专题07
选填压轴三：同构法比较大小、
极值点讨论、导数求立体几何最值
一．同构法比较大小常用八个函数
我们由,
,ln
x
x e
x 三个基本初等函数进行加减乘除组合，可以得到常用八个函数。对任一函数先求导，求出
函数单调区间与极值点，再描点画图，注意图形的渐近线.
函数
x
y
xe
x
x
y
e
图像
函数
ex
y
x
1
x
y
e
x
图像
函数
ln
y
x
x
ln x
y
x
图像
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函数
ln
x
y
x
ln
1
y
x
x
图像
在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．)，则可
将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式恒
成立问题、证明不等式等．
①指对各一边，参数是关键；
②常用八个“母函数”：
x
f x
x e
，
x
f x
e
x
……；
③凑同构，凑常数、x 、参数；
④复合函数比大小，利用单调性求参数范围．
八大函数中一些函数的证明或记忆方法：
1．
1
x
y
e
x
，对应不等式
1
xe
x
x
R
证明：设
( )
1
x
f x
e
x
，则
( )
1
x
f
x
e
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
1
(0)
0
x
f x
e
x
f
，即
1
xe
x
，当且仅当
0
x
时取等号，得证.
图形表示：如图9，
x
y
e
在(0,1)处的切线方程为
1
y
x
.
图9
2．
ln
1
y
x
x
，对应不等式
ln
1
0
x
x
x
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证明：设
( )
ln
1
f x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
f
x
x
x
，当0
1
x
时，
( )
0
f
x
，当
1
x 时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
(1)
0
f x
f
，即ln
1
x
x
，当且仅当
1
x 时取等号，得证．
图形表示：如图10，
ln
y
x
在(1,0) 处的切线方程为
1
y
x
．
图10
二、极值点的讨论
函数
( )
f x 在某区间D 上有n 个极值点，，等价于导函数
( )
f
x
在区间D 上有n 个不同解，一般再用参变
分离，转换成图像交点问题即可.
函数
( )
f x 在某区间( , )
m n 上有２个极值点，，等价于导函数
( )
f
x
在区间( , )
m n 上有２个不同解，用不
了参变分离时，转换成二次函数与ｘ轴交点问题即可.
二次函数
2
( )
0(
0)
g x
ax
bx
c
a
根与系数的关系可以先画图，根据实际情况考虑下边五个量：
１、
0
a
开口向上；
0
a
开口向下；
２、有两个不等实数根，
0
；
有两个相等的实数根，
0
；
无实根，
0
．
３、对称轴
2
b
x
a
；
４、讨论区间端点
(
)
g m 与
( )
g n 的正负；
５、韦达定理
1
2
1
2
b
x
x
a
c
x
x
a
三、几何中求面积、体积的最值
一般地，分析题意，有双变量，找出几何体中对应的边角的关系，运用面积、体积公式，
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用代入法化简，将双变量变为单变量问题，涉及到三次方或四次方等高次函数，利用导数求得
函数的单调性与最大值，即可求解.
题型一同构法比较大小
1．设
ln1.01
a
，
1.01
b
，
0.01
e
c
，其中e 为自然对数的底数，则（
）
A．a
c
b
B．b
c
a
C．b
a
c
D． c
b
a
【答案】D
【分析】构造函数
( )
e
(
1)
x
f x
x
，利用导数讨论其单调性比较b，c；构造函数( )
ln
g x
x
x
，利用导数
讨论其单调性比较a，b 即得.
【详解】令
( )
e
(
1)
x
f x
x
，则
( )
e
1
x
f
x
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增，
因此
0.01
(0.01)
e
1.01
(0)
0
f
f
，即
0.01
e
1.01
，
令
( )
ln
g x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
g x
x
x
，当
1
x 时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递减，
因此
(1.01)
ln1.01 1.01
(1)
1
0
g
g
，即ln1.01
1.01
所以 c
b
a
.
故选：D
2．已知
1
2
2
a
，
1
3
3
b
，
1
ee
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c<a<b
D．a
c
b
【答案】A
【分析】先利用指数的运算与幂函数的性质判断得a
b
，再构造函数
ln x
f
x
x
，利用导数判断得b
c
，
从而得解.
【详解】因为
1
2
2
a
，
1
3
3
b
，所以
6
6
8
9
a
b
，则a
b
，
因为
ln 3
ln
3
b
，
1
ln e
ln
e
e
c
，
令
ln x
f
x
x
，则
2
1
ln x
f
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，得
0,e
x
；令
0
f
x
，得
e,
x
，
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所以
f x 在
0,e 上单调递增，在
e,上单调递减，
所以
e
3
f
f
，则ln
ln
b
c
，所以b
c
，则a
b
c
．
故选：A.
3．已知, ,
(1,
)
a b c
，且e
9 ln11,e
10 ln10,e
11 ln 9
a
b
c
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．b
c
a
D．c
b
a
【答案】D
【分析】构造函数
e ,
1,
x
f
x
x
x
，利用导数讨论其单调性，将问题转化为比较
,
,
f a
f b
f c ，再
转化为比较9ln11,10ln10,11ln 9 ，构造函数
20
ln
g x
x
x
，利用导数讨论其单调性，利用单调性即可得
答案.
【详解】由题知，e
e
e
9ln11,
10ln10,
11ln 9
a
b
c
a
b
c
，
记
e ,
1,
x
f
x
x
x
，则
2
1 ex
x
f
x
x
，
当
1,
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
故比较, ,
a b c 的大小关系，只需比较
,
,
f a
f b
f c 的大小关系，
即比较9ln11,10ln10,11ln 9 的大小关系，
记
20
ln ,
1
g x
x
x x
，则
20
ln
1
g
x
x
x
，
记
20
ln
1
h x
x
x
，则
2
1
20
0
h x
x
x
，
所以
h x 在
1,上单调递减，
又
2
20
3
3
8
ln8
1
ln8
ln e
0
8
2
2
h
，
所以，当
8,
x
时，
0
h x
，
g x 单调递减，
所以
11
10
9
g
g
g
，即9ln11
10ln10
11ln 9
，
所以
f a
f b
f c
，所以a
b
c
.
故选：D
【点睛】本题难点在于构造函数
e ,
1,
x
f
x
x
x
，将问题转化成比较
,
,
f a
f b
f c 的大小关系后，
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需要再次构造函数
20
ln ,
1
g x
x
x x
，对学生观察问题和分析问题的能力有很高的要求，属于难题.
4．已知
2e
ln 3
a
，
e 1
e
b
，
3e
2ln 2
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．< <
b c a
【答案】C
【分析】函数
1
e
,
1
ln
x
f
x
x
x
，则
3 ,
e ,
4
a
f
b
f
c
f
，确定函数
f x 的单调性，通过单调性可确
定大小.
【详解】把a，b，c 变形得
3 1
e
ln 3
a
，
e 1
e
ln e
b
，
4 1
e
ln 4
c
，
所以构造函数
1
e
,
1
ln
x
f
x
x
x
，则
3 ,
e ,
4
a
f
b
f
c
f
.
1
1
1
2
2
1
1
e
ln
e
ln
e
,
1
ln
ln
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
，
令
1
ln
g x
x
x
，则
2
1
1
0
g
x
x
x
在
1,上恒成立，
所以
g x 在区间
1,上单调递增，因为
1
1
e
lne
1
0
e
e
g
，
所以
( )
0
f
x
¢
>
在
e,上恒成立，
所以函数
1
e
ln
x
f
x
x
在
e,上单调递增，
所以
e
3
4
f
f
f
，即b
a
c
.
故选：C.
5．已知
5
ln 6
x
，
24
4
ln
25
5
y
，
1
6
z
，则（
）
A．y
x
z
B．y
z
x
C．z
x
y
D．x
y
z
【答案】A
【分析】设函数
ln
f
x
x
x
，利用函数单调性，比较x ，y 的大小，再结合ln
1
x
x
，比较x ，z 的大小.
【详解】设
ln
f
x
x
x
（
0
x
），则
ln
1
0
f
x
x
1
e
x
，所以函数
f x 在1 ,
e
上为增函数.
又1
4
5
e
5
6
所以
4
5
5
6
f
f
即24
4
5
ln
ln
25
5
6
x
y
；
设
ln
1
g x
x
x
，则
1
1
1
0
x
g
x
x
x
0
1
x
，故
g x 在
0,1 上递增，在
1,上递减.
所以
1
0
g x
g
，故ln
1
0
x
x
ln
1
x
x
（当
1
x 时取“”）
所以
5
5
1
ln
1
6
6
6
，即x
z
.
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故选：A
【点睛】构造函数
ln
f x
x
x
，利用单调性毕大小，和
ln
1
g x
x
x
的值域的应用是难点.
练习题：
1．设
2
e
2
2
e
,
,
ln e
2
ln 2
4
ln 4
a
b
c
，其中e是自然对数的底数，则（
）
A．c
b
a
B．b<c<a
C．a
c
b
D．c
a
b
【答案】A
【分析】变形得
2
2
2
e
2
4
e
2
,
e
ln 2
ln 4
4
ln 4
ln 2
b
c
，构造函数
ln
x
f
x
x
，利用导数讨论其单调性，利用单
调性即可得答案.
【详解】记
ln
x
f
x
x
，则
2
ln
1
ln
x
f
x
x
，
当
e
x时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f x 单调递增，
又
2
2
2
e
2
4
e
2
,
e
ln 2
ln 4
4
ln 4
ln 2
b
c
，且
2e
e
4
e
2
2
，
所以
2e
4
e
2
2
f
f
f
，即c
b
a
.
故选：A
2．设
10
1
11
e
,
,
ln
11
10
a
b
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
c
a
D．c
b
a
【答案】A
【分析】对于,a b 结合不等式的性质，易判断大小；对于,b c可构造函数
ln 1
1
x
f
x
x
x
，利用导数的
单调性、最值即可判断.
【详解】对于
10
10
1
1
e
,
e
11
a
b
，显然
10
e
11
0
，
10
1
1
0
e
11
，所以a
b
；
对于
1
1
11
1
10
,
ln
ln 1
1
11
10
10
1 10
b
c
，
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可构造函数
ln 1
1
x
f
x
x
x
，且
1
x ，
所以
2
2
1
1
1
1
1
x
f
x
x
x
x
，
当
0
x
时
( )
0
f
x
¢
>
，所以
f x 在
0,
单调递增，
当1
0
x
时
0
f
x
，所以
f x 在
1,0
单调递减，
所以
min
0
0
ln 1
0
0
0
1
f
x
f
，所以
0
f x ，
所以
1
0
10
f
，即
1
1
11
1
10
ln 1
ln
0
1
10
10
11
1 10
，故
11
1
ln 10
11
，所以b
c
.
