重难点06+新定义函数压轴题（4大题型+高分技法+限时提升练）（原卷版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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重难点06 新定义函数压轴题
新定义函数题型往往融合了多个数学知识点，要求考生具备扎实的基础知识和灵活的思维能力。
例如，某些题目可能结合代数、几何或概率等不同领域的知识，考查学生对知识的综合运用能
力。近年来，北京中考数学压轴题中的新定义函数题型逐渐增多，且形式多样化。例如，2024
年中考数学压轴题中出现了几何新定义、数列新定义、函数新定义等多种类型，体现了试题设
计的灵活性和多样性。针对新定义函数题型，考生需要注重以下几点：
掌握基础知识：扎实掌握代数、几何、概率等基础知识，为理解新定义打下基础。
培养创新思维：通过练习类似题目，培养对新概念的理解能力和灵活运用能力。
注重阅读理解：提高对题干信息的提取和分析能力，避免因信息量大而产生困惑。
总结解题方法：通过总结典型题目的解题思路和方法，形成解题模板，提高解题效率。
【题型1  一次函数与圆综合】 
考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性
质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．
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1．（2024 学年北京市三帆中学中考模拟数学试题二模）在平面直角坐标系xOy 中，
O
e
的半径为1，对于
直线l 和线段PQ，给出如下定义：若线段PQ关于直线l 的对称图形是
O
e
的弦P Q
（P，Q分别为P，Q
的对应点），则称线段PQ是
O
e
关于直线l 的“对称弦”．
(1)如图，点
1A ，
2
A ，
3
A ，
1
B ，
2
B ，
3
B 的横、纵坐标都是整数．线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 中，是
O
e
关于直
线
1
y
x
=
+ 的“对称弦”的是 
(2)CD 是
O
e
关于直线


0
y
kx k
=
¹
的“对称弦”，若点C 的坐标为
1
3
,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，且
1
CD = ，直接写出点D 的
坐标；
(3)已知直线
3
y
x
b
= -
+
和点


2 3,3
M
，若线段MN 是
O
e
关于直线
3
y
x
b
= -
+
的“对称弦”，且
1
MN = ，
直接写出ON 的最值和相应b 的值．
2．（2024 年北京市平谷区中考二模）平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB ，P 为线段AB 上一点( 不与点
A 、B 重合) ，以A 为圆心，AP 长为半径画
A
e
，以B 为顶点作
MBN
Ð
，
MBN
b
Ð
=
°，若角
MBN
Ð
的两边
一边与
A
e
相切，另一边与
A
e
相交，则称线段AB 与
A
e
关于点
—
P
b 关联．
(1)若点P 为线段AB 的中点，线段AB 与
A
e
关于点
—
P
b 关联，则满足条件的b 值可以是________①30°
②45°③60°④90°．
(2)
O
e
半径为1，P 是
O
e
上一点，(0
B
，)
m 是y 轴上一点，线段OB 与
O
e
关于点
90
P -
关联，直接写出m
的取值范围；
(3)
O
e
半径为1，点A 是
O
e
上一点，点
(5
B
，0) ，线段AB 与
A
e
关于点
60
P -
关联，若在直线y
x
b
=
+
上
存在满足条件的点P ，直接写出b 的取值范围．
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3．（2024 年北京市二中教育集团中考三模）在平面直角坐标系xOy 中，
O
e
的半径为1，对于直线l 和线
段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到
O
e
的弦A B
（A，B分别为A，B 的对应
点），则称线段AB 是
O
e
的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1 中，线段AB 是
O
e
的关于直线l
对称的“关联线段”．
(1)如图2，点
1A ，
1
B ，
2
A ，
2
B ，
3
A ，
3
B 的横、纵坐标都是整数．
①在线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 中，
O
e
的关于直线
2
y
x
=
+
对称的“关联线段”是______；
②若线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 中，存在
O
e
的关于直线y
x
m
= - +
对称的“关联线段”，则m = ______；
(2)已知


