标准差为4．
(1)计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；
(2)计算总样本方差．
9．（2023·全国·高二专题练习）某大学有A，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天
午餐和晚餐都在学校就餐，近100 天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
,
A A
,
A B
,
B A
,
B B
甲
30 天
20 天
40 天
10 天
乙
20 天
25 天
15 天
40 天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；
(2)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，
0
P M
，一般来说在推
出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证
明：
P M N
P M N
.
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