综上：a
b
c
.
故选:A.
3．已知
0.2
0.2
1.2
ln 1.2e ,
e
,
e
a
b
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】C
【分析】构造
e
ln
1
1,
1
x
f x
x
x
，根据导函数得出函数
( )
f x 在
0,
上单调递增，即可得出
(0.2)
0
f
，所以c
a
；构造
e
1 ,
0
x
g x
x
x
，根据导函数得出函数
g x 在
0,
上单调递增，可
判断
1
c ，再根据对数函数的运算性质得到c
a
.
【详解】令
e
ln
1
1,
0
x
f x
x
x
，则
1
e
1
x
f
x
x
.
当
0
x
时，有
1
e
1,
1
1
x
x
，所以
1
1
1
x
，
所以，
( )
0
f
x
在
0,
上恒成立，
所以，
( )
f x 在
0,
上单调递增，
所以，
( )
(0)
1 1
0
f x
f
，
所以，
(0.2)
0
f
，即
0.2
e
ln1.2
1
0
，所以a
b
.
令
e
1 ,
0
x
g x
x
x
，则
e
1
x
g x
在
0
x
时恒大于零，故
g x 为增函数，
所以
1
1,
0
ex
x
x
，而
ln 1.2e
1 ln1.2
1
a
，所以c
a
，
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所以c<a<b ，
故选：C
4．若
2
2
1
ln lnπ ,
ln
,
3
3
e
a
b
c
，则（
）
A．c
a
b
B．b
c
a
C．c
b
a
D．b
a
c
【答案】C
【分析】先判断,a b 的符号，再构造函数
ln
f x
x
x
并利用导数判断单调性，从而得到答案.
【详解】因为
ln
y
x
在
0,
上增函数，所以
2
2
2
ln lnπ
ln lne
0,
ln
ln1
0
ln π
ln e
3
=1,
3
3
a
b
，
即
0,
0
a
b
.
造函数
ln
f x
x
x
，则
ln
1
f
x
x
，令ln
1
0
x
，解得
1
e
x
，
当
1
0, e
x
时，
0
f
x
，则
f x 为单调递减；
当
1 ,
e
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，则
f x 为单调递增.
所以函数
f x 在
1
e
x
处取得最小值，即
1
1
1
1
ln
e
e
e
e
f x
f
，
所以
2
1
3
e
f
f
，即2
2
1
ln
3
3
e
，b
c
.
综上所述，c
b
a
.
故选：C.
5．设
0.1
1
0.1e
,
ln 0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c<a<b
D．a
c
b
【答案】C
【分析】构造函数
( )
ln(1
)
f x
x
x
，导数判断其单调性，由此确定, ,
a b c 的大小.
【详解】方法一：构造法
设
( )
ln(1
)
(
1)
f x
x
x x
，因为
1
( )
1
1
1
x
f
x
x
x
，
当
( 1,0)
x
时，
( )
0
f
x
，当
,
(
)
0
x
时
( )
0
f
x
，
所以函数
( )
ln(1
)
f x
x
x
在(0,
)
单调递减，在( 1,0)
上单调递增，
所以
1
( )
(0)
0
9
f
f
，所以
10
1
ln
0
9
9
，故1
10
ln
ln 0.9
9
9
，即b
c
，
版小初高资料
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请添加高老师
所以
1
(
)
(0)
0
10
f
f
，所以
9
1
ln
+
0
10
10
，故
1
10
9
e
10
，所以
1
10
1
1
e
10
9
，
故a
b
，
设
( )
e
ln(1
)(0
1)
x
g x
x
x
x
，则
2
1 e
1
1
( )
+1 e
1
1
x
x
x
g x
x
x
x
,
令
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
，
2
( )
e (
2
1)
x
h x
x
x
，
当0
2
1
x
时，
( )
0
h x
，函数
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
单调递减，
当2 1
1
x
时，
( )
0
h x
，函数
2
( )
e (
1)+1
x
h x
x
单调递增，
又(0)
0
h
，
所以当0
2
1
x
时，( )
0
h x
，
所以当0
2
1
x
时，
( )
0
g x
，函数( )
e
ln(1
)
x
g x
x
x
单调递增，
所以
(0.1)
(0)
0
g
g
，即
0.1
0.1e
ln 0.9
，所以a
c
故选：C.
方法二：比较法
解：
0.1
0.1
a
e
，
0.1
1
0.1
b
，
ln(1
0.1)
c
，
①ln
ln
0.1
ln(1
0.1)
a
b
，
令
( )
ln(1
),
(0,0.1],
f x
x
x
x
则
1
( )
1
0
1
1
x
f
x
x
x
，
故
( )
f x
在
(0,0.1] 上单调递减，
可得
(0.1)
(0)
0
f
f
，即ln
ln
0
a
b
，所以a
b
；
②
0.1
0.1
ln(1
0.1)
a
c
e
，
令
( )
ln(1
),
(0,0.1],
x
g x
xe
x
x
则
1
1
1
1
'
1
1
x
x
x
x
x e
g
x
xe
e
x
x
，
令
( )
(1
)(1
)
1
x
k x
x
x e
，所以
2
( )
(1
2 )
0
x
k x
x
x e
，
所以
( )
k x
在(0,0.1] 上单调递增，可得
( )
(0)
0
k x
k
，即
( )
0
g x
，
所以
( )
g x
在(0,0.1] 上单调递增，可得
(0.1)
(0)
0
g
g
，即
0
a
c
，所以
.
a
c
故
.
c
a
b
题型二极值点讨论
1．若函数
2
( )
ex
f x
ax
在区间(0,
)
无零点但有2 个极值点，则实数a 的取值范围是（
）
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A．e
e
2
a
B．
2
e
e
2
4
a
C．0
e
a
D．
2e
e
4
a
【答案】B
【分析】由题得
2
( )
0
x
f x
e
ax
在区间(0,
)
无解，
( )
e
2
0
x
f
x
ax
在区间(0,
)
有2 两个不同解，
然后参变分离，转换成图像交点问题即可.
【详解】由题
2
( )
0
x
f x
e
ax
在区间(0,
)
无解，
即
2
ex
a
x
在区间(0,
)
无解，设
2
(
e
)
x
g x
x
，则
2
4
3
e
e
2
e (
)
)
2
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
，
所以当
(0,2)
x
时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调减，当
(2,
)
x
时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调增，
所以
2e
( )
(2)
4
g x
g
，显然当x 趋于无穷大时，( )
g x 趋于无穷大，
所以
2e
4
a
；
又函数
2
( )
ex
f x
ax
在区间(0,
)
有2 个极值点，所以
( )
e
2
0
x
f
x
ax
在区间(0,
)
有2 两个不同解，
即
e
2
x
a
x
在区间(0,
)
有2 两个不同解，设( )
xe
h x
x
，则
2
2
e
e
)
(
(
)
e
1
x
x
x
x
x
x
h
x
x
，
所以当
(0,1)
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调减，当
(1,
)
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调增，
所以( )
(1)
e
h x
h
，显然当x 趋于无穷大和0 时，( )
h x 都趋于无穷大，
所以
e
2
e
2
a
a
，所以实数a 的取值范围是
2
e
e
2
4
a
，
故选：B.
2．已知函数
2
2
e
18
x
f x
a
x
，其中
0
a
且
1
a ．若
f x 存在两个极值点
1
x ，
2
x ，则实数a 的取值范
围为
．
【答案】
1 ,1
1,e
e
【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，
0
f
x
即
ln
e
x
a
a
x
，令
ln
x
h x
a
a
，
e
g x
x
，分
1
a 和0
1
a
两种情况讨论，根据
h x 与
g x 有两个交点，
求出
h x 过原点的切线，比较
h x 过原点的切线的斜率与
g x 斜率，得出关于两斜率的不等式求解a 即可.
【详解】对函数
2
2
e
18
x
f x
a
x
求导得：
2
ln
2e
2
ln
e
x
x
f
x
a
a
x
a
a
x
，
因为
f x 存在两个极值点，所以
f
x
有两个不同的变号零点．
令
0
f
x
，有
ln
e
x
a
a
x
，令
ln
x
h x
a
a
，
e
g x
x
，
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所以
h x 与
g x 有两个交点；
当
1
a 时，
ln
x
h x
a
a
，
2
ln
x
h
x
a
a
，
设过原点的直线与
ln
x
h x
a
a
的切点坐标为
0
0,
ln
x
x a
a ，
切线斜率为
0
2
ln
x
k
a
a
，
所以切线方程为：
0
0
2
0
ln
ln
x
x
y
a
a
a
a x
x
，
将原点坐标带入切线方程得
0
1
ln
x
a
．
此时切线的斜率为：
1
2
2
ln ln
eln
a
k
a
a
a
，现在需要
ln
e
x
a
a
x
有两个交点，
即
2
eln
e
k
a
，因为
1
a ，有ln
0
a
，所以0
ln
1
a
，所以1
e
a
；
同理知当0
1
a
时，ln
0
a
，
2
eln
e
k
a
，即1
ln
0
a
，所以1
1
e
a
．
综上知：a 的取值范围为
1 ,1
1,e
e
．
故答案为：
1 ,1
1,e
e
3．（多选）若函数
2
ln
,
0
b
c
f
x
a x
a
x
x
既有极大值也有极小值，则（
）
A．
0
bc
B．
0
ab
C．
2
8
0
b
ac
D．
0
ac
【答案】ACD
【分析】由题意将原问题转化为二次函数的零点分布问题，进一步由判别式、韦达定理即可求解.
【详解】由题意
2
2
3
3
2
2 ,
0,
0
a
b
c
ax
bx
c
f
x
x
a
x
x
x
x
在
0,
内有两个不相等的实数根，
即方程
2
2
0
0
ax
bx
c
a
在
0,
内有两个不相等的实数根，
不妨设两根分别为
1
2
,
x x ，
所以
2
1
2
1
2
Δ
8
0
0
2
0
b
ac
b
x
x
a
c
x x
a
，即,a c 异号、,a b 同号，从而,b c异号.