3
0
y
x
b b
= -
+
>
交x 轴于点C，在
ABC
V
中，
3
AC =
，
2
AB =
．若线段AB 是
O
e
的关于直线


3
0
y
x
b b
= -
+
>
对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．
4．（2022 年北京市中国人民大学附属中学中考一模）我们规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最
小值，称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值，称为该点到这个图形
的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R
D
d
=
-
．
(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，图形
1
G 为以O 为圆心，2 为半径的圆，直接写出以下各点到图形
1
G
的距离跨度：


1,0
A -
的距离跨度 ； 
1
3
,
2
2
Bæ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
的距离跨度 ；
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

3,2
C -
的距离跨度 ；
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，图形M 为函数


3
0
3
y
x x
=
³
的图象，
C
e
和
D
e
的半径均为3，圆
心分别为


,0
C t
，


4
,0
D
t
-
，将图形M 上的所有点到
C
e
和
D
e
的距离跨度的最小值分别记为g 和d ，若
g 和d 中有且仅有一个大于4，直接写出t 的取值范围．
【题型2  一次函数与三角形四边形综合】
主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题
意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
5．（北京师范大学第二附中西城实验学校2022－2023 学年九年级上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，
对于线段AB 和点C，若
ABC
V
是以AB 为一条直角边，且满足AC
AB
>
的直角三角形，则称点C 为线段AB
的“从属点”．
已知点A 的坐标为( 0, 1) ．
(1)如图1，若点B 为

2,1 ，在点


1 0, 2
C
-
，


2 2,2
C
，


3 1,0
C
，


4 0,3
C
中，线段AB 的“从属点”是
___________；
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(2)如图2，若点B 为

1,0 ，点P 在直线
2
3
y
x
= -
-
上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；
(3)点B 为x 轴上的动点，直线


4
0
y
x
b b
=
+
¹
与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，若存在某个点B，使得线
段MN 上恰有2 个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．
6．（北京市第一七一中学2022-2023 九年级上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知点


,
M a b ，对
于点

,
P x y 给出如下定义：将点P 向右（
0
a >
）或向左（
0
a <
）平移a 个单位长度，再向上（
0
b >
）或
向下（
0
b <
）平移b 个单位长度，得到点P，点P与点M 的中点为Q，称点Q 为点P 的关于点M 的“平
移中点”．【已知


1
1
,
A x y
，


2
2
,
B x
y
，则AB 中点坐标为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø 】
(1)①若


3,2
A
，


10
B
,
，则AB 中点坐标为______；
②若


2,1
M
，


2,4
P
，则点Q 的坐标为______
(2)已知


1,1
M
，点P 在直线l：
3
y
x
=
上．当点Q 在第一象限时，点P 横坐标t 取值范围是______
(3)已知正方形ABCD 的边长为2，各边与x 轴平行或者垂直，其中心为

