文档文本内容
【第4讲：二次函数与一元二次方程，不等式】
总览 题型梳理
【知识点清单】
1．二次函数的最值
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量
的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可
能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线
的焦点、准线和曲线的平移．
b
二次函数的最值出现在顶点处．对于 f（x）＝ax2+bx+c，最值为 f(− )，根据 a 的正负判断最值类型．
2a
b
﹣计算顶点 x 坐标 x=− ．
2a
b
﹣计算顶点处的函数值 f(− )．
2a
﹣根据 a 的正负判断最值类型（最大值或最小值）．
2．二次函数的图象及其对称性
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可
能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线
的焦点、准线和曲线的平移．
①开口、对称轴、最值与 x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴 x
b b
=− ；最值为：f（− ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与
2a 2a
x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
b
﹣确定对称轴 x=− ．
2a
b b
﹣确定顶点坐标 (− ，f(− ))．
2a 2a
﹣根据 a 的正负确定开口方向．
﹣绘制抛物线，标注对称轴与顶点．
3．由二次函数的性质求解析式或参数
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量
的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可
能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线
的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与 x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴 x
b b
=− ；最值为：f（− ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与
2a 2a
x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
b c
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x =− ，x •x = ；
1 2 1 2 a 1 2 a
p p
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y=− ，含义为抛物
2 2
线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；﹣根据题目提供的信息设定二次函数的一般形式 f（x）＝ax2+bx+c．
﹣代入已知条件（顶点、对称轴、开口方向等），建立方程组．
﹣解方程组，求出 a，b，c 参数．
4．解一元二次不等式
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
4．由一元二次不等式的解求参数
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
5．一元二次不等式恒成立问题
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
﹣将不等式转化为 ax2+bx+c≥0 或 ax2+bx+c≤0 形式．
﹣分析抛物线的开口方向和顶点位置．
﹣结合不等式恒成立的条件，确定参数范围．
6．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【知识点的认识】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当 ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它
的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即x2﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b c
根与系数有如下关系：x +x =− ，x •x = ．
1 2 a 1 2 a
7．对勾函数
【知识点的认识】
b
1、我们把形如f（x）＝ax+ ，（ab＞0）的函数称为“对勾函数”，其图象如下图所示：
x2、对勾函数的性质：
b √b √b √b
①当a＞0，b＞0时，f（x）＝ax+ ，在（﹣∞，−❑ ]和[❑ ，+∞）单调递增，在（−❑ ，0）和
x a a a
√b √b √b
（0，❑ ）单调递减，在x=−❑ 处取得极大值，在x=❑ 处取得极小值．
a a a
b √b √b √b
②当a＜0，b＜0时，f（x）＝ax+ ，在（﹣∞，−❑ ]和[❑ ，+∞）单调递减，在（−❑ ，0）和
x a a a
√b √b √b
（0，❑ ）单调递增，在x=−❑ 处取得极小值，在x=❑ 处取得极大值．
a a a
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/3 11:06:46；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
题型分类 知识讲解与常考题型
一．二次函数的最值（共4小题）
1．已知实数a，b，函数y＝2aex﹣2+b的图象经过点（2，1），则a2+b2的最小值为（ ）
1 ❑√5 1 1
A． B． C． D．
2 5 4 5
b
（多选）2．若x
R，函数f(x)=ax2−2x+
的值域是[0，+∞），且m≠n，则下列结论中正确的是（
4
） ∈
A．a＞0
B．ab＝4
1
C．若f（m）＝f（n），则m+n=
a
1 1
D． ≤
a2+b2 8
3．已知f（x）＝ax2+2x﹣a（a＞0），函数y＝f（x），x R有最小值m（a），则m（a）的最大值为
．
∈
4．已知函数f（x）＝x2﹣mx﹣3，m R．
（1）当m＝2时，求不等式f（x）∈＞0的解集；
（2）已知函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣4，求m．
二．二次函数的图象及其对称性（共3小题）
5．二次函数y＝x2+（m﹣3）x+2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x ，x ，且0＜x ＜2＜x ，如
1 2 1 2
图所示，则m的取值范围是（ ）1 1
A．m＜ 或m＞5 B．0＜m＜
2 2
1 1
C．m＜− 或m＞5 D．− ＜m＜0
2 2
（多选）6．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），其大致图象如图所示，下列结论正确的是（
）
A．abc＞0
B．4a+2b+c＜0
C．若方程a（x+1）（x﹣3）＝1有两个根x ，x ，且x ＜x ；则﹣1＜x ＜x ＜3
1 2 1 2 1 2
D．若方程|ax2+bx+c|＝m有四个根，则这四个根的和为4
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则不等式bx2﹣cx≤6a的解集为 ．
三．由二次函数的性质求解析式或参数（共3小题）
8．已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝x2+x+2，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x2﹣x+2 B．f（x）＝x2+x﹣2C．f（x）＝x2﹣x﹣2 D．f（x）＝x2+x+2
9．已知二次函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝2x2﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x）﹣2（m﹣1）x，x [﹣1，2]，求g（x）的最小值．