故选：ACD.
4．已知
3
2
1
( )
3
f x
x
ax
bx
c
有两个极值点
1
x ，
2
x ，若
1
1
2
(
)
x
f x
x
，则关于x 的方程
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2
[ ( )]
2
( )
0
f x
af x
b
的实根个数不可能为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】由题意，结合导函数知
2
( )
2
0
f
x
x
ax
b
的两个根为
1
x ，
2
x ，则目标方程的解为
1
( )
f x
x
或
2
( )
f x
x
，又
1
1
2
(
)
x
f x
x
，将问题转化为函数
( )
f x 与
1
y
x
、
2
y
x
交点个数，结合
( )
f x 的简图分析，即
知实根的个数可能情况，进而确定选项.
【详解】由题意，
2
( )
2
f
x
x
ax
b
，又
( )
f x 有两个极值点
1
x ，
2
x ，
∴
2
( )
2
0
f
x
x
ax
b
的两个根为
1
x ，
2
x ，
∴对于
2
[ ( )]
2
( )
0
f x
af x
b
，有
1
( )
f x
x
或
2
( )
f x
x
，
又
( )
f x 在
1
(
,
)
x
、
2
(
,
)
x 上单调递减，
1
2
( ,
)
x x
上单调递增，且
1
1
2
(
)
x
f x
x
，
∴可得如下
( )
f x 简图：
此时，方程有2 个解，
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此时，方程有3 个解，
此时，方程有4 个解. 故不可能出现5 个解的情况.
故选：D
【点睛】关键点点睛：应用导数，结合函数的同构性知：目标方程的解为
1
( )
f x
x
或
2
( )
f x
x
，由已知条件
应用数形结合的方法，分类讨论函数图象的交点个数情况.
5．已知
e
ln
0
x
a
f
x
x
x a
x
存在两个极小值点，则a 的取值范围是
.
【答案】
1
0, e
【分析】依题意，
f
x
至少有三个变号零点，可得y
a
与
0
ex
x
g x
x
的图像有两个不同的交点，利
用导数研究函数
g x 单调性，作出函数图像，数形结合求a 的取值范围，并证明符合题意.
【详解】由题知
e
ln
0
x
a
f
x
x
x a
x
，定义域为
0,
，
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所以
2
2
e
1
e
e
1
1
1
x
x
x
a
a
f
x
x
x
x
x
x
x
，
若
f x 存在两个极小值点，则
f
x
至少有三个变号零点，
因为
1
0
f
，所以需
0
ex
x
a
在
0,
上至少有两个不等于1 的零点，
即y
a
与
ex
x
g x
，
0
x
有两个不同的交点，故
1
ex
x
g
x
，
0
x
，
当
0,1
x
时，
0
g
x
，
g x 单调递增，当
1,
x
时，
0
g x
，
g x 单调递减，
因为指数函数增长比幂函数增长快，所以当x 趋向于正无穷时，e x 远远大于x ，
故x 趋向于正无穷时，ex
x 趋向于0，又因为
0
0
g
，
1
1
e
g
，
由此画出
g x 在
0,
图像如下：
由图象可知：
1
0
e
a
，下证：当
1
0
e
a
时，
f x 有两个极小值点，
不妨记y
a
与
ex
x
y
的两个不同交点的横坐标为
1
x ，
2
x ，可记
1
2
1
x
x
< <
，
则当
1
0,
x
x
时，
ex
x
a
，即
e
0
x
a
x
，
1
0
x
，
此时
2
e
e
1
0
x
x
a
f
x
x
x
x
，
f x 单调递减，
当
1,1
x
x
时，
ex
a
x
，即
0
x
x
a
e
，
1
0
x
，
此时
2
e
e
1
0
x
x
a
f
x
x
x
x
，
f x 单调递增，
当
2
1,
x
x
时，
ex
a
x
，即
0
x
x
a
e
，
1
0
x
，
此时
2
e
e
1
0
x
x
a
f
x
x
x
x
，
f x 单调递减，
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当
2,
x
x
时，
ex
x
a
，即
e
0
x
a
x
，
1
0
x
，
此时
2
e
e
1
0
x
x
a
f
x
x
x
x
，
f x 单调递增，
故
f x 存在两个极小值点分别为
1
x
x
，
2
x
x
符合题意，故
1
0, e
a
成立.
所以a 的取值范围是
1
0, e
.
【点睛】方法点睛：
导数研究函数的极值，可导函数
( )
y
f x
在点
0x 处取得极值的充要条件是
0
(
)=0
f
x
，且在
0x 左侧与右侧
( )
f
x
的符号不同；若
( )
f x 在( , )
a b 内有极值，那么
( )
f x 在( , )
a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函
数没有极值．
练习题：
1．已知函数
2
1 e x
f x
m x
x
x
在
1 ,2
2
x
上有两个极值点，则实数m 的取值范围为（
）
A．
2
3
0, 2e
B．
2
3
1
,
2e
e
C．1,
e
D．
2
3
1
0,
,
2e
e
【答案】B
【分析】由
0
f
x
可得
2
1
ex
x
m
x
，令
2
1 1
2
e
2
x
x
h x
x
x
，则直线y
m
与函数
h x 在1 ,2
2
上的图
象有两个交点，利用导数分析函数
h x 的单调性与极值，数形结合可得出实数m 的取值范围.
【详解】因为函数
2
1 ex
f x
m x
x
x
在
1 ,2
2
x
上有两个极值点，
所以
f
x
在
1 ,2
2
x
上有两个变号零点，
因为
e
2
1
x
f
x
mx
x
，令
0
f
x
，即
e
2
1
0
x
mx
x
，可得
2
1
ex
x
m
x
．
令
2
1 1
2
e
2
x
x
h x
x
x
，则
2
2
2 e
1 2
1 e
1 2
1
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
h x
x
x
，
令
0
h x
，得
1 ,1
2
x
，令
0
h x
，得1
2
x
，
所以，函数
h x 在1 ,1
2
上递增，在
1,2 上递减，
因为
1
0
2
h
，
1
1
e
h
，
2
3
2
2e
h
，如下图所示：
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当
2
3
1
2e
e
x
时，直线y
m
与函数
h x 在1 ,2
2
上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为
1
x 、
2
x ，且
1
2
x
x
，
由图可知，当
1
1
2
x
x
或
2
2
x
x
时，
2
1
ex
x
m
x
，此时，
2
1
e
0
e
x
x
x
f
x
x
m
x
，
当
1
2
x
x
x
时，
2
1
ex
x
m
x
，此时，
2
1
e
0
e
x
x
x
f
x
x
m
x
，
所以，函数
f x 在
1
0, x
上递增，在
1
2
,
x x
上递减，在
2,2
x
上递增，
此时，函数
f x 有两个极值点，合乎题意.
因此，实数m 的取值范围为
2
3
1
,
2e
e
.
故选：B.
2．（多选）已知a 为常数，函数
x
x
f
x
e
x
ae
有两个极值点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，则（
）
A．a 的取值范围是
1
0, 2
B．a 的取值范围是
1
, 2
C．
1
0
f x
D．
2
1
2
f x
【答案】ACD
【分析】求导后，可将问题转化为
1
2
x
x
a
e
有两个不等实根，令
1
x
x
g x
e
，利用导数可求得
g x 单调性
和极值，采用数形结合的方式可求得a 的范围，并得到
1
2
1
0
x
x
，由此知AB 正误；根据
2
1
1
1
4
x
f
x
a
，
结合
1
1
0
x
可知C 正确；利用
f
x 单调性可得
2
0
f
x
f
a
，结合a 的范围知D 正确.
【详解】由题意得：
1 2
x
x
f
x
e
x
ae
，
( )
f
x
有两个极值点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，
0
f
x
有两个变号零点，
又e
0
x
，只需
1
2
0
x
x
ae
，即
1
2
x
x
a
e
有两个不等实根，
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1
x
x
g x
e
，则
x
x
g
x
e
，
当
,0
x
时，
( )
0
g
x
¢
>
；当
0,
x
时，
( )
0
g
x
¢
<
；
g x
在(
)
,0
-¥
上单调递增，在(
)
0,+¥
上单调递减，
max
0
1
g x
g
，又当x 时，
g x ；x 时，
0
g x
，
可得
g x 图象如下图所示，
当0
2
1
a
，即
1
0
2
a
时，
1
2
x
x
a
e
有两个不等实根，且
1
2
1
0
x
x
，
即当
1
0, 2
a
时，
f
x 有两个极值点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，A 正确，B 错误；
1
1
1
2
0
x
x
ae
，
2
2
1
2
0
x
x
ae
，即
1
1
1
2
x
x
e
a
，
2
2
1
2
x
x
e
a
，
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
4
x
x
x
x
x
f
x
e
x
ae
a
a
，又
1
1
0
x
，
1
0
2
a
，
1
0
f
x
，C 正确；
当
1
,
x
x
，
2,
x 时，
( )
0
f
x
¢
<
；当
1
2
,
x
x x
时，
( )
0
f
x
¢
>
；
( )
f
x
\
在
1
,x
，
2,
x 上单调递减，在
1
2
,
x x
上单调递增，
2
0
f
x
f
a
，
1
0
2
a
，
1
0
2
a
，
2
1
2
f
x
，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围的问题，可转化为导函数零点个数问题的
求解；利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，
然后将问题转化为函数图象与
轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
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（3）分离变量法：由( )
0
f
x =
分离变量得出
a
g x
，将问题等价转化为直线y
a
与函数
( )
y
g x
=
的图象
的交点问题.
3．若函数
2
ex
f x
x
a
在区间
2,2
内只有极小值，无极大值，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
0,8
【分析】利用函数极小值与导数的关系，列式计算即可.
【详解】因为
2
ex
f x
x
a
在区间
2,2
内只有极小值，无极大值，
所以
2
2
ex
f
x
x
x
a
0 在区间
2,2
内只有一个左负右正的异号根，
即关于x 的方程
2
2
0
x
x
a
在区间
2,2
内只有一个左负右正的异号根，
所以
2
2
( 2)
2
2
0
2
2 2
0
a
a
，得
0,8
a
.
故答案为：
0,8 .
