文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题04 简单的三角恒等变换
目录
题型一： 三角函数式的化简...........................................................................................................2
题型二： 二倍角公式在求值中的应用——给值求值..................................................................4
题型三： 二倍角公式在求值中的应用——给角求值..................................................................6
题型四： 三角恒等变换的应用.......................................................................................................8
知识点一、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin
α cos
α .
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝.
知识点二、常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
题型一：三角函数式的化简
【要点讲解】(1)从幂、名称及角的差异三个方面对所给的三角函数式进行适当的变形,结合
所给的“形”的特征求解.
知识点总结
例题精讲
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)常用技巧:弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.
【例1】（2023•湖南模拟）已知
是直线
的倾斜角，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可知
，
为锐角），
，
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•肥城市期中）已知
，则
的值是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，即
，
则
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•岳麓区校级月考）若
，则
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，
又
，
所以
，
所以
，
所以
．
故选：
．
【例2】（2023 春•淮安区月考）计算求值：
（1）
；
（2）
．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
原
式
；
（2）原式
．
【变式训练1】（2023 春•沈河区校级月考）化简求值：
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）
；
（2）
．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
题型二：二倍角公式在求值中的应用——给值求值
【要点讲解】(1)“变角”,使相关角相同或具有某种关系,结合相应的公式求解,一般地已知条
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
件中含
的三角函数值;
(2)求2α 的三角函数值时,要注意
型诱导公式的应用.
【例3】（2023
春• 镇巴县期末）已知锐角
满足
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
且
为锐角，
所以
，
解得
，
则
．
故选：
．
【变式训练1】（2023•安阳三模）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，
又
，解得
，
所
以
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：
．
【变式训练2】（2023 春• 宁波期中）已知
为第三象限角，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
为第三象限角，
，则
，
故
，
所以
．
故选：
．
【变式训练3】（
2022•
沈
阳
模
拟
）
已
知
，
则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知
，整理得
，
所以
，
，
故
．
故选：
．
（2023 春•河南月考）已知
，则
的值为
A．
B．
C．3
D．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：因为
，
所以
，
则
．
故选：
．
题型三：二倍角公式在求值中的应用——给角求值
【要点讲解】明确所给角与特殊角的关系,正用、逆用倍角公式及和差公式消去非特殊角.
切弦共存时,需将切化弦
【例4】（2023 春•阜宁县期中）已知
，化简
的结果
是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，
所以
．
故选：
．
【变式训练1】化简
的结果是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：原式
．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：
．
计算
的值是
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：
．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•永昌县校级期中）下列化简正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，
，故
不正确；
对于
，
，故
不正确；
对于
，
，故
正确；
对于
，根据同角平方关系可得，
，故
不正确．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•如东县期中）求
的值为
A．
B．
C．
D．
【
解
答
】
解
：
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：
．
题型四：三角恒等变换的应用
【要点讲解】形如
(其中f(x)表示正弦或余弦)型的化简
问题,主要是逆用二倍角的正、余弦公式及辅助角公式,将所给函数化为只含一个角的一种三
角函数形式.
