重难点06+新定义函数压轴题（4大题型+高分技法+限时提升练）（解析版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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重难点06 新定义函数压轴题
新定义函数题型往往融合了多个数学知识点，要求考生具备扎实的基础知识和灵活的思维能力。
例如，某些题目可能结合代数、几何或概率等不同领域的知识，考查学生对知识的综合运用能
力。近年来，北京中考数学压轴题中的新定义函数题型逐渐增多，且形式多样化。例如，2024
年中考数学压轴题中出现了几何新定义、数列新定义、函数新定义等多种类型，体现了试题设
计的灵活性和多样性。针对新定义函数题型，考生需要注重以下几点：
掌握基础知识：扎实掌握代数、几何、概率等基础知识，为理解新定义打下基础。
培养创新思维：通过练习类似题目，培养对新概念的理解能力和灵活运用能力。
注重阅读理解：提高对题干信息的提取和分析能力，避免因信息量大而产生困惑。
总结解题方法：通过总结典型题目的解题思路和方法，形成解题模板，提高解题效率。
【题型1  一次函数与圆综合】 
考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性
质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．
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1．（2024 学年北京市三帆中学中考模拟数学试题二模）在平面直角坐标系xOy 中，
O
e
的半径为1，对于
直线l 和线段PQ，给出如下定义：若线段PQ关于直线l 的对称图形是
O
e
的弦P Q
（P，Q分别为P，Q
的对应点），则称线段PQ是
O
e
关于直线l 的“对称弦”．
(1)如图，点
1A ，
2
A ，
3
A ，
1
B ，
2
B ，
3
B 的横、纵坐标都是整数．线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 中，是
O
e
关于直
线
1
y
x
=
+ 的“对称弦”的是 
(2)CD 是
O
e
关于直线


0
y
kx k
=
¹
的“对称弦”，若点C 的坐标为
1
3
,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，且
1
CD = ，直接写出点D 的
坐标；
(3)已知直线
3
y
x
b
= -
+
和点


2 3,3
M
，若线段MN 是
O
e
关于直线
3
y
x
b
= -
+
的“对称弦”，且
1
MN = ，
直接写出ON 的最值和相应b 的值．
【答案】(1)
1
1
A B
(2) 1
3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
或

1,0
-
(3)最小值：
13
ON =
，
4
b =
；最大值：
31
ON =
，
5
b =
【来源】2024 学年北京市三帆中学中考模拟数学试题二模
【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；
（2）根据题意可得直线


0
y
kx k
=
¹
垂直平分CC，DD，结合点C 的坐标，推得点D 在
O
e
上，即可得
出点D 是
C
e
与
O
e
交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点
1
D 、
2
D 的坐标；
（3）结合（2）可得点
1
N 是点
1
M
e
与
O
e
交点，先求出直线
3
y
x
b
= -
+
与x ，y 轴的交点坐标，求解
60
TKO
Ð
=
°，再画出图形，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如图所示：
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∴
O
e
关于直线
1
y
x
=
+ 的“对称弦”的是线段
1
1
A B ；
（2）解：设点C ，D 关于直线


0
y
kx k
=
¹
的对称点为C，D¢，
∴直线


0
y
kx k
=
¹
垂直平分CC，DD，
∵CD 是
O
e
关于直线


0
y
kx k
=
¹
的“对称弦”，
∴C，D¢在
O
e
上，
∵点C 的坐标为
1
3
,
2
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
∴
2
2
1
3
0
0
1
2
2
OC
æ
ö
æ
ö
=
-
-
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即点C 在
O
e
上，
∵直线


0
y
kx k
=
¹
经过圆心O ，
∴点D 也在
O
e
上，
∵
1
CD = ，
故点D 在以点C 为圆心，CD 为半径的圆上，如图：
C
e
与
O
e
交于点
1
D 与点
2
D ；
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连接OC ，
2
OD ，
∵
1
1
OC
CD
OD
=
=
，
即
1
OCD
△
是等边三角形，
故点
1
D 的横坐标为1
- ，点
1
D 的纵坐标为0，
同理，点
2
D 的横坐标为
1
2 ，点
2
D 的纵坐标为
2
2
1
3
1
=
2
2
æ
ö
-ç
÷
è
ø
，
综上，点D 的坐标为

1,0
-
或1
3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
（3）解：设点M 关于直线
3
y
x
b
= -
+
的对称点为
1
M ，
∴直线
3
y
x
b
= -
+
垂直平分
1
MM ，
∵线段MN 是
O
e
关于直线
3
y
x
b
= -
+
的“对称弦”， 
∴
1
M 在
O
e
上，
由（2）可得点
1
N 在以点
1
M 为圆心，MN 为半径的圆上，
又∵
1
MN = ，即
1
1
OM = ；
令直线
3
y
x
b
= -
+
与x ，y 轴交于点K ，T ，如图：
令
0
x =
，则y
b
=
，即点

0,
T
b ，OT
b
=
，
令
0
y =
，则
3
3
b
x =
，即点
3 ,0
3
b
K æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3
3
b
OK =
，
∴
tan
3
3
3
b
TKO
b
Ð
=
=
，
∴
60
TKO
Ð
=
°，
记
1
MM 与x 轴的交点为H ，而
1
TK
MM
^
，
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∴
30
MHO
Ð
=
° ，
∵
1
MN = ，
∴N 在以M 为圆心，1为半径的圆上，记
M
e
与格线的切点为N，连接MN，NN，
∴MN
x
^
轴，即MN
y
∥
轴，
∴
90
30
60
NMN
Ð
=
°-
° =
°，
∴
MNN
△
是等边三角形，
过N 作NQ
MN
^
于Q ，
∴
1
2
MQ
N Q

=
=
，
3
2
NQ =
，
∴
3 3 5
,
2
2
N æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
此时ON 最小，为
2
2
3 3
5
13
2
2
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
设直线
1
MM 表达式为y
mx
n
=
+
，
把


2 3,3
M
，
3 3 5
,
2
2
N æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
代入，
解得
3 ,
1
3
m
n
=
= ，
则直线
1
MM 为
3
1
3
y
x
=
+ ，
∴直线与y 轴的交点坐标为


1 0,1
N
，
由轴对称的性质可得：
1
TN
TN
=
，
∴

2
2
2
3 3
5
1
0
2
2
b
b
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
解得：
4
b =
；
当N 在M 的右边时，ON 最大，如图，
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同理可得：
5 3 7
,
2
2
N æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
则ON 最大值为：
2
2
5 3
7
31
2
2
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
此时


1 0,1
M
，
同理可得：
1
TM
TM
=
，
∴





2
2
2
1
0
2 3
3
b
b
-
=
-
+
-
，
解得：
5
b =
．
2．（2024 年北京市平谷区中考二模）平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB ，P 为线段AB 上一点( 不与点
A 、B 重合) ，以A 为圆心，AP 长为半径画
A
e
，以B 为顶点作
MBN
Ð
，
MBN
b
Ð
=
°，若角
MBN
Ð
的两边
一边与
A
e
相切，另一边与
A
e
相交，则称线段AB 与
A
e
关于点
—
P
b 关联．
(1)若点P 为线段AB 的中点，线段AB 与
A
e
关于点
—
P
b 关联，则满足条件的b 值可以是________①30°
②45°③60°④90°．
(2)
O
e
半径为1，P 是
O
e
上一点，(0
B
，)
m 是y 轴上一点，线段OB 与
O
e
关于点
90
P -
关联，直接写出m
的取值范围；
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(3)
O
e
半径为1，点A 是
O
e
上一点，点
(5
B
，0) ，线段AB 与
A
e
关于点
60
P -
关联，若在直线y
x
b
=
+
上
存在满足条件的点P ，直接写出b 的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)1
2
m
<
<
或
2
1
m
-
<
< -
(3)
1
5
5
2
2
2
b
- <
<
-
【来源】2024 年北京市平谷区中考二模数学试题
【分析】（1）由点P 为线段AB 的中点得
2
2
AB
AP
AN
=
=
,根据锐角三角函数可求出
30
ABN
Ð
=
° ，从而
60
MBN
Ð
<
° ，进而可得答案；
（2）根据题意，点A 与点O 重合，