4．若
0
x
是函数
3
2
1
ln
1
3
f
x
x
ax
x
x
的极大值点，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
1
,
2
【分析】对函数
f x 求导整理可得
2
2
1
2
1
1
x x
a
x
a
f
x
x
，设
2
2
1
2
1
g x
x
a
x
a
，
1
x ，
结合讨论函数
g x 的取值正负，进而判断函数
f
x
，进而结合极值的定义求解即可.
【详解】由
3
2
1
ln
1
3
f
x
x
ax
x
x
，
1
x ，
则
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
x x
a
x
a
f
x
x
ax
x
x
，且
0
0
f
，
设
2
2
1
2
1
g x
x
a
x
a
，
1
x ，
当
2
2
1
4 2
1
2
1 2
3
0
a
a
a
a
，即
1
3
2
2
a
时，
0
g x
，则1
0
x
时，
0
f
x
，
0
x
时，
0
f
x
，
此时函数
f x 在
1,0
上单调递减，在
0,
上单调递增，
所以当
0
x
时，函数
f x 取得极小值，不符合题意；
当
2
1
2
3
0
a
a
，即
1
2
a
或
3
2
a
时，
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若
1
2
a
，因为
1
1
g
，且
0
2
1
0
g
a
，函数
g x 的对称轴为
2
1
0
2
a
x
，
则方程
2
2
1
2
1
0
g x
x
a
x
a
的两根为
1
2
,
x x ，且
1
1
0
x
，
2
0
x
，
当
1
1
x
x
时，
0
g x
，则
0
f
x
，
当
1
0
x
x
时，
0
g x
，则
( )
0
f
x
¢
>
，
当
2
0
x
x
时，
0
g x
，则
0
f
x
，
当
2
x
x
时，
0
g x
，则
( )
0
f
x
¢
>
，
所以函数
f x 在
1
1, x
和
2
0,x
上单调递减，在
1,0
x
和
2,
x 上单调递增，
所以当
0
x
时，函数
f x 取得极大值，符合题意，即
1
2
a
.
若
3
2
a
，因为
1
1
g
，且
0
2
1
4
g
a
，函数
g x 的对称轴为
2
1
2
2
a
x
，
所以
0
g x
，则1
0
x
时，
0
f
x
，
0
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
所以函数
f x 在
1,0
上单调递减，在
0,
上单调递增，
所以当
0
x
时，函数
f x 取得极小值，不符合题意.
综上所述，实数a 的取值范围为
1
,
2
.
故答案为：
1
,
2
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数
f x 求导后，结合二次函数
g x 的判别式讨论方程
0
g x
的根的情况，以此确定
g x 的取值正负，从而确定
f
x
的正负，进而求解.
5．设函数
ln
R
f x
x
x
ax
a
在区间
0,2 上有极大值点，则a 的取值范围是
．
【答案】ln 2
1 1
,
4
2
【分析】求导，令
0
f
x
，则
ln
1
2
x
a
x
，构造函数
ln
1,
0,2
x
g x
x
x
，利用导数画出函数
g x 的
大致图像，结合函数图象，从a 分类讨论结合极值的定义即可得解.
【详解】
1
ln
ln
ln
2
1
0
f
x
x
x
ax
x
ax
x
a
x
ax
x
x
，
令
0
f
x
，则
ln
1
2
x
a
x
，
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令
ln
1,
0,2
x
g x
x
x
，则
2
ln x
g
x
x
，
当0
1
x
时，
0
g
x
，当1
2
x
时，
0
g x
，
所以函数
g x 在
0,1 上单调递增，在
1,2 上单调递减，
所以
max
1
1
g x
g
，
又当
0
x
时，
g x ，
ln 2
1
2
2
g
，
作出函数
ln
1,
0,2
x
g x
x
x
的大致图像，如图所示，
由图可知，当
1
2
2
a
，即
1
2
a
时，
0
f
x
，
所以函数
f x 在
0,2 上无极值；
当ln 2
1
2
1
2
a
，即ln 2 1
1
4
2
a
时，
方程
0
f
x
有两个不同的实数根，设为
1
2
1
2
,
x x
x
x
，
当
1
0
x
x
或
2
2
x
x
时，
0
f
x
，当
1
2
x
x
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
所以函数
f x 既有极大值又有极小值，
故ln 2 1
1
4
2
a
符合题意；
当
ln 2 1
2
2
a
，即
ln 2
1
4
a
时，
方程
0
f
x
只有一个实数根，设为
0x ，
当
0
0
x
x
时，
0
f
x
，当
0
2
x
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
所以函数只有极小值，没有极大值，
综上所述，a 的取值范围是ln 2
1 1
,
4
2
.
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故答案为：ln 2
1 1
,
4
2
.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，
然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思
想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由
0
f x
分离变量得出
a
g x
，将问题等价转化为直线y
a
与函数
y
g x
的图
象的交点问题.
题型三
导数求立体几何最值
1．已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为（
）
A．16 2 π
8π
3
B．16π
C．32
16 6
π
π
3
3
D．8 2π
16π
【答案】C
【分析】根据题意，设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h，求得圆锥的体积为
4
6
1 π 16
3
V
r
r
，令
4
6
16
f r
r
r
，求得
3
5
64
6
f
r
r
r
，求得函数
f r 的单调性，得到
32
3
r
时，圆锥的体积取得最大
值，再结合圆锥的侧面积和圆的面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h，则
2
2
2
4
16
h
r
r
，
则圆锥的体积为
2
2
2
4
6
1
1
1
π
π
16
π 16
3
3
3
V
r h
r
r
r
r
，
令
4
6
16
f r
r
r
，可得
3
5
64
6
f
r
r
r
，令
0
f
r
，解得
32
3
r
，
当
32
0
3
r
时，
0
f
r
，
f r 单调递增；
当
32
4
3
r
时，
0
f
r
，
f r 单调递减，
所以，当
32
3
r
时，
f r 取得最大值，即圆锥的体积取得最大值，
此时，圆锥的表面积为
2
2
32
32
(16 6+32)π
π
π
π
4
π
(
)
3
3
3
S
rl
r
.
故选：C.
2.已知四面体ABCD，且
1
AB
AC
BD
CD
，则四面体体积最大时，其外接球的表面积为
.
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【答案】5 π
3
【分析】作出辅助线，设出未知数，表达出
2
1
1
3
A BCD
V
m
m
，求导得到其单调性和最值，得到此时
3
3
m
，
从而确定球心和球心在平面BCD上投影的位置，利用勾股定理和外接球半径相等列出方程，得到外接球半
径，进而求出外接球表面积.
【详解】取BC 中点O，连接
,
AO DO ，
因为
1
AB
AC
BD
CD
，所以AO⊥BC ，DO ⊥BC ，
设
,
BO
m AO
n
，则
2
2
1
m
n
，则0
1
m
且DO
AO
n
，
要想四面体体积最大，则AO为三棱锥A
BCD
的高，即AO⊥平面BCD，
则
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
3
2
3
3
A BCD
V
BC OD AO
mn
mn
m
m
，
令
2
1
1
3
f m
m
m
，0
1
m
，
则
2
2
1
1
1
1
2
3
3
3
f
m
m
m
m
m
，
当
3
0
3
m
时，
0
f
m
，
2
1
1
3
f m
m
m
单调递增，
当
3
1
3
m
时，
0
f
m
，
2
1
1
3
f m
m
m
单调递减，
故当
3
3
m
时，
2
1
1
3
f m
m
m
取得极大值，也是最大值，
即四面体体积最大，此时
6
3
n
，
2 3
2
3
BC
m
，
在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
4
1 1
1
3
cos
2
2
3
DB
CD
BC
BDC
DB CD
，
又
0, π
BDC
，故
2
2 2
sin
1 cos
3
BDC
BDC
，
设
BCD
△
的外接圆圆心为N ，半径为r ，
则
2 3
3
3
2
sin
2 2
2
3
BC
r
BDC
，解得
6
4
r
，
则
6
4
DN
r
，
6
6
6
3
4
12
ON
OD
DN
，
则外接球球心E 在
BCD
△
上的投影为点N ，即EN ⊥平面BCD，
过点E 作EF ⊥AO于点F ，连接
,
AE DE ，则
,
AE DE 为外接球半径，
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其中
6
12
EF
ON
，EN
OF
，
设EN
OF
h
，AE
DE
R
，则
6
3
AF
AO
OF
h
，
由勾股定理得
2
2
2
2
2
AF
EF
R
EN
DN
，
即
2
2
2
2
6
6
6
3
12
4
h
h
，解得
6
12
h
，
故
2
2
2
6
6
5
12
4
12
R
，
故外接球表面积为
2
5
4π
π
3
R
.
故答案为：5 π
3
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球
心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解
题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的
半径
3．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书
馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1 所示，
8
AC （百米），建立如图
2 所示的平面直角坐标系，将曲线AB 看成函数
f
x
k
x
图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分，
若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最
大值为（
）
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A．2
B．116
9
C．196 3
27
D．352
27
【答案】D
【分析】先根据
4,4
B
，
8,0
C
求出
2
f
x
x
，直线BC 的方程
8
y
x
，然后设
8
,
F
t t
后得到D ，
E 点坐标进而得
3
2
8
4
2
t
t
S
t
，再利用导数求最值.
【详解】因
8
AC
，故
8,0
C
，由题意
4,4
B
直线BC 的方程为：
4
4
0
4
8
4
y
x
，即
8
y
x
，
将
4,4
B
代入
f
x
k
x
得
4
4
4
f
k
，得
2
k
，
所以
2
f
x
x
，
因F 在直线BC 上，可设
8
,
F
t t
0
4
t
，
因E 在
2
f
x
x
上，故
2
,
4
t
E
t
，
2
,0
4
t
D
,
所以
2
8
4
t
EF
t
，
2
8
4
t
CD
，DE
t
，
直角梯形CDEF 的面积
2
2
1
1 8
8
2
2
4
4
t
t
S
EF
CD
DE
t
t
，
即
3
2
8
4
2
t
t
S
t
0
4
t
，
2
3
8
4
t
S
t
，
令
0
S
得
1
8
4
3
t
，又0
4
t
，所以S在区间
8
0, 3
上单调递增，
令
0
S
得
1
4
t
或
8
3
t
，又0
4
t
，所以S在区间8 ,4
3
上单调递减，
故当
8
3
t
时，S取得最大值为352
27 ，
故选：D
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4．(多选)在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
2
AB
A B
，
1
2 3
AA
，M 为棱
1
1
B C 的中点，当正四棱台的体
积最大时，下列说法正确的有（
）
A．该正四棱台的高为2
B．该正四棱台的体积为224
C．平面MBD 截该正四棱台的截面面积是10 3
D．该正四棱台的内切球半径为1
【答案】AC
【分析】令
1
1
2
2
AB
A B
a
，应用棱台体积公式及导数求正四棱台的体积最大时对应参数a ，进而求棱台的
高、体积、内切球半径，根据平面基本性质画出截面并求面积即可.
