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专题05 圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)
目录
题型一：垂直关系向量化....................................................................1
题型二：向量坐标化............................................................................4
题型三：利用向量求角........................................................................6
题型四：利用向量证明三点共线问题.................................................9
专项训练.............................................................................................11
题型一：垂直关系向量化
1．（23-24 高二上·重庆·期末）已知椭圆C：
（
）的离心率为
，
焦距为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线
与C 交点P，Q 两点，O 为坐标原点，且
，求实数k 的值.
1
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2．（23-24 高二上·云南大理·期中）已知椭圆
的短轴长为2，点
在
椭圆
上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
为椭圆
的右顶点时，直线与椭圆
相交于
两点（异于
点），且
.
试判断直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
3．（23-24 高三上·山东临沂·期末）已知圆
：
的圆心为
，圆
：
的圆心为
，一动圆与圆
内切，与圆
外切，动圆的圆心
的轨迹为
曲线
．
(1)求曲线
的方程：
(2)已知点
，直线不过
点并与曲线
交于
两点，且
，直线是否过
定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
2
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4．（23-24 高二下·上海黄浦·期中）如图：双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作直线l 交y 轴于点Q．
(1)当直线l 平行于
的一条渐近线时，求点
到直线l 的距离；
(2)当直线l 的斜率为1 时，在
的右支上是否存在点P，满足
？若存在，求出P
点的坐标；若不存在，说明理由.
5．（23-24 高二上·浙江·阶段练习）已知抛物线
，
.
(1)Q 是抛物线上一个动点，求
的最小值；
(2)过点A 作直线与该抛物线交于M、N 两点，求
的值.
3
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题型二：向量坐标化
1．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆
的左右焦点为
，
短轴长为
为
上一点，
为
的重心.
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
上不同三点
，满足
，且
成等差数列，线段
中
垂线交
轴于
点，求点
纵坐标的取值范围；
(3)直线
与
交于
点，交
轴于
点，若
，求实数
的取值范
围.
2．（2024 高三·全国·专题练习）设直线l：
与椭圆
相交于A、
B 两个不同的点，与x 轴相交于点F．
(1)证明：
；
(2)若F 是椭圆的一个焦点，且
，求椭圆的方程．
4
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3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线
的左、右顶点分别为
，
，左、右焦点分别为
，
，
，且
的渐近线方程为
，直线交
双曲线
于
，
两点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)当直线过点
时，求
的取值范围.
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点
在C 上，点P 与C 的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为
．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)经过点
的直线与双曲线C 交于E，F 两点(异于点P)，过点F 作平行于x 轴的直
线
，直线PE 与
交于点D，且
求直线AB 的斜率．
5
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5．（23-24 高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线
的方程为
，焦点为
，过抛物线内一点
作抛物线准线的垂线，垂足为
，与抛物线交于点
，已知
，
，
.
(1)求
的值；
(2)斜率为
的直线过点
，且与曲线
交于不同的两点
，
，若存在
，使得
，求实数
的取值范围.
题型三：利用向量求角
1．（23-24 高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆
：
过点
，
，
分别为椭圆的左、右焦点，且离心率
.
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(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，若
为钝角，求
的取值范
围.
2．（2024·重庆·三模）已知椭圆
的上、下顶点分别为
，左顶点
为
，
是面积为
的正三角形．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过椭圆
外一点
的直线交椭圆
于
两点，已知点
与点
关于
轴对称，
点
与点
关于
轴对称，直线
与
交于点
，若
是钝角，求
的取值范
围．
3．（23-24 高二上·吉林·期末）已知抛物线
焦点为F，点
在抛物线
上，
.
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F 直线l 与抛物线交于MN 两点，若MN 最小值为4，且
是钝角，求直线
斜率范围.