0,1
P
，当点B 在y 轴的正半轴时和，当点B 在y 轴的负半轴时两种情
况求解即可；
（3）依题意当
60
b =
° ，则P 点就是线段AB 的中点，但是A 点是在圆A 上运动的，P 点只能是从中点H 的
右侧的范围满足题意的根据中位线的性质可得AB 中点G 始终在以 
5 ,0
2
Gæ
ö
ç
÷
è
ø为圆心,半径为1
2 的
G
e
上运动，
P 始终在线段 BH 扫得区域，进而上下平移y
x
b
=
+
，与
G
e
相切，即可求解．
【详解】（1）如图，
由新定义知BN 与
A
e
相切，
∴
90
ANB
Ð
=
° .
∵点P 为线段AB 的中点，
∴
2
2
AB
AP
AN
=
=
,
∴
1
sin
2
AN
ABN
AB
Ð
=
=
,
∴
30
ABN
Ð
=
° ,
∵BM 与
A
e
相交，
∴
60
MBN
Ð
<
° ,
∴①②符合题意.
故答案为：①②；
（2）如图，当点B 在y 轴的正半轴时，
Q线段OB 与
O
e
关于点
90
P -
关联，
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\
90
MBN
Ð
=
° ，
当BM 与
O
e
相切与点D 时，连接OD ，则
90
ODB
Ð
=
° ,
Q
90
ONB
Ð
=
°，
\四边形ODBN 是矩形，
Q BN
BD
=
，
\四边形ODBN 是正方形，
\
2
2
1
1
2
OB =
+
=
，
当点B 与点P 重合时，
1
OB = ，
\1
2
m
<
<
；
当点B 在y 轴的负半轴时，如图，
同理可求
2
1
m
-
<
< - .
综上可知，1
2
m
<
<
或
2
1
m
-
<
< -
（3）在
O
e
上任取一点A ，在AB 上任取一点P ，以A 为圆心，AP 为半径作
A
e
，过点B 分别作
A
e
的切线
,
BE BF ，
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∵要使线段AB 与
A
e
关于点
60
P -
关联，
∴
60
EBF
Ð
>
°
即
30
ABF
Ð
>
°
∴
1
2
AF
AP
AB
AB
=
>
取 AB 中点
,
H 则P 点在线段BH 上,不包括端点 B 、H .
随着 A 在 
O
e
上运动,取 OB 中点 G ,
∴AB 中点G 始终在以 
5 ,0
2
Gæ
ö
ç
÷
è
ø为圆心,半径为1
2 的
G
e
上运动，
∴P 始终在线段 BH 扫得区域,
∴当y
x
b
=
+
与
G
e
相切时,
如图所示，取点
5
0, 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø，则
45
OMG
Ð
=
°
∴TNG
V
是等腰直角三角形，
∴
2
2
2
TG
NG
=
=
∴
)
5
2 0
(
,
2
T
-
∵y
x
=
+ b 过点
)
5
2 0
(
,
2
T
-
,
代入解得：
2
5
2
b
-
=
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当y
x
b
=
+
过点

5,0 时,
5
b = - ,
∴
1
5
5
2
2
2
b
- <
<
-
.
【点睛】本题考查含30°的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，
一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键．
3．（2024 年北京市二中教育集团中考三模）在平面直角坐标系xOy 中，
O
e
的半径为1，对于直线l 和线
段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到
O
e
的弦A B
（A，B分别为A，B 的对应
点），则称线段AB 是
O
e
的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1 中，线段AB 是
O
e
的关于直线l
对称的“关联线段”．
(1)如图2，点
1A ，
1
B ，
2
A ，
2
B ，
3
A ，
3
B 的横、纵坐标都是整数．
①在线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 中，
O
e
的关于直线
2
y
x
=
+
对称的“关联线段”是______；
②若线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 中，存在
O
e
的关于直线y
x
m
= - +
对称的“关联线段”，则m = ______；
(2)已知


3
0
y
x
b b
= -
+
>
交x 轴于点C，在
ABC
V
中，
3
AC =
，
2
AB =
．若线段AB 是
O
e
的关于直线


3
0
y
x
b b
= -
+
>
对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．
【答案】(1)①
1
1
A B ；②3 或2；
(2)b 的最大值为4 3 ，
17
BC =
；最小值为2 3 ，
5
BC =
．
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【来源】2024 年北京市二中教育集团中考模拟数学试题（三）
【分析】（1）①分别画出线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 关于直线
2
y
x
=
+
对称线段，运用数形结合思想，即可
求解；
②从图象性质可知，直线y
x
m
= - +
与x 轴的夹角为45°，而线段
1
1
A B ⊥直线y
x
m
= - +
，线段
1
1
A B 关于直线
y
x
m
= - +
对称线段还在直线
1
1
A B 上，显然不可能是
O
e
的弦；线段
3
3
5
A B =
，
O
e
的最长的弦为2，得线
段
3
3
A B 的对称线段不可能是
O
e
的弦，而线段
2
2
A B ∥直线y
x
m
= - +
，线段
2
2
2
A B =
，所以线段
2
2
A B 的对称
线段
2
2
A B

，且线段
2
2
2
A B

=
，平移这条线段，使其在
O
e
上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
（2）先表示出
3
3
OC
b
=
，b 最大时就是CO 最大，b 最小时就是CO 长最小，根据线段AB 关于直线


3
0
y
x
b b
= -
+
>
对称线段A B
在
O
e
上，得
3
A C
AC
=
=
，再由三角形三边关系得
A C
OA
OC
A C
OA




-
£
£
+
，得当A为

1 0
，时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为

2 0
，；当A为

1 0
，时，
如图3，OC 最大，此时C 点坐标为

4 0
，，分两种情形分别求解．
【详解】（1）解：①分别画出线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 关于直线
2
y
x
=
+
对称线段，如图，
发现线段
1
1
A B 的对称线段是⊙O 的弦，
∴线段
1
1
A B ，
2
2
A B ，
3
3
A B 中，⊙O 的关于直线
2
y
x
=
+
对称的“关联线段”是
1
1
A B ，
故答案为：
1
1
A B ；
②从图象性质可知，直线y
x
m
= - +
与x 轴的夹角为45°，
∴线段
1
1
A B ⊥直线y
x
m
= - +
，
∴线段
1
1
A B 关于直线y
x
m
= - +
对称线段还在直线
1
1
A B 上，显然不可能是
O
e
的弦；
∵线段
2
2
3
3
2
1
5
A B =
+
=
，
O
e
的最长的弦为2，
∴线段
3
3
A B 的对称线段不可能是
O
e
的弦，
线段
2
2
A B 是⊙O 的关于直线y
x
m
= - +
对称的“关联线段”，
而线段
2
2
A B ∥直线y
x
m
= - +
，线段
2
2
2
A B =
，
∴线段
2
2
A B 的对称线段
2
2
A B

，且线段
2
2
2
A B

=
，平移这条线段，使其在
O
e
上，有两种可能，
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第一种情况
2
2
A
B


、
的坐标分别为


01
1 0
，，，，
此时
3
m =
；
第二种情况
2
2
A
B


、
的坐标分别为


1 0
0
1
-
-
，、，
此时
2
m =
，
故答案为：3 或2；
（2）已知


3
0
y
x
b b
= -
+
>
交x 轴于点C，在
ABC
V
中，
3
AC =
，
2
AB =
．若线段AB 是
O
e
的关于直
线


3
0
y
x
b b
= -
+
>
对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．
解：∵直线


3
0
y
x
b b
= -
+
>
交x 轴于点C，
当
0
y =
时，


0
3
0
x
b b
= -
+
>
，
解得：
3
3
x
b
=
∴
3
3
OC
b
=
即b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是OC 最小，
∵线段AB 是
O
e
的关于直线