【详解】将正棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
补为如下图的棱锥，令
1
1
2
2
AB
A B
a
，
由
1
2 3
AA
，M 为棱
1
1
B C 的中点，所以
4 3
PA
，
棱锥P
ABCD
高
2
2
2
2
(
)
48
2
2
h
PA
AB
a
，则小棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
高
2
h
h
，
棱台的体积
2
2
2
2
4
1
7
48
2
3
6
6
V
a h
a h
a
a
，令
2
48
2
t
a
，则
2
2
48
2
t
a
，
所以
2
7
(48
)
12
V
t
t
且
(0,4 3)
t
，则
2
7 (16
)
4
V
t
，
0
4
t
，
0
V
，即V 递增，4
4 3
t
，
0
V
，即V 递减，
所以
4
t
，即
4
a
时棱台体积最大，此时棱台的高
48
32
2
2
2
h
，A 对；
棱台体积为
7
224
4 (48 16)
12
3
V
，B 错；
棱台斜高为2 2 ，则其平行于
1
1,
A B AB 且垂直于底面的截面如下：
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若存在内切球，则上图等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点，
根据内切圆O 与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半，
而
4
8
2 2
6
2
，故不存在内切圆，即棱台不存在内切球，D 错；
过M 作
/ /
ME
BD 交
1
1
C D 于E ，又M 为棱
1
1
B C 的中点，则E 为
1
1
C D 中点，
所以
1
1
1
2 2
2
ME
B D
，
8 2
BD
，而
1
2 2
6
sin
3
2 3
CDD
，即
1
3
cos
3
CDD
，
则
1
1
3
cos
cos(π
)
3
DD E
CDD
，
3
12
4
8 3
2 6
3
DE
BM
，
所以截面为等腰梯形，且高为
6 ，则面积为1
6
(2 2
8 2)
10 3
2
，C 对.
故选：AC
5．如图，A 、B 两点分别在x 、y 轴上滑动，OP
AB
，P 为垂足，P 点轨迹形成“四叶草”的图形，若
2
AB
，
则
OAP
△
的面积最大值为
．
【答案】3 3
8
/ 3
3
8
【分析】设
OAB
，则为锐角，可得出
sin 2
OP
，
1 cos2
PA
，由此可得出
1 1
cos 2
sin 2
2
OAP
S
△
，令
1 sin
cos
1
2
f
x
x
x
，其中0
π
x
，利用导数求出函数
f x 的最大值，
即为所求.
【详解】设
OAB
，则为锐角，所以，
cos
2cos
OA
AB
，
因为OP
AB
，则
sin
2cos
sin
sin 2
OP
OA
，
2
cos
2cos
1 cos2
PA
OA
，所以，
1
1 1
cos 2
sin 2
2
2
OAP
S
PA OP
△
，
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令
1 sin
cos
1
2
f
x
x
x
，其中0
π
x
，
则
2
2
1
1
1
1
cos
cos
1
sin
2cos
cos
1
2cos
1
cos
1
2
2
2
2
f
x
x
x
x
x
x
x
x
，
因为0
π
x
，则1
cos
1
x
，则cos
1
0
x
，
由
0
f
x
，可得
1
cos
2
x
，可得π
π
3
x
，
由
( )
0
f
x
¢
>
，可得
1
cos
2
x
，可得
π
0
3
x
，
所以，函数
f x 在
π
0, 3
上单调递增，在π , π
3
上单调递减，
故当
0,π
x
时，
max
π
1
π
π
1
3
3
3 3
sin
1 cos
3
2
3
3
2
2
2
8
f x
f
.
所以，
OAP
△
面积的最大值为3 3
8
.
故答案为：3 3
8
.
练习题：
1．已知四棱锥P
ABCD
的顶点都在球O 上，四边形ABCD所在圆半径为r ，该四棱锥的体积最大值为64
81 ，
则球O 的半径为（
）
A．1
B．
1
2
C．
3
3
D．3
1
3
【答案】A
【分析】设四边形ABCD对角线夹角为，得到
2
1
sin
2
2
ABCD
S
AC BD
r
四边形
，设该四棱锥的高为h，
球O的半径为R ，结合球的截面圆的性质，得到
2
2
2
r
Rh
h
，结合锥体的体积公式，得到
2
3
1
4
2
3
3
3
ABCD
V
S
h
Rh
h
四边形
，设
2
3
4
2
0
3
3
f h
Rh
h
h
，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可
求解.
【详解】设该四棱锥的底面为四边形ABCD，四边形ABCD对角线夹角为，
则
2
1
1
1
sin
2
2
2
2
2
2
ABCD
S
AC BD
AC BD
r
r
r
四边形
当且仅当四边形ABCD为正方形时，等号成立，
设该四棱锥的高为h，球O的半径为R ，
则有
2
2
2
h
R
R
r
，则
2
2
2
r
Rh
h
，
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则四棱锥的体积
2
2
2
3
1
1
2
4
2
2
2
3
3
3
3
3
ABCD
V
S
h
r h
h
Rh
h
Rh
h
四边形
，
设
2
3
4
2
0
3
3
f h
Rh
h
h
，则
2
8
2
3
f
h
Rh
h
，
令
0
f
h
，则
4
0
3
h
R
；令
0
f
h
，则
4
3
h
R
，
所以函数
f h 在
4
(0,
)
3 R 上单调递增，在4
(
,
)
3 R 单调递减，
所以
max
4
64
3
81
f h
f
R
，解得
1
R .
故选：A．
2．在半径为
3 的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为
.
【答案】2
【分析】设出球的内接圆柱的高，再表示出圆柱底面圆半径，列出圆柱体积的函数关系，借助导数求解作
答.
【详解】设球的内接圆柱的高为h，底面半径为r ，于是球心到圆柱底面距离为1
2 h ，
因此
2
2
3
4
h
r
，即
2
2
3
4
h
r
，则圆柱体积
2
2
3
π
π
π(3
)
(12
)
4
4
h
V
r h
h
h
h
，
显然0
2 3
h
，求导得
2
π (12
3
)
4
V
h
，当0
2
h
时，
0
V
，当2
2 3
h
时，
0
V
，
于是函数
3
π (12
)
4
V
h
h
在(0,2) 上单调递增，在(2,2 3) 上单调递减，
所以当
2
h
时，V 取得最大值.
故答案为：2
3．已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
内接于半径为2 的球，则该正三棱柱体积的最大值为
．
【答案】8
【分析】设ABC
的外接圆半径为r，边长为a，正三棱柱的高为2h ，求得正三棱柱体积的表达式，然后利
用导数求得体积的最大值.
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【详解】设ABC
的外接圆半径为r，边长为a，正三棱柱的高为2h ，
则
2
3
4
ABC
S
a
△
，
2
2
2
3
2
3 a
h
，即
2
2
12
3
a
h
，
所以正三棱柱的体积
2
3
3
3 3
2
3 4
4
2
2
ABC
V
S
h
h
h
h
h
△
．
又
2
3 3
3
4
2
V
h
，当
2 3
0, 3
h
时，
0
V
，此时函数单调递增，
当
2 3 ,2
3
h
时，
0
V
，此时函数单调递减，
所以当
2 3
3
h
时，函数
3
3 3
4
2
V
h
h
取得最大值3 3
2 3
4
4
8
2
3
3
．
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：一是根据几何体的结构求得几何体体积的表达式；二是求得体积的表达式后，根据
表达式的结构，选择合适的求最值的方法，如二次函数的性质、基本不等式、导数等等.
4．某学校有如图所示的一块荒地，其中
60m
AB
，
40m
AD
，
45m
BC
，
π
2
DAB
，
2π
3
ABC
，经
规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取
,
E F
两点，现规划在OEF
区域安装健身器材，在
OBE
△
区域设置乒乓球场，若
BOE
EOF
，且使四边形
AOEF 的面积最大，则cos
EOF
．
【答案】
33
1
8
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【分析】设
O
BOE
E F
，先求得四边形OEFA 面积的表达式，然后利用导数求得当
33
1
cos
8
时，
四边形AOEF 的面积最大.
【详解】设
O
BOE
E F
，根据题意易知
π
0,2
，
∵OF
OA
，
OAF
△
为等腰三角形，且
OFA
OAF
，
又∵
BOF
OFA
OAF
，∴
EOF
OFA
OAF
，∴
//
OE FA，
∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：
1
30 30
sin π
2
sin
450 sin
sin 2
2
S
，
π
0,2
，
则
2
450 cos
2cos 2
450 4cos
cos
2
S
，
π
0,2
，
令
0
S
，则
2
4cos
cos
2
0
，
解得
33
1
cos
8
（舍）或
33
1
cos
8
，
设为φ为
33
1
cos
8
所对应的角，
∵
cos
y
在
π
0,2
上单调递减，
∴
0,
时，
33
1
cos
,1
8
，
2
450 4cos
cos
2
0
S
，S 单调递增，
∴
π
, 2
时，
33
1
cos
0,
8
，
2
450 4cos
cos
2
0
S
，S 单调递减．
∴当
33
1
cos
8
时，面积最大，即
33
1
cos
8
EOF
．
故答案为：
33
1
8
．
【点睛】方法点睛：
求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.
可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.
5．在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，
1
PA
AB
，已知圆柱在该四棱锥的
内部且圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为
.
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【答案】1
3
【分析】依据题意作出合理的图形，将圆柱体积写为某个含单一变量的函数，求导找到极值点，即可求解.
【详解】
如图，设圆柱外切长方体的底边长为x ，则高为1 x
，∴圆柱的底面半径为2
x ，高为1 x
，
∴圆柱的体积为
2
3
2
π
1
π
2
4
4
x
x
x
V
x
，
2
3
π
0
4
2
x
V
x
，
∴
1
0
x ，
2
2
3
x
，∴V 在
2
0
3
，
上单调递增，在2
3
，
上单调递减，
∴当
2
3
x
，即半径为1
3 时，圆柱的体积最大.
