文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期期末模拟卷
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
D
B
A
B
B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9
10
11
ACD
ABD
AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【详解】（1）因为圆 的圆心在 轴上，所以设圆 的方程为
（
），............ 2 分
因为圆 经过
，
两点，
所以
，解得
， ............................................................................................................................4 分
所以圆 的方程为
； ............................................................................................................................... 6 分
（2）由
，可得圆心
，半径为
，
因为直线 与圆 相交于
两点，且
，
所以圆心 到直线 的距离为
， ............................................................................................ 9 分
当直线 的斜率不存在时，直线 为
，满足题意； ........................................................................................ 10 分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
，即
，
1 / 6
则
，解得
，
所以直线 的方程为
，即
，
综上直线 的方程为
或
. ................................................................................................................ 13 分
16．【详解】（1）因
平面
，且
，
以点 为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系. .....................................2 分
则
、
、
、
、
.
于是，
，
, ............................................................................................................................... 3 分
设平面
的法向量为
，
则
，令
，可得
， ...................................................................................6 分
又
，显然，
，故得
平面
. ..................................................................................... 8 分
（2）设平面
的法向量为
，且
，
，
则
，令
，可得
. ....................................................................... 11 分
而平面
的法向量是
，........................................................................................................................... 13 分
所以
，即
因此，平面
与平面
所成夹角的正弦值为
. ........................................................................................ 15 分
17．【详解】（1）设
表示在一局比赛中甲得分，则“
”表示甲答对且乙答错的情况，
根据独立事件概率乘法公式，可得
； ................................................................................. 2 分
2 / 6
（2）
包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，
甲、乙都答对的概率为
，
甲、乙都答错的概率为
，
根据互斥事件的概率加法公式，可得
， .............................................................................. 5 分
因为每局比赛甲得 分的概率为 ，且每次答题的结果互不影响，所以
.
则
，
，
，
，
，................................................................................................................................................. 8 分
则 的分布列为：
0
1
2
3
4
则 的数学期望
； ................................................................................................................................10 分
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
① 三局都得 10 分，其概率为
，
② 两局得 10 分，一局得 分，其概率为
， ....................................................12 分
③ 两局得 10 分，一局得
分，其概率为
，
3 / 6
④ 一局得 10 分，两局得 分，其概率为
， ......................................................... 14 分
综上可得，甲最终获胜的概率为
. ...................................................... 15 分
18．【详解】（1）零假设
为：考试合格与参加学校演练无关，
则
， ................................................................................................ 2 分
故依据
的独立性检验，参加学校演练与考试合格有关联； .................................................................. 3 分
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的 8 件产品中，
参加学校演练的有
人，没参加学校演练的有 6 人， ........................................................................... 5 分
从这 8 人中随机抽取 3 人，其中没参加学校演练的人数
的可能值有 1，2，3.
则
．....................................................... 7 分
故
的分布列为：
1
2
3
则
；........................................................................................................................ 10 分
（3）依题意，因随机抽取的合格率为
，故
，
则
， ................................................................................................ 12 分
由
， .................................................................... 14 分
故由
可解得
，因
，故当
时，
单调递增；
由
可解得
，即当
时，
单调递减．
故当事件“
”的概率最大时，
. ................................................................................................................. 17 分
4 / 6
19．【详解】（1）根据题意，动点
满足：
，........................................................ 2 分
平方并化简：
，
展开整理得：
，
故曲线 的方程为
. ............................................................................................................................................ 3 分
（2）存在实数 ，使得
是以 为直角顶点的等腰直角三角形．
由题意知，直线
的斜率存在，设
，直线
的方程为
，
联立
，得
， .......................................................................................... 5 分
由
，得
， .................................................. 6 分
则
，
， ................................................. 8 分
故
且
，故
，
当
时，
且
，则
，此时
，满足题意；
当
时，
的中点为
，又
，
故
，则
． ......................................................................................................... 11 分
，
则
，
则
，
即
，........................................................................................... 14 分
5 / 6
结合
，则
，
则
，故
，故
，
综上所述，存在实数
，使得
是以 为直角顶点的等腰直角三角形． ....................... 17 分
6 / 6