3
0
y
x
b b
= -
+
>
对称的“关联线段”，
∴线段AB 关于直线


3
0
y
x
b b
= -
+
>
对称线段A B
在⊙O 上，
∴
3
A C
AC
=
=
在ACO

V
中，A C
OA
OC
A C
OA




-
£
£
+
∴当A为

1 0
- ，时，如图，OC 最小，此时C 点坐标为

2 0
，，
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将点C 代入直线
3
y
x
b
= -
+
中，得0
3
2
b
= -
´ +
解得：
2 3
b =
，
∵点B
B
，
关于
3
2 3
y
x
=-
+
对称
∴
2
2
1
2
5
BC
B C

=
=
+
=
，
∴当A为

1 0
，时，如图，OC 最大，此时C 点坐标为

4 0
，，
将点C 代入直线
3
y
x
b
= -
+
中，得0
3
4
b
= -
´ +
解得：
4 3
b =
，
∵点B
B
，
关于
3
2 3
y
x
=-
+
对称
∴
2
2
1
4
17
BC
B C

=
=
+
=
，
综上b 的最大值为4 3 ，
17
BC =
；最小值为2 3 ，
5
BC =
．
【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，对称轴的性质、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，
三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．
4．（2022 年北京市中国人民大学附属中学中考一模）我们规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最
小值，称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值，称为该点到这个图形
的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R
D
d
=
-
．
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(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，图形
1
G 为以O 为圆心，2 为半径的圆，直接写出以下各点到图形
1
G
的距离跨度：


1,0
A -
的距离跨度 ； 
1
3
,
2
2
Bæ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
的距离跨度 ；


3,2
C -
的距离跨度 ；
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，图形M 为函数


3
0
3
y
x x
=
³
的图象，
C
e
和
D
e
的半径均为3，圆
心分别为


,0
C t
，


4
,0
D
t
-
，将图形M 上的所有点到
C
e
和
D
e
的距离跨度的最小值分别记为g 和d ，若
g 和d 中有且仅有一个大于4，直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)2，2，4
(2) 2
0
t
- £ <
或4
6
t
< £
【来源】2022 年北京市中国人民大学附属中学中考一模数学试题
【分析】（1）先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d 和最大距离D ，即可得出跨度；
（2）分三种情况：①当
0
t <
时，②当0
4
t
£ £
时，③当
4
t >
时，分别求解即可.
【详解】（1）解：Q图形
1
G 为以O 为圆心，2 为半径的圆，
\直径为4，
( 1,0)
A -
Q
，
1
OA = ，
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\点A 到
O
e
的最小距离
2 1
1
d =
- = ，
点A 到
O
e
的最大距离
2
1
3
D =
+ = ，
\点A 到图形
1
G 的距离跨度
3
1
2
R
D
d
=
-
=
- =
；
1
3
,
2
2
B æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
Q
，
2
2
1
3
1
2
2
OB
æ
ö
æ
ö
\
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
\点B 到
O
e
的最小距离
2 1
1
d =
- = ，
点B 到
O
e
的最大距离
2
1
3
D
BF
FO
OB
=
=
+
=
+ = ，
\点B 到图形
1
G 的距离跨度
3
1
2
R
D
d
=
-
=
- =
；
( 3,2)
C -
Q
，
2
2
( 3)
2
13
OC
\
=
-
+
=
，
\点C 到
O
e
的最小距离
13
2
d =
-
，
点C 到
O
e
的最大距离
2
13
D =
+
，
\点C 到图形
1
G 的距离跨度
2
13
(
R
D
d
=
-
=
+
-
13
2)
4
-
= ；
故答案为2，2，4．
（2）解：设函数


3
0
3
y
x x
=
³
的图象上一点
3
, 3
A x
x
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
过点A 作AB
x
^
于B，如图，
则OB
x
=
，
3
3
AB
x
=
∴
3
tan
3
Ð
=
=
AB
AOB
OB
，
∴
30
AOB
Ð
=
° ，
分三种情况：①当
0
t <
时，如图，
i)当
4
g £ ，
4
d >
时，
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当点O 在
C
e
内时，即3
0
t
- < <
图形M 上的点为点O 时到
C
e
的距离跨度的值最小，
此时距离跨度




3
3
2
OC
OC
OC
=
+
-
-
=
，
∴2OC
g
=
，
∵


,0
C t
，


0.0
O
∴2
4
t
g
-
=
£
∴
2
t ³ - ，
过点D 作DP
OA
^
于P，此时图形M 上的点P 到
D
e
的距离跨度的值最小，
此时距离跨度




3
3
2
DP
DP
DP
=
+
-
-
=
，
∴2DP
d
=
∵


4
,0
D
t
-
，
∴


1
1 4
2
2
DP
OD
t
=
=
-
∴4
4
t
- >
∴
0
t <
综上，2
0
t
- £ <
，
ii)当
4
g > ，
4
d £
时，
同理可得2
4
t >
，4
4
t
- £
，得
2
t >
（舍去）；
②当0
4
t
£ £
时，如图，
过点D 作
1
DP
OA
^
于
1P ，过点C 作
2
CP
OA
^
于
2P ，
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i)当
4
g £ ，
4
d >
时， 
同理得
4
t £
，4
4
t
- >
，无解；
ii) 当
4
g > ，
4
d £
时，
同理得
4
t >
，4
4
t
- £
，则
4
t >
（舍去）；
③当
4
t >
时，如图，
当点O 在
D
e
内时，图形M 上的点为点O 时到
D
e
的距离跨度的值最小，
∴


2
2
4
OD
t
d
=
-
=
，
过点C 作CP
OA
^
于P，
同理2CP
t
g
= =
，
i)当
4
g £ ，
4
d >
时，
∴
4
t £
，

2
4
4
t -
>
，
∴无解；
ii)当
4
g > ，
4
d £
时，
∴
4
t >
，

2
4
4
t -
£
∴4
6
t
< £
，
综上，2
0
t
- £ <
或4
6
t
< £
．
【点睛】本题考查新定义，直角三角形的性质，一次函数的图象性质，三角函数等知识，属圆的综合题目，
是一道难点比较大的中考常考题，分类讨论是解本题的难点．
【题型2  一次函数与三角形四边形综合】
主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题
意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
5．（北京师范大学第二附中西城实验学校2022－2023 学年九年级上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，
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对于线段AB 和点C，若
ABC
V
是以AB 为一条直角边，且满足AC
AB
>
的直角三角形，则称点C 为线段AB
的“从属点”．
已知点A 的坐标为( 0, 1) ．
(1)如图1，若点B 为

2,1 ，在点


1 0, 2
C
-
，


2 2,2
C
，


3 1,0
C
，


4 0,3
C
中，线段AB 的“从属点”是
___________；
(2)如图2，若点B 为

1,0 ，点P 在直线
2
3
y
x
= -
-
上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；
(3)点B 为x 轴上的动点，直线


4
0
y
x
b b
=
+
¹
与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，若存在某个点B，使得线
段MN 上恰有2 个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．
【答案】(1)
1
C ，
2
C
(2)
2
5
,
3
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø 或
4
1
,
3
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
(3)
5
b >
或
4
b < -
【来源】北京师范大学第二附中西城实验学校2022－2023 学年九年级上学期期中考试数学试卷
【分析】（1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可；
（2）分
90
ABP
Ð
=
°和
90
BAP
Ð
=
°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；
（3）画出图象，分
0
b >
和
0
b <
两种情况，分别求出其临界值，从而得到b 的取值范围．
【详解】（1）解：
1(0
2)
C
-
，
，则
1
3
2
AC
AB
=
>
=
，且
ABC
V
为直角三角形，故
1
C 是线段AB 的“从属点”；
2(2 2)
C
，，则
2
5
2
AC
AB
=
>
=
，且
ABC
V
为直角三角形，故
2
C 是线段AB 的“从属点”；
3(1,0)
C
，则AB 不是直角边，故
3
C 不是线段AB 的“从属点”；
4(0,3)
C
，则
4
2
AC
AB
=
=
，故
4
C 不是线段AB 的“从属点”；
综上：线段AB 的“从属点”是
1
C ，
2
C
（2）解：设点P 的坐标为