故答案为：1
3
1.
已知
eπ
π
e
e ,
π ,
2
a
b
c
，则这三个数的大小关系为（
）
A．c
b
a
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
【答案】A
【分析】构造函数
ln
,
0
x
f
x
x
x
，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较,a b ，在同一坐标系
中作出
2
x
y
与y
x
的图象，结合图象与幂函数的性质可比较,b c，即可求解
【详解】令
ln
,
0
x
f
x
x
x
，则
2
1 ln
,
0
x
f
x
x
x
，
由
( )
0
f
x
¢
>
，解得0
e
x
，由
0
f
x
，解得
e
x，
所以
ln
,
0
x
f
x
x
x
在
0,e 上单调递增，在
e,+上单调递减；
因为π
e
，
所以
π
e
f
f
，即ln π
ln e
π
e
，
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所以eln π
πln e
，所以
e
π
ln π
ln e
，
又
ln
y
x
递增，
所以
e
π
π
e
，即b
a
；
e
eπ
π
2
=
2
，
在同一坐标系中作出
2
x
y
与y
x
的图象，如图：
由图象可知在
2,4 中恒有
2
x
x
，
又2
π
4
，所以
π
π
2
，
又
e
y
x
在
0,
上单调递增，且
π
π
2
所以
e
π
eπ
e
π
2
=
2
，即b
c
；
综上可知：c
b
a
，
故选：A
2.
已知
8ln 6
a
，
7ln 7
b
，
6ln8
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】D
【分析】根据题意，构造出函数
14
ln
f x
x
x
，对函数进行求导判断其单调性，进而比较大小.
【详解】令
14
ln
f x
x
x
，则
14
ln
1
f
x
x
x
.
因为
ln
y
x
在
0,
上单调递减，
14
1
y
x
在
0,
上单调递减，
所以
14
ln
1
f
x
x
x
在
0,
上单调递减.
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而
14
5
ln 5
1
0
5
f
，
14
6
ln 6
1
0
6
f
，
所以在
6,上有
0
f
x
.
所以
14
ln
f x
x
x
在
6,上单调递减.
所以
6
7
8
f
f
f
，即8ln 6
7ln 7
6ln8
.故a
b
c
.
故选：D.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从
表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性
解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技
巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常
用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3.
已知
10
8
a
，
99
b
，
8
10
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】D
【分析】构造函数
18
ln
f x
x
x
，
8
x
，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.
【详解】构造
18
ln
f x
x
x
，
8
x
，
18
ln
1
f
x
x
x
，
18
ln
1
f
x
x
x
在
8,时为减函数，且
2
9
5
5
5
8
ln8
1
ln8
ln e
2
0
4
4
4
4
f
，
所以
18
ln
1
0
f
x
x
x
在
8,恒成立，
故
18
ln
f x
x
x
在
8,上单调递减，
所以
8
9
10
f
f
f
，
即10ln8
9ln9
8ln10
，所以
10
9
8
8
9
10
，即a
b
c
.
故选：D
【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可
能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大
小.
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4.
已知
ln2
2
a
，
ln 3
e
b
，
2
2
e
c
，则（参考数据：ln 2
0.7
）（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
【答案】B
【分析】由
ln 2
2ln 2
ln 4
2
4
4
a
，
2
2
lne
e
c
考虑构造函数
ln x
f
x
x
，利用导数研究函数的单调性，利用单
调性比较大小即可.
【详解】因为
ln 2
2ln 2
ln 4
2
4
4
a
，
2
2
lne
e
c
，
考虑构造函数
ln x
f
x
x
，则
2
1
ln x
f
x
x
，
当0
e
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，函数
f x 在
0,e 上单调递增，
当
e
x时，
0
f
x
，函数
f x 在
e,+上单调递减，
因为ln 2
0.7
，所以
0.7
e
2
，即
2
2
0.7
e
> e
4
，
所以
2
3<4<e
，
所以
2
2
ln3
ln4
lne
3
4
e
，即
2
2
ln3
ln2
lne
3
2
e
，
又ln3
ln3
3
e
，
所以
2
2
ln3
ln2
lne
e
2
e
，故b
a
c
，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的
单调性比较大小.
5.
(多选)已知0
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（
）
A．sin
sin
x
y
B．sin
sin
x
y
C．cos
cos
0
x
y
D．
co
co
s
0
s x
y
【答案】AC
【分析】构造函数
sin
ex
x
f x
，求导，计算出其单调性即可判断.
【详解】构造函数
sin
ex
x
f x
，
'
2 cos
cos
sin
4
e
e
x
x
x
x
x
f
x
，
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当
4
x
时，
( )
'
0
f
x =
，0
4
x
时，
'
0
f
x
，4
x
时，
'
0
f
x
，
在
4
x
处取最大值，
0,
x
，
sin
0,
0
x
f x
，
函数图像如下：
,e
e
x
y
x
y
，
sin
sin
x
y
，A 正确；B 错误；
0
4
x
，
2
2
cos
1 sin
0, cos
1 sin
,
cos
cos
x
x
y
y
x
y
，
cos
cos
0
x
y
，C 正确，D 错误；
故选：AC.
6.
(多选)已知
1
2
0
1
x
x
<
<
< ，下列不等式恒成立的是（
）
A．
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x
B．
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x
C．
1
1
2
2
ln
ln
x
x
x
x
D．
1
2
2
1
ln
e
l
e
n
x
x
x
x
【答案】AB
【分析】A 选项，构造函数
,
0,1
ex
x
f x
x
，通过求导研究其单调性得到证明；B 选项，构造
ln ,
0,1
x
g x
x
x
，通过求导研究其单调性，进行求解；C 选项，构造
ln ,
0,1
h x
x x x
，通过求导研
究其单调性，进行求解；D 选项，利用中间值比大小.
【详解】令
1
,
0,1 ,
,
e
e
0
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
在
0,1
x
内单调递增.
1
2
0
1
x
x
时，
1
2
1
2
e
e
x
x
x
x
，即
2
1
1
2
e
e ,
x
x
x
x
A 选项正确；
令
2
ln
1 ln
,
0,1 ,
0,
x
x
g x
x
g
x
g x
x
x
在
0,1
x
内单调递增，
1
2
1
2
1
2
ln
ln
0
1,
x
x
x
x
x
x
，即
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x
，B 选项正确；
令
ln ,
0,1 ,
ln
1,
0,1
h x
x x x
h x
x
x
，当
1
0, e
x
时，
0,
h x
h x
单调递减，当
1 ,1
e
x
时，
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0,
h x
h x
单调递增，
1
h x
与
2
h x
大小不确定，C 错误；
当
1
2
0
1
x
x
<
<
< 时，
2
1
1
2
ln
ln
0
0
e
e
x
x
x
x
，D 错误
故选：AB
7.
已知函数
e
2
1
x
f
x
ax
在区间
1,1
内存在极值点，且
0
f x
在R 上恰好有唯一整数解，则实数
a 的取值范围是（
）
A．
2
2
e
1 e
,
2e
2
B．e 1 e
,
2
2
C．
2
2
e
1 e 1
e 1 e
,
,
4e
2e
2
2
D．
2
2
2
e
1 1
e 1 e
1
,
,
4e
2
2
4
【答案】C
【分析】求导后可知
0
a
时不合题意；当
0
a
时，可确定极值点为
ln 2
x
a
；分别在ln2
0
a
、1
ln 2
0
a
和0
ln 2
1
a
的情况下，根据
0
f x
在R 上恰好有一个整数解可确定整数解，由此可构造方程组求得a 的
范围.
【详解】
e
2
x
f
x
a
，
当
0
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
恒成立，
( )
f
x
\
在
1,1
上单调递增，不存在极值点，不合题意；
当
0
a
时，令
0
f
x
，解得：
ln 2
x
a
，
当
,ln 2
x
a
时，
0
f
x
；当
ln 2 ,
x
a
时，
( )
0
f
x
¢
>
；
( )
f
x
\
在
,ln 2a
上单调递减，在
ln 2 ,a 上单调递增；
( )
f
x
\
的极小值点为
ln 2
x
a
，无极大值点；
f x
在
1,1
上存在极值点，
0
f x
在R 上恰好有唯一整数解，又
0
0
f
，
则当ln2
0
a
，即
1
2
a
时，
0
0
f x
f
，不合题意；
当1
ln 2
0
a
时，则
0
f x
的唯一整数解为=
1
x
，
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1
0
f
，
2
0
f
，
2
1
ln 2
0
1
2
1
0
e
1
4
1
0
e
a
a
a
，解得：
2
2
e
1
e 1
4e
2e
a
；
当0
ln 2
1
a
时，则
0
f x
的唯一整数解为
1
x ，
1
0
f
，
2
0
f
，
2
0
ln 2
1
e
2
1
0
e
4
1
0
a
a
a
，解得：e
1
e
2
2
a
；
综上所述：实数a 的取值范围为
2
2
e
1 e 1
e 1 e
,
,
4e
2e
2
2
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过对于极值点位置的讨论，
确定
0
f x
时的整数解，从而确定整数解及其两侧的整数对应的函数值的符号，由此构造不等式组求得参
数范围.
8.
（多选）若函数
( )
e
e
x
x
f x
a
b
cx
，既有极大值点又有极小值点，则（
）
A．
0
ac
B．
0
bc
C．(
)
0
a b
c
D．
2
4
0
c
ab
【答案】ACD
【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.
【详解】由题知方程
2e
e
( )
e
e
0
e
x
x
x
x
x
a
c
b
f
x
a
b
c
，
2e
e
0
x
x
a
c
b
有两不等实根
1
x ，
2
x ，
令
ex
t
，
0
t
，则方程
2
0
at
ct
b
有两个不等正实根1t ，2t ，
其中
1
1
ex
t
，
2
2
ex
t
，
2
1
2
1 2
0
Δ
4
0
0
0
a
c
ab
c
t
t
a
b
t t
a
，
2
4
0
0
0
c
ab
ac
ab
，
0
0
bc
a b
c
ab
ac
，故ACD 正确，B 错误.
故选：ACD.
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9.
已知函数
2
1
log
(
0
2
a
f x
x
x
x a
，且
1)
a
存在极小值和极大值，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
1,e
【分析】求出导函数，依题意可得
f
x
有两个变号零点，则1
log
ln
a
x
x
a
，设
loga
g x
x
x
，所以
1
ln
g x
a
有两个不同实数根，利用导数说明
g x 的单调性，求出min
g x
，即可得到
1
log
0
ln
a
a （
1
a ），
从而求出a 的取值范围.