5,5 ，点

,
P x y 为正方形ABCD 上
的动点
①当
0
a
b
=
=
时，在点P 运动过程中，点Q 形成的图形的面积是______
②当点


,
M a b 在直线：
3
y
x
=
上，在点P 运动过程中，若存在点Q 在正方形ABCD 的边上或者内部，则a
的取值范围是______．
7．（2022 年北京市海淀区九年级数学二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN，直线l 和图形W 给
出如下定义：线段MN 关于直线l 的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N 的对应点）．若MN 与M'N'均
在图形W 内部（包括边界），则称图形W 为线段MN 关于直线l 的“对称封闭图形”．
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(1)如图，点P（-1，0）．
① 已知图形W1：半径为1 的⊙O，W2：以线段PO 为边的等边三角形，W3：以O 为中心且边长为2 的正
方形，在W1，W2，W3 中，线段PO 关于y 轴的“对称封闭图形”是　　　　；
② 以O 为中心的正方形ABCD 的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD 是线段PO 关于直线 y = 
x + b 的“对称封闭图形”，求b 的取值范围；
(2)线段MN 在由第四象限、原点、x 轴正半轴以及y 轴负半轴组成的区域内，且MN 的长度为2．若存在点
Q（
2 2
2 2
a
a
-
+
，
），使得对于任意过点Q 的直线l，有线段MN，满足半径为r 的⊙O 是该线段关于l 的
“对称封闭图形”，直接写出r 的取值范围．
8．（2024年北京市八一教育集团、北京市第十九中学中考零模）在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，
其中
( 2,
2), ( 2, 2)
A
B
-
，
(
2, 2),
(
2,
2),
C
D
M
N
-
-
-
、
为正方形外两点，
1
MN = ．给出如下定义：
如果线段MN 平移m 个单位后，两端点均落在正方形ABCD 的边上，则称m 的最小值为线段MN 到正方形
ABCD 的“平移距离”，记为d．
  
(1)如图1，平移线段MN ，得到两条端点在正方形ABCD 边上且长度为1 的线段
1
2
PP 和
3
4
P P ，则这两条线段
的位置关系是_________；在点
1
2
3
4
,
,
,
P P P P 中，连接点M 与点________的线段的长度等于d．
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(2)若点
,
M N 都在直线
4
y
x
= - +
上，求d 的值；
(3)若点M 的坐标为5 2 5 2
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，直接写出d 的取值范围．
【题型3  二次函数综合】
考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱
形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键.
9．（2024 年北京市学业水平考试数学模拟）对于两条不平行的直线AM 和AN ，它们所夹的角之一为
a ．将点P 先关于AM 作轴对称点P，再将P关于AN 作轴对称点Q ．称Q 为P 的A
a
-
对称点


3,3 3 ,
T
T
-
e
的半径为1．
(1)当两条对称轴分别为y
x
=
和y
x
= - ，直接写出T 的
90
O -
° 对称点坐标
(2)直接写出T 的
75
O -
° 对称点横坐标的取值范围
(3) A 和B 是
2
y
ax
=
上两个不同的点，
,
OA
OB AB
^
交y 轴于.
C D 为O 的C
OAB
- Ð
对称点．D 的纵坐标取值
范围0
4048
D
y
<
<
，求a 的值
(4)
O
e
的半径为


2,
,0
A k
为x 轴除原点外一点，使得
O
e
上存在点B ，直线AB 交y 轴于点
,
C
T
e
上有O 的
C
OCB
- Ð
对称点直接写出k 的取值范围．
10．（2022 年北京市石景山区中考数学二模）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为

,a b ，点P 的变换
点P的坐标定义如下：
当a
b
> 时，点P的坐标为

,a b
-
；当a
b
£
时，点P的坐标为

,b a
-
．
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（1）点


3,1
A
的变换点A的坐标是　 　；点


4,2
B -
的变换点为B，连接
,
OB OB，则
BOB
Ð
=　 　°；
（2）已知抛物线


2
2
y
x
m
= -
+
+
与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ．点P 在抛物线


2
2
y
x
m
= -
+
+
上，点P 的变换点为P．若点P恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D