, 2
3
a
a
-
-
，
Q点P 为线段AB 的“从属点”，
①
90
ABP
Ð
=
°时，由题意可知：
1
OA
OB
=
= ，
\
OAB
△
为等腰直角三角形，
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\
45
ABO
Ð
=
°，∴
45
OBP
Ð
=
°，
过点P 作PF
y
^
轴，垂足为F，BP 交y 轴于点E，
可知
OBE
△
和
PEF
!
为等腰直角三角形，
\
1
OE
OB
=
= ，PF
EF
a
=
= - ，\
1
OF
a
= -
，
则1
2
3
a
a
-
=
+ ，解得：
2
3
a = -
，\点P 的坐标为
2
5
,
3
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，此时AP
AB
>
；
②
90
BAP
Ð
=
°时，过点P 作PG
x
^
轴，垂足为G，AP 交x 轴于点H，
同理可知：
45
OAP
AHO
PHG
Ð
=
° = Ð
= Ð
，
\
AOH
△
和PHG
V
为等腰直角三角形，
\
1
AO
HO
=
= ，
2
3
PG
HG
a
=
=
+ ，\
2
4
OG
a
=
+
，
则2
4
a
a
-
-
=
，解得：
4
3
a = -
，
\点P 的坐标为
4
1
,
3
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，此时AP
AH
HP
AB
=
+
>
；
综上，点P 的坐标为：
2
5
,
3
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø 或
4
1
,
3
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
（3）解：如图，AC
AE
AB
=
=
由“从属点”的定义可知：线段AB 的从属点在射线
1
CC ，
1
EE ，BD 上，
当
0
b >
时，当点B 和原点重合时，若要满足线段MN 上恰有2 个线段AB 的“从属点”，则点C 在线段MN 上
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此时点
1( 1,1)
C -
，代入
4
y
x
b
=
+
，得：
5
b =
从而当
5
b >
时，总能找到点B，满足条件，
故
5
b >
当
0
b <
时，若要满足线段MN 上恰有2 个线段AB 的“从属点”，
如图，当点E 和M 重合时，
AB
AE
=
Q
ABE
\V
为等腰直角三角形
可得：
1
AO
EO
=
= ，即
(1,0)
E
，代入
4
y
x
b
=
+
，得：
4
b = -
而当
4
b > - 时，四条射线
1
CC 、
1
DD 、
1
EE 、
1
FF 无法与线段MN 产生两个交点，
从而当
4
b < - 时，总能找到点B，满足条件，
故
4
b < -
综上，b 的取值范围是：
5
b >
或
4
b < -
6．（北京市第一七一中学2022-2023 九年级上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知点


,
M a b ，对
于点

,
P x y 给出如下定义：将点P 向右（
0
a >
）或向左（
0
a <
）平移a 个单位长度，再向上（
0
b >
）或
向下（
0
b <
）平移b 个单位长度，得到点P，点P与点M 的中点为Q，称点Q 为点P 的关于点M 的“平
移中点”．【已知


1
1
,
A x y
，


2
2
,
B x
y
，则AB 中点坐标为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø 】
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(1)①若


3,2
A
，


10
B
,
，则AB 中点坐标为______；
②若


2,1
M
，


2,4
P
，则点Q 的坐标为______
(2)已知


1,1
M
，点P 在直线l：
3
y
x
=
上．当点Q 在第一象限时，点P 横坐标t 取值范围是______
(3)已知正方形ABCD 的边长为2，各边与x 轴平行或者垂直，其中心为

5,5 ，点

,
P x y 为正方形ABCD 上
的动点
①当
0
a
b
=
=
时，在点P 运动过程中，点Q 形成的图形的面积是______
②当点


,
M a b 在直线：
3
y
x
=
上，在点P 运动过程中，若存在点Q 在正方形ABCD 的边上或者内部，则a
的取值范围是______．
【答案】(1)①

2,1     ②

3,3
(2)
1
t > -
(3)①1      ②5
7
6
6
a
£
£
【来源】北京市第一七一中学2022-2023 九年级上学期期中
【分析】（1）①根据中点坐标公式即可求解；②根据定义可求P的坐标，再由中点坐标公式求出Q 的坐
标．
（2）根据题意可得


1,2
1
P t
t

+
+
，再根据“平移中点”的定义，可得
1+
,
1
2
t
Q
t
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ，再由点Q 在第一象限，
可得到关于t 的不等式组，即可求解．
（3）①根据“平移中点”的定义，可得
,
2 2
x y
Qæ
ö
ç
÷
è
ø，从而得到Q 点形成的正方形边长为1，即可求解；②根据
题意可得
+
,3 +
2
2
x
y
Q a
a
æ
ö
ç
÷
è
ø ，从而得到3
5
x
£
£
，3
5
y
£
£
，再求出临界值，即可求解．
【详解】（1）解：①解： Q


3,2
A
,


1 0
B ，
\ AB 中点坐标公式为3+1 2+0
2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
，即

21，
故答案为：

21，
②解：Q


2 4
P
，向右平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到


4 5
P
，
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\


4 5
P
，与


21
M
，的中点坐标为
4+2 1+5
2
2
Qæ
ö
ç
÷
è
ø
，
，即

3 3
，
故答案为：

3 3
，
（2）解：∵点P 在直线l ：
3
y
x
=
上，


1,1
M
，
∴


1,2
1
P t
t

+
+
，
∴
1+
,
1
2
t
Q
t
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ， 
∵点Q 在第一象限，
∴
1
0
2
1
0
t
t
ì +
>
ïí
ï + >
î
， 
∴
1
t > -
（3）解：①：当
0
a
b
=
=
时，


0,0
M
Q


,
P x y
\


,
P
x y

,
2 2
x y
Qæ
ö
\
ç
÷
è
ø
Q P 点在正方形ABCD 上
Q
\
点的运动形成的图形也是正方形
Q正方形ABCD 的边长为2
Q
\
点形成的正方形边长为1
\点Q 形成的图形的面积是1
故答案为：1
②解：Q点