【详解】因为
2
1
log
2
a
f
x
x
x
x
定义域为
0,
，
1
log
ln
a
f
x
x
x
a
，
依题意可得
f
x
有两个变号零点，
令
0
f
x
，则1
log
ln
a
x
x
a
，设
loga
g x
x
x
，所以
1
ln
g x
a
有两个不同实数根，
又
1
1
ln
g
x
x
a
，若0
1
a
，ln
0
a
，则
0
g
x
，则函数
g x 单调递增，
所以
1
ln
g x
a
至多有一个根，不符合题意，
若
1
a ，则ln
0
a
，显然
1
1
ln
g
x
x
a
单调递增，
当
1
0
ln
x
a
时
0
g x
，则
g x 在
1
0, ln a
上单调递减，
当
1
ln
x
a
时
0
g
x
，则
g x 在
1 ,
ln a
上单调递增，
所以min
1
1
1
log
ln
ln
ln
a
g x
g
a
a
a
，
又当
0
x
时
g x
，当x 时
g x
，
要使
1
ln
g x
a
有两个不同正实数根，则
1
1
1
1
log
ln
ln
ln
ln
a
g
a
a
a
a
，
即
1
log
0
ln
a
a
，又
1
a 所以1
1
ln a ，则0
ln
1
a
，所以1
e
a
，
所以实数a 的取值范围是
1,e .
故答案为：
1,e
【点睛】关键点睛：依题意得到1
log
ln
a
x
x
a
，从而得到
1
ln
g x
a
有两个不同实数根.
10.
函数
sin
cos
sin 2
f
x
x
x
x
的极小值为
．
【答案】
2 3
9
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【分析】换元，设
π
sin
cos
2 sin
4
t
x
x
x
，求导，判断函数的单调性，进而可得极值.
【详解】设
π
sin
cos
2 sin
4
t
x
x
x
，则
2, 2
t
，
由
2
2
sin
cos
1
sin 2
t
x
x
x
，得
2
sin 2
1
x
t
．令
2
3
1
g t
t t
t
t
，
2, 2
t
，则
2
3
1
g
t
t
，
当
3
3
,
3
3
t
时，
0
g t
；
当
3
2,
,
3
2
3
3
t
时，
0
g t
；
所以
g t 在
3
2,
3
上单调递增，在
3
3
,
3
3
上单调递减，在
3 , 2
3
上单调递增，所以
g t 的极
小值为
3
3
3
3
2 3
3
3
3
9
g
，即
f x 的极小值为
2 3
9
，
故答案为：
2 3
9
．
11.
设函数
ln
a
f
x
x
x
x
有两个不同的极值点
1
x 、
2
x ，若
1
2
x
x
，则
1
2
f x
f x
的取值范围为
.
【答案】(0,
)
【分析】求得
2
2
x
x
a
f
x
x
，根据题意得到
1
0
a
4
，且
1
2
1
2
1,
x
x
x x
a
，再由函数
2
y
x
x
a
的
对称轴为
1
2
x
，得到
1
2
1
0
1
2
x
x
，根据函数
f x 的解析式，得到
1
2
1
1
1
4
2
ln
ln(1
)
f
x
f
x
x
x
x
，令
4
2
ln
ln(1
)
g x
x
x
x
，利用导数求得函数
g x 的单调性，
结合
1
( )
0
2
g
，且得到
0
g x
，即可求解.
【详解】由函数
ln
a
f
x
x
x
x
，可得其定义域为(0,
)
，且
2
2
2
1
1
a
x
x
a
f
x
x
x
x
因为函数
f x 有两个极值点
1
2
,
x x ，即方程
2
0
x
x
a
在(0,
)
上有两个实数根，
则满足
Δ
1
4
0
0
a
a
，解得
1
0
a
4
，且
1
2
1
2
1,
x
x
x x
a
，
又因为
2
y
x
x
a
的对称轴为
1
2
x
，所以
1
2
1
0
1
2
x
x
，
又由
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
(
)
(
)
(ln
ln
)
a
a
a
a
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
(
)
(
)
ln
2(
)
ln
2[
(1
)]
ln1
a x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
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1
1
1
4
2
ln
ln(1
)
x
x
x
，
令
1
4
2
ln
ln(1
),
(0, )2
g x
x
x
x x
，
可得
2
2
1
1
4
4
1
(2
1)
4
0
1
(1
)
(1
)
x
x
x
g
x
x
x
x
x
x
x
，所以函数
g x 为单调递减，
又因为
1
( )
0
2
g
，且当
0
x
时，
g x
，所以
0
g x
，即
1
2
0
f x
f x
，
所以
1
2
f x
f x
的取值范围为(0,
)
.
故答案为：(0,
)
.
【点睛】方法策略：求解函数的极值与最值综合问题的策略：
1、涉及函数的极值、最值的求解是，要求步骤规范，函数的解析式函参数时，要分离讨论参数的大小，得
出函数的单调性，进而确定函数的极值与最值；
2、求解函数的无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调
性和极值情况，结合函数的大致图象，进而确定函数的最值；
3、在导数的综合性问题中，最常见的“e x ”和“ln x ”与其代数式的结合问题，对于此类问题，可以先对“ ex ”
和“ ln x ”进行化简或放缩，使问题得以简化，便于化简和计算.
12.
已知函数
2
e
2
x
ax
f
x
在
0,
上既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
, e
【分析】由
f
x
在
0,
上有2 个不同的零点分离参数a ，利用构造函数法，结合导数求得a 的取值范围.
【详解】根据题意得，
ex
f
x
ax
，
0,
x
．
由函数
f x 在
0,
上既有极大值也有极小值，
可得
f
x
在
0,
上有2 个不同的零点．
令
0
f
x
，得
ex
a
x
，令
ex
h x
x
，
0,
x
，
即直线y
a
与函数
h x 的图象在y 轴右侧有2 个不同的交点．
2
e
1
x
x
h x
x
，由
0
h x
，得0
1
x
，
f x 单调递增；
由
0
h x
，得
1
x ，
f x 单调递减，
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故
max
1
e
h x
h
，又
0
x
，
h x ；x ，
h x ，故
e
a ，
即实数a 的取值范围为
, e
．
【点睛】利用导数研究函数的极值，首先要注意的是满足
0
f
x
的x 不一定是极值点，还需要满足在其
左右两侧函数的单调性相反.利用导数研究含参数的函数的零点，可以考虑利用分离参数法，通过分离参数，
然后利用构造函数以及导数来求得参数的取值范围.
13.
已知函数
2
1
e
sin
1
1
2
x
f
x
m
x
x
m
x
，在
0
x
处取到极小值，则实数m
．
【答案】1
【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得m 的取值.
【详解】
e
cos
1
x
f
x
m
x
x
m
，由题意可知，
0
1
1
0
f
m
m
，
设
g x
f
x
，
e
sin
1
x
g
x
m
x
，
0
0
g
，
设
h x
g
x
，
e
cos
x
h x
m
x
，
0
1
h
m
，
若
0
1
0
h
m
，则存在
,
x
，使
0
h x
，
则
,
x
，
h x 单调递增，即
g x
单调递增，又
0
0
g
，
所以
,0
x
，
0
g x
，函数
g x 单调递减，
0,
x
，
0
g
x
，函数
g x 单调递增，
所以
,
x
，
0
0
g x
g
，即
0
f
x
，
那么，
,
x
，函数
f x 单调递增，在
0
x
处不能取到极小值，故不成立，
若
0
1
0
h
m
，则存在
,
x
，使
0
h x
，
则
,
x
，
h x 单调递减，即
g x
单调递减，又
0
0
g
，
所以
,0
x
，
0
g
x
，函数
g x 单调递增，
0,
x
，
0
g x
，函数
g x 单调递减，
所以
,
x
，
0
0
g x
g
，即
0
f
x
，
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那么，
,
x
，函数
f x 单调递减，在
0
x
处不能取到极小值，故不成立，
所以
0
1
0
h
m
，即
1
m .
故答案为：1
【点睛】思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再
分析出m 的取值.
14.
已知六棱锥的所有顶点都在半径为2 的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（
）
A．4 6
3
B．2 6
C．7 2
3
D．4 2
3
【答案】A
【分析】由该六棱锥为正六棱锥时，其体积最大结合体积公式得出
2
3
3 4
2
V
h
h
，利用导数得出体积最
大值，进而得出侧棱长.
【详解】由题意知，六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上．
易知当六边形为正六边形时，其面积最大．要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥．
不妨设正六边形的边长为(0
2)
a
a
，六棱锥的高为(0
4)
h
h
，
则正六边形的外接圆的半径为a ．
由球的性质可知，
2
2
(
2)
4
h
a
，则
2
2
4
a
h
h
，
所以正六棱锥的体积
2
2
2
3
1
1
3
3
6
sin60
4
3
2
2
2
V
a
h
a h
h
h
．
设
2
3
( )
4
(0
4)
f x
x
x
x
，则
2
( )
8
3
f
x
x
x
．
当
8
0, 3
x
时，
( )
0
f
x
，当
8,4
3
x
时，
( )
0
f
x
，
所以函数
( )
f x 在
8
0, 3
上单调递增，在8 ,4
3
上单调递减．
当
8
3
x
时，
( )
f x 取得最大值，即
8
3
h
时，V 取得最大值，此时
2
32
9
a =
，
所以正六棱锥的侧棱长
2
2
32
64
4 6
9
9
3
l
a
h
．
故选：A．
【点睛】关键点睛：当圆内接多边形为正多边形时，多边形的面积最大；当球的内接多棱锥为正多棱锥（如
上题）时，该多棱锥的体积最大．
15.
对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为12cm，高为8cm，加工方法为挖
掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱.若要使加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计
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为（
）
A．8cm
B．6cm
C．4cm
D．2cm
【答案】A
【分析】设挖去的圆柱的底面半径为r ，高为h，再设圆柱的轴截面为矩形EFHG ，底面圆心为O，连接AO，
根据
/ /
EF
BC ，求得
2
8
3
r
h
，得到圆柱的体积为
2
3
2
π(8
)
3
f r
r
r
，求得
2π (8
)
f
r
r
r
，得到函数
的单调性和最大值，进而得到结论.