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4．（2024·北京·三模）已知椭圆C：
（
）过点
，右焦点为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l（不与x 轴重合）交椭圆C 于点M、N，点A 是右顶点，直线MA、NA 分
别与直线
交于点P、Q，求
的大小．
5．（23-24 高二下·河北·开学考试）已知椭圆
：
（
）的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，且四边形
的面积为
4．
(1)求椭圆
的方程．
(2)平行于
轴的直线与椭圆
的一个交点为
，与以
为直径的圆的一个交点为
，且
，
位于
轴两侧，
，
分别是椭圆
的左、右顶点，直线
，
分别与
轴交
于点
，
．证明：
为定值．
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题型四：利用向量证明三点共线问题
1．（2024 上海崇明）已知椭圆Γ：
，点
分别是椭圆Γ 与
轴的交点（点
在点
的上方），过点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点．
(1)若椭圆
焦点在
轴上，且其离心率是
，求实数
的值；
(2)若
，求
的面积；
(3)设直线
与直线
交于点
，证明：
三点共线．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，左、右顶点分别为
，
，
，
.
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（1）求椭圆
的方程.
（2）过
的直线与椭圆
交于
，
两点（均不与
，
重合），直线
与直线
交于
点，证明：
，
，
三点共线.
3．（2024·山西太原·三模）已知双曲线
的左、右顶点分别为
与
，点
在
上，且直线
与
的斜率之和为
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)过点
的直线与
交于
两点(均异于点
)，直线
与直线
交于点
，求证:
三点共线.
4．（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知双曲线
的右焦点为
，
一条渐近线方程为
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）记
的左、右顶点分别为
，过
的直线交
的右支于
两点，连结
交直
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线
于点
，求证：
三点共线．
专项训练
1．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆
的左、右焦点分别为
为
椭圆上第一象限内的一点，且
与
轴相交于点
，离心率
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·北京·期中）已知椭圆
的上、下顶点为
，过点
的直线与椭圆
相交于两个不同的点
（
在线段
之间），则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河南·一模）已知过椭圆
的上焦点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点，
为坐标原点，直线
分别与直线
相交于
两点.若
为锐
角，则直线的斜率
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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4．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，过点
作直线与渐近线
垂直，垂足为点
，延长
交
于点
.若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二下·安徽安庆·阶段练习）已知点P 为双曲线C：
（
，
）上位于第一象限内的一点，过点P 向双曲线C 的一条渐近线l 作垂线，垂足为A，
为
双曲线C 的左焦点，若
，则渐近线l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二上·四川成都·期中）已知椭圆C：
的离心率为
，斜
率为正的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于P，Q 两点，点的位置如
图所示，且
，则直线l 的斜率为 ．
7．（2024·河北·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与
轴相交于点
，与
在第一象限的交点为
，若
，
，则
的离心率为 ．
8．（2024 高三·全国·专题练习）设双曲线C 的左、右焦点分别为
，
，且焦距为
，P 是C 上一点，满足
，
，则
的周长为 ．
9．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设点
，
分别是椭圆
:
的左、右
焦点，且椭圆C 上的点到点
的距离的最小值为
点M，N 是椭圆C 上位于x 轴上
方的两点，且向量
与向量
平行.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)当
时，求点N 的坐标；
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(3)当
时，求直线
的方程.
10．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆
的左右焦点为
，短轴长为
为
上一点，
为
的重心.
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
上不同三点
，满足
，且
成等差数列，线段
中
垂线交
轴于
点，求点
纵坐标的取值范围；
(3)直线
与
交于
点，交
轴于
点，若
，求实数
的取值范
围.
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11．（2024·山西太原·三模）已知双曲线
的左、右顶点分别为
与
，点
在
上，且直线
与
的斜率之和为
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)过点
的直线与
交于
两点(均异于点
)，直线
与直线
交于点
，求证:
三点共线.
12．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线
，抛物线
的焦点F 是双曲线M 的右顶点，且以F 为圆心，以b 为半径的圆与直线
相切．
(1)求双曲线M 的标准方程；
(2)已知直线
与双曲线M 交于A、B 两点，且双曲线M 是否存在上存在点P 满足
，若存在，求出m 的值，若不存在请说明理由．
13．（23-24 高三上·福建福州·期中）已知直线
与抛物线
交于
A，B 两点，M 为线段AB 的中点，点N 在抛物线C 上，直线MN 与y 轴平行.
(1)证明：抛物线在点N 处的切线与直线l 平行；
(2)若，求抛物线C 的方程.
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