M a
b
，
在直线：
3
y
x
=
上
\


,3
M a
a
Q点

P x
y
，
\


+ , +3
P
x a y
a

+
,3 +
2
2
x
y
Q a
a
æ
ö
\
ç
÷
è
ø
Q正方形的中心是

5,5 ，边长为2
∴3
5
x
£
£
，3
5
y
£
£
，
当
3
2
x
a +
=
时，
6
2
x
a
=
-
，
∴3
6
2
5
a
£
-
£
，
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∴
3
1
2
a
- £
£
时，存在点Q 在正方形ABCD 的边上或者内部；
当3
5
2
y
a +
=
时，
10
6
y
a
=
-
，
∴3
10
6
5
a
£
-
£
，
∴5
7
6
6
a
£
£
时，存在点Q 在正方形ABCD 的边上或者内部；
综上所述：5
7
6
6
a
£
£
时，存在点Q 在正方形ABCD 的边上或者内部．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，理解定义，灵活应用中点坐
标公式，数形结合解题是关键．
7．（2022 年北京市海淀区九年级数学二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN，直线l 和图形W 给
出如下定义：线段MN 关于直线l 的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N 的对应点）．若MN 与M'N'均
在图形W 内部（包括边界），则称图形W 为线段MN 关于直线l 的“对称封闭图形”．
(1)如图，点P（-1，0）．
① 已知图形W1：半径为1 的⊙O，W2：以线段PO 为边的等边三角形，W3：以O 为中心且边长为2 的正
方形，在W1，W2，W3 中，线段PO 关于y 轴的“对称封闭图形”是　　　　；
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② 以O 为中心的正方形ABCD 的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD 是线段PO 关于直线 y = x 
+ b 的“对称封闭图形”，求b 的取值范围；
(2)线段MN 在由第四象限、原点、x 轴正半轴以及y 轴负半轴组成的区域内，且MN 的长度为2．若存在点
Q（
2 2
2 2
a
a
-
+
，
），使得对于任意过点Q 的直线l，有线段MN，满足半径为r 的⊙O 是该线段关于l 的
“对称封闭图形”，直接写出r 的取值范围．
【答案】(1)① 
1
W ，
3
W ；②b 的取值范围是1
2
b
- £
£
(2)
82
r ³
【来源】2022 年北京市海淀区九年级数学二模试题
【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可；
②记点P，O 关于直线y
x
b
=
+
的对称点分别为P，O，先求出直线PP、直线OO的解析式，再根据图
象找到当直线y
x
b
=
+
随着b 的变化上下平移时的临界情况，解答即可；
（2）根据题意，确定出当三角形MON 为等腰直角三角形且∠MON=90°时r 最小，作MN 关于直线
4 2
y
x
=
+
的对称图形
'
'
M N ，用勾股定理求出
'
ON 的长度即可．
【详解】（1）解：①线段PO 关于y 轴对称图形为线段OP，即线段PP在图形W 内（包括边界），
其中，P（-1，0），P（0，1），
故图形W1 及W3，符合题意，
故答案为：
1
W ，
3
W ．
②记点P，O 关于直线y
x
b
=
+
的对称点分别为P，O，则直线y
x
b
=
+
垂直平分线段PP和OO，因此
直线PP的解析式为=
1
y
x
-
- ，直线OO的解析式为y
x
= - ，由于线段PO 在x 轴上，故关于直线y
x
b
=
+
的对称后，P O
⊥x 轴．
如图，当直线y
x
b
=
+
随着b 的变化上下平移时，临界情况是：
当点P 对称后得到P在
2
y = - 上，即P（1，2
- ）时，PP中点为（1
- ，0），此时
1
b = - ；
当点O 对称后恰好为（2，2）时，OO中点为（1，1），此时
2
b =
.
依题意，b 的取值范围是1
2
b
- £
£
．
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（2）解：由题意知，当三角形MON 为等腰直角三角形且∠MON=90°时r 最小，
由Q 点坐标知，Q 点在直线
4 2
y
x
=
+
上运动，
作线段MN 关于直线
4 2
y
x
=
+
的对称图形
'
'
M N ，则r≥
'
ON ，
取MN 中点E，
'
'
M N 中点为G，连接EG 交直线
4 2
y
x
=
+
于F，连接
'
ON ，如图所示，
∵MN=2，
∴OE=1，
设直线
4 2
y
x
=
+
交坐标轴于P、S，则PS=8，
∴OF=4，
由对称知，EF=GF=5，
'
1
GN = ，
由勾股定理得：
2
2
'
9
1
82
ON =
+
=
，
故答案为：
82
r ³
．
8．（2024年北京市八一教育集团、北京市第十九中学中考零模）在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，
其中
( 2,
2), ( 2, 2)
A
B
-
，
(
2, 2),
(
2,
2),
C
D
M
N
-
-
-
、
为正方形外两点，
1
MN = ．给出如下定义：
如果线段MN 平移m 个单位后，两端点均落在正方形ABCD 的边上，则称m 的最小值为线段MN 到正方形
ABCD 的“平移距离”，记为d．
  
(1)如图1，平移线段MN ，得到两条端点在正方形ABCD 边上且长度为1 的线段
1
2
PP 和
3
4
P P ，则这两条线段
的位置关系是_________；在点
1
2
3
4
,
,
,
P P P P 中，连接点M 与点________的线段的长度等于d．
(2)若点
,
M N 都在直线
4
y
x
= - +
上，求d 的值；
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(3)若点M 的坐标为5 2 5 2
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，直接写出d 的取值范围．
【答案】(1)平行；
1P
(2)
3
2 2
2
-
(3)3
29
d
£
<
【来源】2024 年北京市八一教育集团、北京市第十九中学中考零模数学试题
【分析】（1）由平移的性质可得：
1
2
3
4
PP
P P
∥
，由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M 与点
1P 的
线段的长度等于d．
（2）如图，在正方形ABCD 的边上取
2
2
BE
BF
=
=
，可得
1
EF
MN
= =
，再结合一次函数的性质与垂线段
最短可得答案；
（3）如图，当MN 平行于正方形的边时，不妨设当MN
AB
∥
，且MN
BK
=
，K 在AB 上（或K 在BC 上）
时，此时平移距离最短，如图，当MN 与正方形的边不平行时，此时E 越接近C 时，平移距离最大，再利
用勾股定理可得结论．
【详解】（1）解：由平移的性质可得：
1
2
MN
PP
∥
，
3
4
MN
P P
∥
，
∴
1
2
3
4
PP
P P
∥
，
由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M 与点
1P 的线段的长度等于d．
（2）如图，在正方形ABCD 的边上取
2
2
BE
BF
=
=
，则
2
2
1
EF
BE
BF
MN
=
+
= =
，
  
∵

2,
2
B
，
∴
2 ,
2
2
E æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2, 2
F æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
设直线EF 为y
kx
b
=
+
，
∴
2
2
2
2
2
2
k
b
k
b
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
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解得：
1
3
2
2
k
b
= -
ìïí =
ïî
，
∴直线EF 为
3
2
2
y
x
= - +
，
∴EF∥直线
4
y
x
= - +
，
当EM ^ 直线
4
y
x
= - +
时，d
ME
=
，
记直线EF 的交点为I ，过I 作IJ ^ 直线
4
y
x
= - +
于J ，则IJ
EM
=
，
当
3
2
0
2
y
x
= - +
=
时，则
3
2
2
x =
，
∴
3
2,0
2
I æ
ö
ç
÷
è
ø ，
记直线
4
y
x
= - +
与x 轴的交点为K ，
∴
45
JKI
Ð
=
°，
同理可得：


4,0
K
，
∴
2
2
3 2
3
4
2 2
2
2
2
2
IJ
KI
æ
ö
=
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
∴
3
2 2
2
d =
-
；
（3）如图，当MN 平行于正方形的边时，
不妨设当MN
AB
∥
，且MN
BK
=
，K 在AB 上（或K 在BC 上）时，
此时平移距离最短，
  
∵

2,
2 ,
B
5 2 5 2
,
2
2
M æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
∴
2
2
5 2
5 2
2
2
3
2
2
BM
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
如图，当MN 与正方形的边不平行时，
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此时E 越接近C 时，平移距离最大，
∵

2,
2 ,
C -
5 2 5 2
,
2
2
M æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
∴
2
2
5 2
5 2
2
2
29
2
2
CM
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
∴3
29
d
£
<
；
【点睛】本题考查的是新定义的含义，正方形的性质，一次函数的性质，圆的基本性质，本题难度大，理
解题意是关键．
【题型3  二次函数综合】
考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱
形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键.
9．（2024 年北京市学业水平考试数学模拟）对于两条不平行的直线AM 和AN ，它们所夹的角之一为
a ．将点P 先关于AM 作轴对称点P，再将P关于AN 作轴对称点Q ．称Q 为P 的A
a
-
对称点


3,3 3 ,
T
T
-
e
的半径为1．
(1)当两条对称轴分别为y
x
=
和y
x
= - ，直接写出T 的
90
O -
° 对称点坐标
(2)直接写出T 的
75
O -
° 对称点横坐标的取值范围
(3) A 和B 是
2
y
ax
=
上两个不同的点，
,
OA
OB AB
^
交y 轴于.
C D 为O 的C
OAB
- Ð
对称点．D 的纵坐标取值
范围0
4048
D
y
<
<
，求a 的值
(4)
O
e
的半径为


2,
,0
A k
为x 轴除原点外一点，使得
O
e
上存在点B ，直线AB 交y 轴于点
,
C
T
e
上有O 的
C
OCB
- Ð
对称点直接写出k 的取值范围．
【答案】(1)

3, 3 3
-
(2)3 3 或6
-
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(3)
1
2024
a =
(4)
14560 3
2730
0
9867
k
+
-
£
<
或
14560 3
2730
0
9867
k
+
<
£
【来源】2024 年北京市学业水平考试数学模拟试题
【详解】（1）解：如图所示，点T 关于直线y
x
= - 的对称点为S，点S 关于直线y
x
=
的对称点为Q，过点
T、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N、M，连接OT
OS
OQ
，
，
，
∵