是菱形，求m
的值；
（3）若点F 是函数


2
6
4
2
y
x
x
= -
-
- £
£ -
图象上的一点，点F 的变换点为F，连接FF，以FF为直径
作
M
e
，
M
e
的半径为r ，请直接写出r 的取值范围．
11．（2021 年北京市海淀区中考二模）在平面直角坐标系xOy 中，
1
2
,
,
,
k
A A
A
¼
是k 个互不相同的点，若这
k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p
m
n
=
+
，则称p 为这k 个点的“特征值”，记
为
1
2
,
,
,
k
A A
A
p
¼
=
．如图1，点
(1,1),
(1,2),
,
1
2
3
M
N
T M N
á
ñ = +
= ．
（1）如图2，圆C 的圆心为(0,3) ，半径为5，与x 轴交于A，B 两点．
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①
,
T A B
á
ñ = ________，
, ,
T A B C
á
ñ = _________；
②直线
(
0)
y
b b
=
¹
与圆C 交于两点D，E，若
, ,
,
6
T A B D E
á
ñ =
，求b 的取值范围；
（2）点
1
2
8
,
,
,
A A
A
¼
到点O 的距离为1 或2 ，且这8 个点构成中心对称图形，
1
2
8
,
,
,
6
T A A
A
¼
=
，若抛物
线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
恰好经过
1
2
8
,
,
,
A A
A
¼
中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a 的所有可能
取值．
12．（2023 年北京市顺义区中考数学二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点




1,1 ,
1, 1
M
N
-
，经过某
点且平行于OM 、ON 或MN 的直线，叫该点关于OMN
D
的“关联线”．
例如，如图1，点

3,0
P
关于OMN
D
的“关联线”是：
3
y
x
=
+ ，
3
y
x
= - +
，
3
x =
．
(1)在以下3 条线中，________是点

4,3 关于OMN
D
的“关联线”(填出所有正确的序号)；①
4
x =
；②
=
5
y
x
-
-
；③
1
y
x
=
- ．
(2)如图2，抛物线


2
1
4
y
x
m
n
=
-
+
经过点


4,4
A
，顶点B 在第一象限，且B 点有一条关于OMN
D
的“关联
线”是
5
y
x
= - +
，求此抛物线的表达式；
(3)在(2)的条件下，过点A 作AC
x
^
轴于点C ，点E 是线段AC 上除点C 外的任意一点，连接OE ，将OCE
D
沿着OE 折叠，点C 落在点C的位置，当点C在B 点关于OMN
D
的平行于MN 的“关联线”上时，满足(2)中
条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE 上？
13．(22-23·【全国级联考】北京东城区·二模)研究发现，抛物线
2
1
y
x
4
=
上的点到点F(0，1)的距离与到直线
l：y
1
= - 的距离相等.如图1 所示，若点P 是抛物线
2
1
y
x
4
=
上任意一点，PH⊥l 于点H，则PF=PH.
基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小
值为d，称d 为点M 关于抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联距离；当2
d
4
£
£
时，称点M 为抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联点.
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（1）在点


1
M
2 0
，，


2
M
1 2
，，


3
M
4 5
，，


4
M
0
4
-
，
中，抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联点是_____ ；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，点


A t 1，，点

C t
13
+ ，，
①若t=4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联距离d 的取值范围；
②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联点，则t 的取值范围是________.
【题型4  反比例函数综合】
主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、
解直角三角形及反比例函数是解题的关键．
14．（北京市2024 年九年级中考押题卷）在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点坐标分别是A（x1，
y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC 的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，
|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC 的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC
的纵长，记作Dy；将
y
x
D
D 叫做△ABC 的纵横比，记作λ=
y
x
D
D ．
例如：如图1，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣
（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ=
y
x
D
D = 5
3 ．
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（1）如图2，点A（1，0），
①点B（2，1），E（﹣1，2），则△AOB 的纵横比λ1=　 　；△AOE 的纵横比λ2=　 　；
②点F 在第四象限，若△AOF 的纵横比为1，写出一个符合条件的点F 的坐标；
③点M 是双曲线y= 1
2x 上一个动点，若△AOM 的纵横比为1，求点M 的坐标；
（2）如图3，点A（1，0），⊙P 以P（0，3 ）为圆心，1 为半径，点N 是⊙P 上一个动点，直接写出△AON
的纵横比λ 的取值范围．
15．（北京市平谷区2023 年九年级中考二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点