10．在①不等式 f（x）≤0 解集为{x|1≤x∈≤b+1}，② x R，f（2+x）＝f（2﹣x）且 f（0）＝3，
③ x R，2﹣2x≤f（x）≤2x2﹣6x+4，三个条件中任选一 ∀ 个 ∈ ，补充在下面问题中并作答．
问题∀：∈已知函数f（x）＝x2﹣2bx+c，且_____．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[m﹣1，n﹣1]，求m+n的值．
四．解一元二次不等式（共3小题）
11．已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}，则cx2+bx+1＞0的解集为（ ）
1 1 1 1
A．(− ，− ) B．(−∞，− )∪(− ，+∞)
3 4 3 4
1 1 1 1
C．( ， ) D．(−∞， )∪( ，+∞)
4 3 4 3
12．不等式（x﹣2）（1﹣2x）≥0的解集为（ ）
1 1
A．{x|x＞ } B．{x| ≤x≤2}
2 2
1
C．{x|x≤0.5或x≥2} D．{x|x≤ }
2
13．已知集合A＝{x|2x+3＜5}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，若B⫋A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
五．由一元二次不等式的解求参数（共5小题）
14．关于x的不等式（a﹣1）x2﹣ax+a+1≥0的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
2❑√3
A．a＞1 B．a≥
3
2❑√3 2❑√3 2❑√3 2❑√3
C．− ≤a≤ D．a≤− 或a≥
3 3 3 3
1
15．若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是( ，−2)，则a的取值范围是（ ）
a
1 1
A．(−∞，− ) B．(− ，+∞)
2 2
1 1
C．(− ，0) D．(− ，0)∪(0，+∞)
2 216．若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2]
c2−b2+1
17．若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则 （ ）
2a
❑√3
A．有最小值 B．有最小值❑√3
2
C．有最小值3 D．无最小值
4
18．关于x的不等式mx2+10x+8＜0的解集为(a， )，其中a＜0，则m+a的值为 ．
a
六．一元二次不等式恒成立问题（共7小题）
19．若关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．{m|﹣4≤m≤0} B．{m|﹣4＜m≤0} C．{m|0≤m＜4} D．{m|﹣4＜m＜0}
20．若不等式（ax﹣2）（x﹣b）≥0对任意的x R恒成立，则a+2b的最小值为（ ）
A．3 B．2❑√2 ∈C．4 D．3❑√2
21．已知不等式（x﹣m）（x2﹣nx﹣2）≥0对任意x＞0恒成立，则m2+n2的最小值为（ ）
A．4❑√2−4 B．4 C．4❑√2 D．4❑√2+2
π
22．若关于x的不等式（m﹣1）sin2x﹣msinx+m﹣1＞0在[0， ]上恒成立，则m的取值范围是（ ）
2
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（2，4] D．[3，4]
23．若 a，b R，对 x [﹣2，2]，均有（2a+b）x2﹣bx﹣a﹣1≤0恒成立，则 2a+b的取值范围为
．
∈ ∀ ∈
24．若关于 x 的不等式 x2﹣4x+1﹣ax＞0 在区间[1，4]内有解，则实数 a 的取值范围是
．
25．已知当x [0，+∞）时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立，则实数m的取值范围为 ．
七．一元二次∈方程的根的分布与系数的关系（共7小题）
26．若方程x2﹣2x﹣lg（2a2﹣a）＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．a＞1或a＜− B．− ＜a＜1
2 2
1
C．a＞− D．a＜1
2
27．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的两个实数根，且x （0，1），x （1，2），则
1 2 1 2
实数b的取值范围为（ ）
∈ ∈1 3
A．（0，+∞） B．(0， ) C．（0，1） D．(0， )
2 2
2a
28．已知关于 x 的不等式 x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x ，x ），则 x +x + 的最大值是
1 2 1 2 x x
1 2
（ ）
4❑√6 4❑√6 4❑√3 4❑√3
A． B．− C． D．−
3 3 3 3
29．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x ，x ，且0＜x ＜x ＜4，则实数a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5）
C．（4，5） D．（4，8）
30．若二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有两个不相等的实根，则a的取值范围是（ ）
13
A．(10+4❑√3，+∞) B．( ，6)
5
13
C．( ，10−4❑√3) D．(2，10+4❑√3)
5
31．关于x的方程x2+（a﹣2）x+5﹣a＝0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数a的取值范围是
（ ）
A．{a|a＜﹣5或a＞﹣4} B．{a|﹣5＜a＜﹣4}
C．{a|a＜﹣5} D．{a|a＞﹣4}
32．记[x]表示不大于x的最大整数，例如[ ]＝3，[﹣e]＝﹣3，则方程x2+2[x]﹣2＝0所有解的和为
．
π
课后针对训练
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·模拟预测）若“ ”是“ ”的一个充分不必要条件，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川攀枝花·一模）命题“ ”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·陕西渭南·二模）若关于 的不等式 有且只有一个整数解，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知 “ ”是 ：“ ”成立的必
要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于 的不等式 的解集为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若关于 的不等式 的解集是 或 ，则
B．若集合 有且仅有两个子集，则 的最大值为
C．若 ，则 的最大值为D．若 ，且关于x的不等式 的解集中有且仅有三个正整数，则实数 的取值范围是
三、填空题
9．（2024·上海·高考真题）已知 则不等式 的解集为 ．
10．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ．
11．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式 对任意 都成立，则实数 的取值
范围是 ．
12．（2025·广西南宁·模拟预测）设 ，我们常用 来表示不超过 的最大整数．如：
．若 ，则 ，若 是方程 的实数解，
则 ．
13．（2025·山东·二模）已知不等式 对任意的 恒成立，则实数a的最小值为
．
14．（2025·辽宁·二模）命题p:“ ， ”是假命题，则m的取值范围是 ．
15．（2025·河北石家庄·一模）已知方程 有且仅有两个不相等的正实数根，则实
数 的取值范围是 .
四、解答题
16．（2010·河北秦皇岛·一模）已知 .
(1)解关于 的不等式
(2)若不等式 的解集为 ，求实数 的值.
