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实际问题与二次函数
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1、熟悉数学建模的基本过程．
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3、掌握用二次函数建立最优化问题的模型．
1．实际应用
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二
次函数的最_________或最_______。
1、二次函数的应用
【例1】某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星
期少卖出10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能
使利润最大？
练1. （2014 春•重庆市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百
分率为x，该药品原价为18 元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）
2
A、
B、
C、
D、
练2. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 米，跨度为40 米，现把它的示意图放在如图所
示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_________ .
【例2】计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫
做磁道.如下图，现有一张半径为45mm 的磁盘．
（1）磁盘最内磁道的半径为r mm，其上每0.015mm 的弧长为1 个存储单元，这条磁道由多少
个存储单元？
（2）磁盘上个磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不少磁道，这张磁盘最多有
多少条磁道？
（3）如果个磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r 是多少时，磁盘的存储
量最大？
练3. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正
方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是___________．
3
练4. （2014 春•江宁区校级月考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长
度为xcm 的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积Scm2随x 的变化而变化。
（1）请直写出S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（2）当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？
【例3】图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m 时，水面
宽度增加多少？
练5. （2014 秋•威海市期末）下图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶
（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式
是（ ）
A．
B．
C、
D 、
练6. 如图，铅球的出手点C 距地面1 米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4 秒钟达到最
大高度3 米，则铅球运行路线的解析式为（ ）
4
A、
B、
C、
D、
.
【例4】如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的A 处飞出（A 在y 轴上），
运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4 米高，球落地后
又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少
到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取
）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取
）
练7．（2015•泰安市一模）如图，正方形ABCD 的边长为1，E、F 分别是边BC 和CD 上的动
点（不与正方形的顶点重合），不管E、F 怎样动，始终保持AE
EF
⊥
．设BE=x，DF=y，则
y 是x 的函数，函数关系式是（ ）
A、
B、
C、
D、
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练8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建
立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷
出的最大高度是___________.
【例5】如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一
段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．
(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB 的长；
(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说
明围法；如果不能，请说明理由．
练9．有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的
垂直于墙的一边长为xm，面积是Sm2，则S 与x 的关系式是（ ）
A、
B、
C、
D、
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练10．某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)
与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适？最大销售
利润为多少？
【例6】．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，
下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系
(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系)．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；
(3)求第8 个月公司所获利润为多少万元?
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练11．某工厂现有80 台机器，每台机器平均每天生产384 件产品．现准备增加一批同类机器以
提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器
平均每天将减少生产4 件产品．
(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
练12．（2015 秋•唐山市期末）随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x 成正
比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与
投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业
户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？
1．在一幅长60cm，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如
图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y 关于x 的函数
是（ ）
A、y=（60+2x）（40+2x） B、y=（60+x）（40+x）
C、y=（60+2x）（40+x） D、y=（60+x）（40+2x）
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位
置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
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A、
B、
C、
D、
3．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他
的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9 ），则这个二次函数的表达式为
_____________，小孩将球抛出约___________米.
4．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC，BC 为斜边在的同侧作两个等要直
角三角形△ACD 和△BCE，那么DE 长的最小值是______________。
5. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为12 米，现以O 为原点米，
OM 所在的直线为x 轴建立直角坐标系。
（1）直接写出点M 的坐标及抛物线顶点P 的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD-DC-CB,使C,D 点在抛物线上，A,B 点在地面OM 上，则这个
“支撑架”总长的最大值是多少？
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1.某文具店出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售（6-x）个，则当x=___________时，一天
出售这种文具盒的总利润y 最大。
2. 某一型号的飞机着陆后滑行的距离y（米）与滑行时间x（秒）之间的函数关系式是
，该型号飞机着陆后需滑行___________米才能停下来.
3．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到
警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位
后几小时淹到桥拱顶．
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4．如图，一元二次方程
的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线
与x 轴的
两个交点B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC 相交于点Q，求点P 和点Q 的坐标；
（3）在x 轴上有一动点M，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
5. 已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x 轴交于A，B 两点，
点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设点D 是点C 关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC 交于点P，试判断直线AD，
BC 是否垂直，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，若点M，N 分别是射线PC，PD 上的点，问：是否存在这样的点M，
N，使得以点P，M，N 为顶点的三角形与△ACP 全等?若存在请求出点M，N 的坐标；若不
存在，请说明理由．
6．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE，
ED，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED=16 米，AE=8 米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11
米，以ED 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系。
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（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40 个小时内，水面与河底ED 的距离h（米）随时间（时）的变化满
足函数关系：
，且当顶点C 到水面的距离不大于5 米时，需禁
止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？
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课程顾问签字： 教学主管签字：