2,3
A
，点


6,3
B
，连接AB ．如果线段AB 上有一个点与点P 的距离不大于1，那么称点P 是线段AB 的“环
绕点”．
(1)已知点


31.5
C
，
，


4 3.5
D
，
，


13
E ，，则是线段AB 的“环绕点”的点是 ；
(2)已知点


,
P m n 在反比例函数
8
y
x
=
的图象上，且点P 是线段AB 的“环绕点”，求出点P 的横坐标m 的取
值范围；
(3)已知
M
e
上有一点P 是线段AB 的“环绕点”，且点


4 1
M
，，求
M
e
的半径r 的取值范围．
16．（2024 年北京市顺义区中考二模）定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，
△PBC，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．
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例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P 为△ABC 的自
相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M 是曲线C：
3 3 (
0)
y
x
x
=
>
上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．
（1） 如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP=∠M，试说明点P 是△MON 的自相似点； 当点M 的坐标是
( 3,3) ，点N 的坐标是( 3,0)时，求点P 的坐标；
（2） 如图3，当点M 的坐标是(3, 3) ，点N 的坐标是(2,0) 时，求△MON 的自相似点的坐标；
（3） 是否存在点M 和点N，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说
明理由．
17．（北京市燕山区2023 年九年级一模）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为
梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（2 ，2 ），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．
（1）若点 P（2，b）是反比例函数
n
y
x
=
 (n 为常数，n ≠ 0) 的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；
（2）⊙ O 的半径是2 ，
①求出⊙ O 上的所有梦之点的坐标；
②已知点 M（m，3），点 Q 是（1）中反比例函数
n
y
x
=
 图象上异于点 P 的梦之点，过点Q 的直线 l 
与 y 轴交于点 A，tan∠OAQ＝ 1．若在⊙ O 上存在一点 N，使得直线 MN ∥ l 或 MN ⊥ l，求出 m 的取值
范围．
18．（2023 年北京市房山区中考一模）我们规定：形如


ax
k
y
a
b
k
k
ab
x
b
+
=
¹
+
、、为常数，且
 的函数叫做“奇
特函数”.当
0
a
b
=
=
时，“奇特函数” 
ax
k
y
x
b
+
=
+
就是反比例函数


0
k
y
k
x
=
¹
.
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（1） 若矩形的两边长分别是2 和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x
之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A，C 的坐标分别为（9，0）、（0，
3）．点D 是OA 的中点，连结OB，CD 交于点E，“奇特函数”
6
ax
k
y
x
+
=
-
的图象经过B，E 两点.
① 求这个“奇特函数”的解析式；
② 把反比例函数
3
y
x
=
的图象向右平移6 个单位，再向上平移  个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图
象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P，Q 两点，若以B、E、P、Q 为顶点组成
的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标．
（建议用时：60 分钟）
19．(22-23 九·北京师范大学实验中学·二模)在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:l y
kx
b
=
+
，给出如下定义：
若直线l 与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l 关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，
O
e
的半径为1，当
1
1
k
b
=
=
，
时，直接写出直线l 关于
O
e
的“圆截距”；
(2)点M 的坐标为( 1,0)
-
，
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①如图2，若
M
e
的半径为1，当
1
b = 时，直线l 关于
M
e
的“圆截距”小于4
5
5
，求k 的取值范围；
②如图3，若
M
e
的半径为2，当k 的取值在实数范围内变化时，直线l 关于
M
e
的“圆截距”的最小值为
2 2 ，直接写出b 的值．
20．(22-23 九下·北京首都师范大学附属中学二模·)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任
意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴
随点”．
例如：如图1，已知点


1,2
A
，

3,2
B
，


2,2
P
在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．
  
(1)如图2，已知点(
)
1,0
A
，


3,0
B
，P 是线段AB 上一点，直线EF 过


1,0
G -
，
3
0, 3
T æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
两点，当点P 是
直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；
(2)如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC
y
^
轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，
5
OC =
，点P 是
ABC
V
上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；
(3)如图4，以(
)
1,0
A
，

2,0
B
，

2,1
C
为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y
x
b
= - +
的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．