3,3 3
T -
，
∴
3 3
3
ON
TN
=
=
，
，
∴
3
tan
3
TN
TON
ON
=
=
∠
，
∴
30
TON
Ð
=
° ，
∵直线y
x
= - 是第二、四象限的角平分线，y
x
=
是一、三象限的角平分线
∴
45
NOI
JOI
=
=
°
∠
∠
，
45
JOK
MOK
=
=
°
∠
∠
，
由轴对称的性质可得
45
30
15
OT
OS
OQ
IOS
IOT
=
=
=
=
° -
° =
°
，∠
∠
，
45
45
15
75
QOK
SOK
=
=
° +
° -
° =
°
∠
∠
，
∴
75
45
30
MOQ =
° -
° =
°
∠
；
在Rt
ONT
△
中，
6
sin
TN
OT
TON
=
=
∠
，
∴
6
OQ
OT
=
=
，
在Rt OMQ
V
中，
sin
3
MQ
OQ
MOQ
=
×
=
∠
，
cos
3 3
MO
OQ
MOQ
=
×
=
∠
，
∴

3, 3 3
Q
-
；
如图所示，点T 关于直线y
x
=
的对称点为L，点L 关于直线y
x
= - 的对称点为M，
同理可得
75
LOP
TOP
=
=
°
∠
∠
，
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∴


45
45
45
75
30
MON
Ð
=
°-
°+
°-
° =
°，
∴同理可得


3, 3 3
M
-
；
综上所述，T 的
90
O -
° 对称点坐标为

3, 3 3
-
；
（2）解：如图所示，射线OC
OD
，
满足
75
COD
Ð
=
° ，
点T 关于射线OC 的对称点为A，点A 关系射线OD 的对称点为点B，过点B 作x 轴的垂线，垂足为F，
由轴对称的性质可得
AOC
TOC
AOE
BOE
=
=
∠
∠
，∠
∠
，
6
OB
OA
OT
=
=
=
，
∵
75
COD
Ð
=
° ，
∴
180
75
COE
COD
=
° -
=
°
∠
∠
，
∴
75
AOC
AOE
+
=
°
∠
∠
，
∴
210
AOC
AOE
TOC
BOE
+
+
+
=
°
∠
∠
∠
∠
∴
360
210
150
BOT =
° -
° =
°
∠
，
∴
30
90
30
BOF
BOT
=
-
° -
° =
°
∠
∠
，
在Rt
OBF
△
中，
sin
3
cos
3 3
BF
OB
BOF
OF
OB
BOF
=
×
=
=
×
=
∠
，
∠
，
∴

3 3, 3
B
-
，
∴T 的
75
O -
° 对称点横坐标为3 3 ；
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如图所示，射线OC
OD
，
满足
75
COD
Ð
=
° ，
点T 关于射线OD 的对称点为G，点G 关系射线OC 的对称点为点H，
同理可证明
150
TOH =
°
∠
  
∴
180
TOH
TOL
+
=
°
∠
∠
，
∴H
O
L
、、三点共线，即点H 在y 轴上，
∵
6
OH
OT
=
=
，
∴


0, 6
H
-
，
∴T 的
75
O -
° 对称点横坐标为6
- ；
综上所述，T 的
75
O -
° 对称点横坐标为3 3 或6
- ；
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（3）解：如图所示，不妨设抛物线开口向上，点A 在第二象限，分别过A、B 作x 轴的垂线，垂足分别为
L、E，
∵OA
OB
^
，
∴
90
ALO
AOB
BEO
=
=
=
°
∠
∠
∠
，
∴
90
LOA
LAO
LOA
EOB
+
=
+
=
°
∠
∠
∠
∠
，
∴
LAO
EOB
=
∠
∠
，
∴
AOL
OBE
△
∽△
，
∴AL
OL
OE
BE
=
，
设



2
2
,
,
A m am
B n an
，
，
∴
2
OL
m
AL
am
= -
=
，
，
2
OE
n
BE
an
=
=
，
，
∴
2
2
am
m
n
an
-
=
，
∴
2
1
mn
a
= -
；
设直线AB 解析式为y
kx
b
=
+
，
∴
2
2
mx
b
am
nx
b
an
ì
+
=
í
+
=
î
，
∴


k
a m
n
b
amn
ì =
+
í = -
î
，
∴直线AB 解析式为




1
y
a m
n x
amn
a m
n x
a
=
+
-
=
+
+
，
在


1
y
a m
n x
a
=
+
+
中，当
0
x =
时，
1
y
a
=
，
∴
1
0,
C
a
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
如图所示，射线CF
CH
，
满足
FCH
OAB
=
∠
∠
，且O 关于射线CF 的对称点为K，点K 关于射线CH 的对
称点为D，
由轴对称的性质可得
1
CD
CK
CO
a
=
=
=
，
∴点D 在以点C 为圆心，半径为1
a 的圆上运动（不包括与y 轴的交点），
∴
2
0
D
y
a
<
<
，
∵0
4048
D
y
<
<
，
∴2
4048
a =
，
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∴
1
2024
a =
；
当开口向下时，同理可得2
0
D
y
a <
<
，此时不满足题意；
综上所述，
1
2024
a =
；
（4）解：不妨设O 的C
OCB
- Ð
对称点为W，由于点O 关于经过点C 的两条射线（夹角为
OCB
Ð
）其中一
条对称后的点，再与W 关于另外一条射线对称，
∴CW
CO
=
一定成立，
∴不管点A 和点B 怎么运动，点W 一定在以C 为圆心，OC 的长为半径的圆上运动，
如图所示，当AB 与
O
e
相切，且
C
e
与
T
e 外切时，设


0,
C
t ，则
1
OC
t
CT
t
=
= +
，
，
∴





2
2
2
3
0
3 3
1
t
t
- -
+
-
=
+
，
解得


35 6 3
2
35
105 3
35
104
52
6 3
2
t
-
-
=
=
=
+
，
∴
105 3
35
52
OC
-
=
，
在Rt
OBC
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
105 3
35
147
25 3
2
52
52
BC
OC
OB
æ
ö
-
-
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
 ，
∴
147
25 3
147
25 3
52
cos
105 3
35
105 3
35
52
BC
BCO
OC
-
-
=
=
=
-
-
∠
，
∵
90
BOC
BCO
BOC
BOA
+
=
+
=
°
∠
∠
∠
∠
，
∴
BOA
BCO
Ð
= Ð
，
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在Rt
ABO
△
中，cos
OB
BOA
OA
=
∠
，
∴
210 3
70
14560 3
2730
cos
9867
147
25 3
OB
OA
BOA
-
+
=
=
=
-
∠
；
由于当AB 与
O
e
在x 轴上方相切时，直线AB 与y 轴交点C 的位置距离点O 最远，故当
14560 3
2730
9867
k
+
>
时，此时点C 的位置一定比
14560 3
2730
9867
k
+
=
时，且AB 与
O
e
相切时点C 的位置要低，即此时
C
e
与
T
e
没有交点；
当
14560 3
2730
0
9867
k
+
<
<
，此时点C 的位置一定比
14560 3
2730
9867
k
+
=
时，且AB 与
O
e
相切时点C 的位置
要高，那么一定在
O
e
上存在一点B 使得直线AB 经过105 3
35
52
-
，则此时一定可以满足
C
e
与
T
e 有交点，
综上所述，当
14560 3
2730
0
9867
k
+
<
£
此时一定可以满足
C
e
与
T
e 有交点，即
T
e 上有O 的C
OCB
- Ð
对称
点，
由对称性可得当
14560 3
2730
0
9867
k
+
-
£
<
时，也满足题意；
综上所述，当
14560 3
2730
0
9867
k
+
-
£
<
或
14560 3
2730
0
9867
k
+
<
£
时
T
e 上有O 的C
OCB
- Ð
对称点．
【点睛】本题主要考查了圆与一次函数综合，解直角三角形，二次函数综合，轴对称的性质，勾股定理，
相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于画出对应的示意图，利用数学结合的思想求解．
10．（2022 年北京市石景山区中考数学二模）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为

