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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
【题型归纳目录】
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型三：三个二次之间的关系
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
题型五：绝对值不等式的解法
题型六：二次函数根的分布问题
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【高考考情分析】
考点要求
考题统计
复习目标
（1）会从实际情景中
抽象出一元二次不等
式．
（2）结合二次函数图
象，会判断一元二次方
程的根的个数，以及解
一元二次不等式．
（3 ）了解简单的分
式、绝对值不等式的解
法．
2020 年I 卷第1 题，5 分
1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函
数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方
程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会
求高次方程和绝对值不等式.
1
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【知识点思维导图】
2
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【知识点梳理】
知识点1、一元二次不等式
一元二次不等式
，其中
，
是方程
的两个根，
且
（1）当
时，二次函数图象开口向上.
（2）①若
，解集为
.
②若
，解集为
.
③若
，解集为
.
(2) 当
时，二次函数图象开口向下.
①若
，解集为
②若
，解集为
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【例1】（2020 年山东省春季高考数学真题）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设
，使不等式
成立的
的取值
范围为 .
3
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【变式1-2】（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷））不等式
的解集
为 ．（用区间表示）
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【例2】若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【变式2-1】集合
，若“
”是“
”的充分不
必要条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知关于x 的不等式组
仅有一个整数解，则k 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·高三·辽宁·期中）已知集合
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：三个二次之间的关系
【例3】（2013 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷））关于x 的不等式
4
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的解集为
，且：
，则a=（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知二次函数
图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
【变式3-2】（2025·高三·广东清远·开学考试）若关于x 的不等式
的解集为空集，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】若关于
的不等式
的解集是
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
知识点2、分式不等式
（1）
（2）
5
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（3）
（4）
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【例4】（2007 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））不等式
的解集是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2001 年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式4-2】（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））不等式
的解是
．
知识点3、绝对值不等式
（1）
（2）
；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
题型五：绝对值不等式的解法
【例5】（2025·上海·模拟预测）设
，则不等式
的解集为 .
【变式5-1】不等式
的解集为 .
6
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【变式5-2】（2025·高三·上海·期中）不等式
的解集为 ．
【变式5-3】（2025·高三·上海·期中）不等式
的解集为集合A，不等式
的解集为集合B，
则
.
题型六：二次函数根的分布问题
【例6】关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【变式6-1】关于
的一元二次方程
有一个根小于1，另一个根大于1，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】若
，
是关于x 的方程
的解，且满足
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【例7】（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））已知函数
设
，若关于x 的不等式
在R 上恒成立，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
，函数
7
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若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤
恒成立，则a 的取值范围是 ．
【变式7-2】（2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数
，若对
于任意的
都有
，则实数
的取值范围为 .
【方法技巧与总结】
1、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
，即关于
的不等式
的解集为
．
已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不
等式
的解集为
．
2、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不等式
的解集为
．
3、已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的
不等式
的解集为
，以此类推．
4、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
5、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
6、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
8
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7、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
．
9
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【强化测试】
1．关于
的一元二次方程
有两个不相等的正实数根，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．方程
在区间
和
各有一个根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知集合
,
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
6．若一元二次不等式
对一切实数
都成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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7．命题
：
，
为真的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知二次函数
．若在区间
内至少存在一个实数c，使得
，则实数p 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·高三·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
“
”是
：“
”成立的必
要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）下列叙述中正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．若a，b，
，则“
”的充要条件是“
”
C．“
”是“方程
有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．若a，b，
且
，则“
在
上恒成立”的充要条件是“
”
12．（多选题）（2025·高三·广东湛江·期末）已知
，
，下列给出的实数
的值，
能使p 是q 的充分不必要条件的是（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
=2025
13．（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．
的最小值为
14．（多选题）已知不等式
的解集为
或
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
15．已知函数
则不等式
的解集是 ．
16．若命题“
”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．
17．若关于
的不等式
的解集为
，且
．则
的取值范围为 ，
的最小值是 ．
18．不等式
的解集为 .
19．已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为
．
12
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