【详解】设挖去的圆柱的底面半径为r ，高为h，取圆锥的轴截面ABC
，如图所示，
设圆柱的轴截面为矩形EFHG ，底面圆的圆心为O，连接AO，交EF 于点K ，
因为
/ /
EF
BC ，则AK
EF
AO
BC
，即8
2
8
24
h
r
，解得
2
8
3
r
h
，其中0
12
r
，
则圆柱的体积为
2
2
2
3
2
2
π
π
(8
)
π(8
)
3
3
r
f r
r h
r
r
r
，其中0
12
r
，
可得
2
π(16
2
)
2π (8
)
f
r
r
r
r
r
，
令
0
f
r
，解得
8
r
或
0
r
（舍去），
当
(0,8)
r
时，
0
f
r
，
f r 单调递增；
当
(8,12)
r
时，
0
f
r
，
f r 单调递减，
所以当
8
r
时，函数
f r 取的最大值，最大值为
512π
8
3
f
，
所以，当
8
r
时，工件的质量最轻.
故选：A.
16.
如图，正方形EFGH 的中心与正方形ABCD的中心重合，正方形ABCD的面积为2，截去如图所示的
阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥M
EFGH
(A，B，C，D 四点重合于点M)，当四棱锥体
积达到最大值时，图中阴影部分面积为（
）
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A．2
5
B．4
5
C．4
3
D．2
3
【答案】A
【分析】设
2
EF
x
，表达出棱锥侧面的高，进而表达出棱锥的高，表示出棱锥体积，利用导函数求出棱锥
体积的最大值，求出阴影部分面积.
【详解】取正方形中心为O，连接BD交EF 于点T ，
正方形ABCD的面积为2，故正方形ABCD的边长为
2 ，
1
OB
OD
，
设
2
EF
x
，则OT
x
，所得的棱锥侧面的高
1
TB
OB OT
x
，
故棱锥的高为
2
2
(1
)
1 2
h
x
x
x
，
四棱锥体积为
2
2
4
1
4
4
(2 )
1
2
1
2
1
2
3
3
3
V
x
x
x
x
x
x
，
令
4
1
1 2
0
2
f x
x
x
x
，则
3
( )
2
(2
5 )
f
x
x
x
，
当
2
0
5
x
时，
( )
0
f
x
，当2
1
5
2
x
时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
f x 在
2
0, 5
上单调递增，在2 1
,
5 2
上单调递减，
∴当
2
5
x
时，体积最大，
此时
2
5
FT
，
3
1
5
TB
x
，由勾股定理可得
2
2
2
3
13
5
5
5
BF
，
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点F 到边长BC 的距离
2
10
d
，
1
2
1
2
2
10
10
BCF
S
，
∴阴影部分面积
2
4
5
BCF
S
S
.
故选：A．
17.
(多选)已知正三棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π ，且
[3,3 3]
l
，
则下列结论正确的为（
）
A．当
3
l
时，不是正四面体
B．的底面棱长的最大值为3 3
C．的体积随着l 的增大而增大
D．的体积的最大值为8 3
【答案】ABD
【分析】首先求出外接球半径为3，再设
COD
，求出其范围，利用反证法判断A，求出关于底面棱长
表达式即可判断B，利用棱锥体积公式结合换元法得
3
2
27 3
( )
(
1)
4
V t
t
t
t
，利用导数即可判断CD.
【详解】记正三棱锥的外接球O的半径为R ，∵球的体积为36π ，则
3
4 π
36π
3 R
，∴
3
R
，
如图，作PD 平面ABC ，显然球心O在直线PD 上，设
COD
，
在△POC 中，
3
PO
CO
，
[3,3 3]
PC
l
，
则在
POC
△
中，由余弦定理可知：
2
2
2
2
3
3
18
cos
cos π
cos
2 3 3
18
l
l
POC
，则
2
18
cos
18
l
，
因为
[3,3 3]
l
，所以
1 1
cos
,
2 2
，因为
0,π
，所以
π 2π
,
3
3
，
对选项A：当
3
l
时，l
R
，△POC 是等边三角形，
2π
3
，
此时
3 3
sin
2
CD
R
，在等边三角形△ABC 中，
9
3
2
BC
CD
l
，∴不是正四面体，故选项A 正
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确；
对选项B：因为
π 2π
,
3
3
，则底面棱长
π
3
3 sin
3 3 sin
3 3
2
BC
CD
R
，故选项B 正确；
对选项C：由题可知
3
3 3sin
BC
CD
，且
3 3cos
PD
PO
OD
，
∴的体积
2
1
1 27 3
(
sin
)(3
3cos )
3
3
4
ABC
V
S
PD
，
令
cos
t
，
π 2π
,
3
3
，则
1 1
[
, ]
2 2
t
，将
2
2
sin
1
cos
代入并整理得
3
2
27 3
( )
(
1)
4
V t
t
t
t
，
∵
2
27 3
27 3
( )
(3
2
1)
(3
1)(
1)
4
4
V t
t
t
t
t
，
在
1 1
[
, ]
2 3
t
时，
( )
0
V t
，
1 1
,
3 2
t
时，
( )
0
V t
，
∴
( )
V t 在
1 1
[
, ]
2 3
t
上递增，在
1 1
,
3 2
t
上递减，故选项C 错误；
对选项D：由C 可知
max
1
( )
( )
8 3
3
V t
V
，故选项D 正确；
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设角法，然后得到底面棱长与其之间的关系判断AB，利用体积公式
和换元法得到
3
2
27 3
( )
(
1)
4
V t
t
t
t
，最后利用导数研究其单调性和最值即可.
18.
(多选)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（
）
A．一定不是正方体
B．外接球的表面积为6π
C．长、宽、高的值均属于区间
1,2
D．体积的取值范围为50 ,2
27
【答案】ABD
【分析】根据题意，设长方体的长宽高分别为, ,
a b c ，由
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
即可判断A，由
2
2
2
6
a
b
c
即可判断B，由不等关系代入计算即可判断C，由V
abc
，结合
10
2
3
a
b
的范围，利用导数即可判断
D.
【详解】设长方体的长宽高分别为, ,
a b c ，则可得
2
10
4
16
ab
ac
bc
a
b
c
，即
5
4
ab
ac
bc
a
b
c
，
又因为
2
2
2
2
2
16
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
，所以
2
2
2
6
a
b
c
，
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由不等式可得，
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
，当且仅当a
b
c
时，等号成立，
而
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
，取不到等号，所以得不到a
b
c
，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；
设长方体外接球的半径为R ，则
2
2
2
2
6
R
a
b
c
，即
6
2
R
，则外接球的表面积为
2
6
4π
6π
2
，
故B 正确；
由
4
a
b
c
可得，
4
c
a
b
，代入
5
ab
ac
bc
可得，
4
5
ab
a
b
a
b
，即
5
4
ab
a
b
a
b
，
因为,
0
a b
，由基本不等式可得
2
4
a
b
ab
，
即
2
5
4
4
a
b
a
b
a
b
，设a
b
t
，则
0
t
，
则
2
5
4
4
t
t t
，化简可得
2
3
16
20
0
t
t
，即
3
10
2
0
t
t
，
所以
10
2
3
t
，即
10
2
3
a
b
，又因为
4
a
b
c
，
则2
2
3
c
，同理可得
2
,
,2
3
a b
，故C 错误；
设长方体的体积为V ，则
5
4
4
V
abc
a
b
a
b
a
b
，且a
b
t
，
10
2
3
t
，
即
5
4
4
V
t t
t
，其中
10
2, 3
t
，
化简可得，
2
4
5
4
V
t
t
t
，
10
2, 3
t
，
且
2
5
4
4
4
2
3
7
3
V
t
t
t
t
t
t
，
10
2, 3
t
，
令
0
V
，则
7
3
t
或3，
当
7
2, 3
t
时，
0
V
，即V 单调递减，
当
7 ,3
3
t
时，
0
V
，即V 单调递增，
当
10
3, 3
t
时，
0
V
，即V 单调递减，
所以，当
7
3
t
时，V 有极小值，且
7
7
7
49
50
4
5
4
3
3
3
9
27
V
，
当
3
t
时，V 有极大值，且
3
4
3
5
4 3
9
2
V
，
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又因为
2
4
2
5
4 2
4
2
V
,
10
10
10
100
50
4
5
4
3
3
3
9
27
V
，所以
50 ,2
27
V
，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题主要考查了基本不等式的应用以及利用导数解决立体几何中体积最值问题，难度
较大，解决问题的关键在于将长方体的体积转化为关于长方体长宽高的函数关系，然后利用导数知识求解.
19.
如图所示，某小区有一半径为100m ，圆心角为90的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧AB 上一
点P 向OB 引垂线段PH ，从点H 向OP 引垂线段DH .在三角形OPH 三边修建步行道，则步行道长度
的最大值是
m .在三角形ODH 内修建花圃，则花圃面积的最大值是
2
m .
【答案】
100(1
2)
1875 3
2
【分析】设
BOP
，利用锐角三角函数表示出
,
OH PH ，再利用辅助角公式求解即得；求出ODH
的面
积函数式，利用导数求出最大值即得.
【详解】依题意，设
π
(0
)
2
BOP
，则
100sin ,
100cos
PH
OH
，
因此
PH
△O
的周长
π
100
100(sin
cos )
100
100 2 sin(
)
4
L
，
显然π
π
3π
4
4
4
，于是当
π
π
4
2
，即
π
4
时，
max
100 100 2
L
取等号，
所以步行道长度的最大值是100(1
2)m
；
由DH
OP
于H ，得
2
cos
100cos
OD
OH
，
因此ODH
的面积
3
1
sin
5000sin
cos
2
S
OH OD
，
令
3
( )
sin
cos
f
，求导得
4
2
2
2
( )
cos
sin
3cos
sin
cos
(1
4sin
)
f
，
而
π
0
2
，则当
1
0
sin
2
时，
( )
0
f
，函数
( )
f 递增，当1
sin
1
2
时，
( )
0
f
，函数
( )
f 递减，
于是当
1
sin
2
，即
π
6
时，
3
max
1
3
3 3
( )
(
)
2
2
16
f
，
版小初高资料
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所以花圃面积的最大值
2
3 3
1875 3
5000
m
16
2
S
.
故答案为：100(1
2)
；1875 3
2
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相
关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
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