,a b ，点P 的变换
点P的坐标定义如下：
当a
b
> 时，点P的坐标为

,a b
-
；当a
b
£
时，点P的坐标为

,b a
-
．
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（1）点


3,1
A
的变换点A的坐标是　 　；点


4,2
B -
的变换点为B，连接
,
OB OB，则
BOB
Ð
=　 　°；
（2）已知抛物线


2
2
y
x
m
= -
+
+
与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ．点P 在抛物线


2
2
y
x
m
= -
+
+
上，点P 的变换点为P．若点P恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D

是菱形，求m
的值；
（3）若点F 是函数


2
6
4
2
y
x
x
= -
-
- £
£ -
图象上的一点，点F 的变换点为F，连接FF，以FF为直径
作
M
e
，
M
e
的半径为r ，请直接写出r 的取值范围．
【答案】（1）（﹣3，1）；90°；（2）
8
m =
或
2
m =
或
3
m =
；（3）r 的取值范围是3 10
10
5
r
£
£
．
【来源】2022 年北京市石景山区中考数学二模试题
【分析】（1）依据对应的定义可直接得点A、B的坐标，然后依据题意画出图形，过点B 作BC
y
^
轴，
垂足为C ，过点B D
y

^
轴，垂足为D ．接下来证明Rt BCO
Rt ODB
D
@
D
.由全等三角形的性质得到
BOC
B
Ð
= Ð
，然后可求得
90
BOB
°

Ð
=
.
（2）抛物线


2
2
y
x
m
= -
+
+
的顶点E 的坐标为E（-2，m），m>0，设点P 的坐标为




2
,
2
x
x
m
-
+
+
，①若


2
2
x
x
m
> -
+
+
，则点P的坐标为




2
,
2
P
x
x
m
-
-
+
+
．
然后依据点P' 恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D

是菱形，可得到关于x 和m 的方程组，从而可求
得m 的值；②若


2
2
x
x
m
£ -
+
+
，则点P的坐标为




2
2
,
P
x
m x

+
-
．同理可列出关于x、m 的方程组，
从而求得m 的值；
（3）设点F 的坐标为

, 2
6
x
x
-
-
，依据题意可得到点F的坐标为

2
6,
x
x
+
，然后依据两点间的距离公式
可得到FF的长度与x 的函数关系式，从而可求得FF的取值范围，然后可求得r 的取值范围.
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【详解】（1）∵点


3,1
A
，3＞1，
∴点A 的对应点A的坐标是（﹣3，1）．
∵


4,2
B -
，﹣4＜2，
∴点B 的变换点为B的坐标为（﹣2，﹣4）．
过点B 作BC
y
^
轴，垂足为C ，过点B D
y

^
轴，垂足为D ．
∵




4,2
2, 4
B
B
-
-
-
、
，
∴
2,
4
OC
B D
BC
OD

=
=
=
=
．
在Rt BCO
D
和Rt ODB
D
中
BC
OD
BCO
ODB
CO
B D

=
ì
ïÐ
= Ð
í
=

ïî
，
∴Rt BCO
Rt ODB
D
@
D
．
∴
BOC
B
Ð
= Ð
．
∵
90
B
B OD
°


Ð
+ Ð
=
，
∴
90
B OD
BOC
°

Ð
+ Ð
=
．
∴
90
BOB
°

Ð
=
．
故答案为（﹣3，1）；90°．
（2）由题意得


2
2
y
x
m
= -
+
+
的顶点E 的坐标为


2,
,
0
E
m
m
-
>
．
∵点P 在抛物线


2
2
y
x
m
= -
+
+
上，
∴设点P 的坐标为




2
,
2
x
x
m
-
+
+
．
①若


2
2
x
x
m
> -
+
+
，则点P的坐标为




2
,
2
P
x
x
m
-
-
+
+
．
∵点P恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D

是菱形，
∴


2
2
2
x
x
m
m
- = -
ìïí-
+
+
= -
ïî
∴
8
m =
，符合题意．
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②若


2
2
x
x
m
£ -
+
+
，则点P的坐标为




2
2
,
P
x
m x

+
-
．
∵点P恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D

是菱形，
∴

2
2
2
x
m
x
m
ì
+
-
= -
ïí
= -
ïî
∴
2
m =
或
3
m =
，符合题意．
综上所述，
8
m =
或
2
m =
或
3
m =
．
（3）设点F 的坐标为

, 2
6
x
x
-
-
．
当
2
6
x
x
> -
-
时，解得：
2
x > - ，不合题意．
当
2
6
x
x
£ -
-
时，解得：
2
x £ - ，符合题意．
∵点F 的坐标为

, 2
6
x
x
-
-
，且
2
6
x
x
£ -
-
，
∴点F的坐标为

2
6,
x
x
+
．
∴








2
2
2
2
2
12
72
2
6
2
6
6
3
6
10
5
5
FF
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
-
+ -
-
-
=
+
+ -
-
=
+
+
ç
÷
è
ø
．
∴当
12
5
x = -
时，FF有最小值，FF的最小值
72
6 10
5
5
=
=
，当
4
x = - 时，FF有最大值，EF的最大值
2 10
=
．
∴FF的取值范围为：6 10
2 10
5
FF
£
£
．
∵
1
2
r
FF
=
，
∴r 的取值范围是3 10
10
5
r
£
£
．
11．（2021 年北京市海淀区中考二模）在平面直角坐标系xOy 中，
1
2
,
,
,
k
A A
A
¼
是k 个互不相同的点，若这
k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p
m
n
=
+
，则称p 为这k 个点的“特征值”，记
为
1
2
,
,
,
k
A A
A
p
¼
=
．如图1，点
(1,1),
(1,2),
,
1
2
3
M
N
T M N
á
ñ = +
= ．
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（1）如图2，圆C 的圆心为(0,3) ，半径为5，与x 轴交于A，B 两点．
①
,
T A B
á
ñ = ________，
, ,
T A B C
á
ñ = _________；
②直线
(
0)
y
b b
=
¹
与圆C 交于两点D，E，若
, ,
,
6
T A B D E
á
ñ =
，求b 的取值范围；
（2）点
1
2
8
,
,
,
A A
A
¼
到点O 的距离为1 或2 ，且这8 个点构成中心对称图形，
1
2
8
,
,
,
6
T A A
A
¼
=
，若抛物
线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
恰好经过
1
2
8
,
,
,
A A
A
¼
中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a 的所有可能
取值．
【答案】（1）①3，5；②2
8
b
- <
<
且
0
b ¹
，
6
b ¹
；（2）1 或2 或14 ．
【来源】2021 年北京市海淀区中考二模数学试卷
【分析】（1）①先写出A，B 的坐标，然后根据题意即可求解；②D，E 两点都在直线
(
0)
y
b b
=
¹
上，而
A，B 两点都在直线
0
y =
上，因此A，B，D，E 四点纵坐标不同的取值有2 个，要使得
, ,
,
6
T A B D E
á
ñ =
，
则A，B，D，E 四点横坐标不同的取值必须有4 个，此时这四个点的横坐标均不能相同，由对称性，当
6
b =
时，D，E 分别为( 4,6)
-
和(4,6) ，其横坐标分别与A，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y
b
=
与
C
e
要有公共点，则2
8
b
- <
<
，答案可解；
（2）根据题意画出图形，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
，所以
0
a >
，抛物线开口向上，因为抛物线经过三
个点,且抛物线呈对称，分析抛物线可能经过的点，进行分类讨论即可解得答案．
【详解】（1）①由图可知