【例5】（2022 秋• 佛山期末）从①
，②
，③
，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知
，且满足_____．
（1）判断
是第几象限角；
（2）求值：
．
【解答】解：（1）若选①
，
两边同时平方得
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
故
为第二象限角；
（2）由（1）得
，
所以
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
，
所以
；
（1）若选②
，
两边同时平方得
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
故
为第二象限角；
（2）由（1）得
，
所以
，
所以
或
，
所以
；
（1）若选③
，
则
，
因为
，
故
为第二象限角；
（2）
．
【变式训练1】（2022• 沈北新区校级开学）（1 ）在条件①
；②
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
；③
中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角
为锐角， 若选择
①
，
；若选择
②
，
；若选择
③
，
．求角
的大小；
（2 ）是否存在角
和
，当
，
，
时，等式
同时成立？若存在，则求出
和
的值；若不存在，请说明
理由．
【解答】解：（1）若选择①，
由于
，可得
，可得
，即
，
因为
为锐角，
可得
；
若选择②，
由于
，
，可得
，解得
或
（舍去），
因为
为锐角，可得
．
若选择③，
因为
，可得
或
，
因为
为锐角，
，可得
，可得
；
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）存在
，
使等式同时成立．理由如下：
由条件得
，
两式平方相加得，
，
，即
，
，
，
或
，
将
代入②，得
，
又
，
，代入①可知，符合，
将
代入②得
，代入①可知，不符合，
综上可知
，
．
【变式训练2】（2022 秋•和平区校级月考）已知
．
（1）化简
；
（2）若
是第三象限角，且
，求
；
（3）若角
是
的内角，且
，求
的值．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：（1）
；
（2）若
是第三象限角，且
，即
，
即有
，
，
所以
；
（3）若角
是
的内角，且
，即
，
，
，
所以
．
【变式训练3】（
2021
秋
•
下
城
区
校
级
期
末
）
（
1
）
化
简
．
（2）已知关于
的方程
的两根为
和
，
．求实数
以及
的值．
【解答】解：（1）原式
；
（2）由已知得
，
，
所以
，结合
，
得
，故
，故
；
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，结合
，
得
．
【变式训练4】（
2022
秋
•
和
平
区
校
级
期
中
）
已
知
函
数
，
．
（1）化简
；
（2）若
，
，求
的值．
【解答】解：（1）
，
所以
，
，
，
，
，
所以
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
．
即
．
法二：
，
，
，
，
，
直接第一个根号内分子分母同乘
，第二个根号内分子分母同乘
，
．
（2）因为
，所以
，
所以
，
，
所以
．
即
．
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
一．选择题（共6 小题）
1．（2023•三明三模）角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边不在坐
标轴上，终边所在的直线与圆
相交于
，
两点，当
面积最
大时
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得，圆
的半径为
，圆心
，
故
面积
．
当
面积最大时，
，此时，
，点
到直线
的距离为
．
而直线
的方程为
，即
．
根据点到直线的距离公式可得
，求得
，
故
．
故选：
．
2．（2023•南充模拟）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经
过点
，则
课后练习
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得
，
所以
．
故选：
．
3．（2023•鼓楼区校级模拟）已知角
的顶点与原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，
它的终边过点
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得
，
．
故选：
．
4．（2023 春•番禺区期末）已知函数
，则
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递减
【解答】解：
，周期
，
的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
，
，
对于
，
在
，
上单调递增，故
错误，
对于
，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，故
错误，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于
，
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，故
错误；
对于
，
在
上单调递减，故
正确．
故选：
．
5．（2023•南关区校级模拟）若
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
所以
，
故选：
．
6．（2022 秋•宝鸡期末）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：原式
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．（2022•南京模拟）下列式子正确的是
A．
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．
C．
D．
【解答】解：对
；
对
；
对
：因为
，
所以
；
对
：因为
，
所以
．
故选：
．
8．（2021 春•十堰期末）
中，内角
，
的对边分别为
，
，则下列能成为“
”的充要条件的有
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在
中，
对于
，由正弦定理得，
，故
正确；
对于
，
，
在
上单调递减，
、
，
故
正确；
对
于
，
，
即
，故
正确；
对于
，
不能推出
，如
，
时满足
，但
，故
错误；
故选：
．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
三．填空题（共4 小题）
9．（2023•松江区二模）已知
，且
，则
．
【解答】解：因为
，且
，
所以
，可得
，
则
．
故答案为：
．
10．（2021 秋•武汉期末）已知
为第四象限的角，
，则
．
【解答】解：
，①
两边平方得：
，
，
为第四象限角，
，
，
．
，②
①
②可解得：
，
．
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：
．
11．（2023•沙坪坝区校级模拟）若
，则
．
【解答】解：
，
．
故答案为：
．
12．（2022 秋•沙坪坝区校级月考）已知锐角
满足
，则
．
【解答】解：
，
，
得
，两边平方得
，解得
．
故答案为：
．
四．解答题（共3 小题）
13．（2021 春•广安期末）已知
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：（1）
，
，
，
．
（2）
．
14
．
（
2021
春
•
河
南
期
末
）
已
知
是
第
二
象
限
角
，
且
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【解答】解：（1）因为
，
所以
，
所以
，即
．
因为
是第二象限角，
所以
，
，
所以
．
（2）
，
由（1）可知
，
所以
．
15．（2022 春•润州区校级期中）（1）已知
，
，求
，
，
；
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）已知
，求
．
【解答】解：（1）
，
，
，
，
，
，
．
（2）
，
23