4,0 ,
4,0 ,
0,3
A
B
C
-
，
根据题意可得：
,
2 1
3
T A B
á
ñ =
+ =
，
, ,
3
2
5
T A B C
á
ñ =
+
=
，
故答案为：3,5；
②解：D，E 两点都在直线
(
0)
y
b b
=
¹
上，而A，B 两点都在直线
0
y =
上，因此A，B，D，E 四点纵坐标
不同的取值有2 个，要使得
, ,
,
6
T A B D E
á
ñ =
，则A，B，D，E 四点横坐标不同的取值必须有4 个，于是此
时这四个点的横坐标均不能相同．
由对称性，当
6
b =
时，D，E 分别为( 4,6)
-
和(4,6) ，其横坐标分别与A，B 的横坐标相同，不符合题意；
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由图可知，直线y
b
=
与
C
e
要有公共点，则2
8
b
- <
<
；
综上所述，b 的取值范围是2
8
b
- <
<
且
0
b ¹
且
6
b ¹
．
（2）∵T＜A1，A2，…，A8＞=6，
∴这8 个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6．
∵点A1，A2，…A8 到点O 的距离为1 或2 ，且这8 个点构成中心对称图形，
∴这8 个点构成的图形如下图所示：
它们的坐标分别为：A1（-1，1），A2（0，1），A3（1，1），A4（-1，0），A5（1，0），A6（-1，-1），
A7（0，-1），A8（1，-1）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0），
∴抛物线开口向上．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8 中的三个点，并以其中一个点为顶点，
∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A7 或A4，A5，A7．
∴抛物线经过A1，A3，A7 时，
1
1.
1
a
b
c
a
b
c
c
-
+
=
ì
ï +
+
=
í
ï
= -
î
解得：
2
0
1
a
b
c
=
ì
ï
=
í
ï = -
î
抛物线经过或A4，A5，A7 时，
0
0
1
a
b
c
a
b
c
c
-
+
=
ì
ï +
+
=
í
ï
= -
î
解得：
1
0
1
a
b
c
=
ì
ï
=
í
ï = -
î
或这8 个点构成的图形如下图所示：
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它们的坐标分别为：
1
2
3 2
14
2
14
(
,
),
(
,
)
4
4
4
4
A
A
-
-
，
3
4
5
2
14
3 2
14
3 2
14
(
,
),
(
,
),
(
,
)
4
4
4
4
4
4
A
A
A -
-
6
7
8
2
14
2
14
3 2
14
(
,
),
(
,
),
(
,
).
4
4
4
4
4
4
A
A
A
-
-
-
-
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8 中的三个点，并以其中一个点为顶点，
∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A6 或A4，A2，A7．
∴抛物线经过A1，A3，A6 时，A6 为顶点，经过A1，A3，设抛物线解析式为
2
2
14
(
)
.
4
4
y
x
=
+
-
将A3 坐标代入得：
14
2
2
14
(
)
.
4
4
4
4
a
=
+
-
解得：
14.
a =
抛物线经过A2，A4，A7 时，A7 为顶点，经过A2，A4，设抛物线解析式为
2
2
14
(
)
.
4
4
y
x
=
-
-
将A4 坐标代入得：
2
14
3 2
2
14
(
)
.
4
4
4
4
=
-
-
解得：
14.
a =
综上，a 的值为1 或2 或14
12．（2023 年北京市顺义区中考数学二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点




1,1 ,
1, 1
M
N
-
，经过某
点且平行于OM 、ON 或MN 的直线，叫该点关于OMN
D
的“关联线”．
例如，如图1，点

3,0
P
关于OMN
D
的“关联线”是：
3
y
x
=
+ ，
3
y
x
= - +
，
3
x =
．
(1)在以下3 条线中，________是点

4,3 关于OMN
D
的“关联线”(填出所有正确的序号)；①
4
x =
；②
=
5
y
x
-
-
；③
1
y
x
=
- ．
(2)如图2，抛物线


2
1
4
y
x
m
n
=
-
+
经过点


4,4
A
，顶点B 在第一象限，且B 点有一条关于OMN
D
的“关联
线”是
5
y
x
= - +
，求此抛物线的表达式；
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(3)在(2)的条件下，过点A 作AC
x
^
轴于点C ，点E 是线段AC 上除点C 外的任意一点，连接OE ，将OCE
D
沿着OE 折叠，点C 落在点C的位置，当点C在B 点关于OMN
D
的平行于MN 的“关联线”上时，满足(2)中
条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE 上？
【答案】(1)①③；(2)


2
1
2
3
4
y
x
=
-
+ ；(3) 9
2 3
3
-
.
【来源】2023 年北京市顺义区中考数学二模试题
【分析】(1)根据经过某点且平行于OM
ON
、
或MN 的直线，叫该点关于OMN
D
的“关联线”，可得答案；
(2)根据关联点，可得关于,n m 的关系，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于
,
m n 的方程，根据解方
程，可得答案；
(3)根据翻折的性质，可得
4
OC
OC
=
=
，根据直角三角形的性质，可得
C OH

Ð
的度数，根据正切函数，可
得PH ，根据线段的和差，可得平移的距离．
【详解】解：(1)是点

4,3 关于OMN
D
的“关联线”，①
4
x =
；③
1
y
x
=
- ，故选①③；
(2)∵抛物线的顶点


,
B m n 有一条关于OMN
D
的关联线是
5
y
x
= - +
，
∴
5
m
n
-
+
=
，
又∵抛物线过点


4,4
A
，
∴


2
1
4
4
4
m
n
=
-
+
，
联立，得


2
5
1 4
4
4
m
n
m
n
-
+
=
ìïí
-
+
=
ïî
，
∴
2
3
m
n
=
ì
í
=
î
或
10
5
m
n
=
ì
í
= -
î
∵顶点B 在第一象限，
∴
2
3
m
n
=
ì
í
=
î
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∴抛物线的表达式为


2
1
2
3
4
y
x
=
-
+ ；
(3)由


2
1
2
3
4
y
x
=
-
+ ，得顶点


2,3
B
．
将OCE
D
沿着OE 折叠，点C 落在点C的位置，得
4
2
OC
OC
C OP
COP
OH


=
=
Ð
= Ð
=
，
，
，
∴
0
60
C OH

Ð
=
，
∴
0
30
C OP
COP

Ð
= Ð
=
，
∴
0
3
2 3
tan30
2
3
3
PH
OH
=
=
´
=
g
，
∴抛物线需要向下平移的距离
2 3
9
2 3
3
3
3
BP
BH
PH
-
=
-
=
-
=
，
∴抛物线沿对称轴向下平移9
2 3
3
-
距离，其顶点落在OE 上．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是关联线的定义；解(2)的关键是利用关联线，图象上的
点满足函数解析式得出方程组；解(3)的关键是利用翻折的性质得出
4,
C OP
COP
OC
OC


=
=
Ð
= Ð
，又利用
了直角三角形的性质，锐角正切函数．
13．(22-23·【全国级联考】北京东城区·二模)研究发现，抛物线
2
1
y
x
4
=
上的点到点F(0，1)的距离与到直线
l：y
1
= - 的距离相等.如图1 所示，若点P 是抛物线
2
1
y
x
4
=
上任意一点，PH⊥l 于点H，则PF=PH.
基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小
值为d，称d 为点M 关于抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联距离；当2
d
4
£
£
时，称点M 为抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联点.
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（1）在点


1
M
2 0
，，


2
M
1 2
，，


3
M
4 5
，，


4
M
0
4
-
，
中，抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联点是_____ ；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，点


A t 1，，点

C t
13
+ ，，
①若t=4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联距离d 的取值范围；
②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线
2
1
y
x
4
=
的关联点，则t 的取值范围是________.
【答案】(1) 
1
2
M
M
，
；（2）①
29 .
d
4≤≤
  ②
3
3
1.
t
-
- 2
≤≤2
  
【来源】【全国市级联考】北京市东城区2022-2023 学年度第二学期初三年级统一测试（二模）数学试卷
【详解】【分析】（1）根据关联点的定义逐一进行判断即可得；
（2））①当t
4
=
时，


A 41，，

B 51，，

C 5 3
，，


D 4 3
，，可以确定此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物
线
2
1
y
x
4
=
的下方，所以可得d
MF
=
，由此可知AF
d
CF
£
£
，从而可得4
d
29
£
£
；
 ②由①知d
MF
=
，分两种情况画出图形进行讨论即可得. 
【详解】（1）


1
M
2 0
，，x=2 时，y=
2
1 x
4
=1，此时P（2，1），则d=1+2=3，符合定义，是关联点；


2
M
1 2
，，x=1 时，y=
2
1 x
4
= 1
4 ，此时P（1，1
4 ），则d= 7
4 + 

2
2
1
1 0
1
4
æ
ö
-
+
-
ç
÷
è
ø
=3，符合定义，是关联点；


3
M
4 5
，，x=4 时，y=
2
1 x
4
=4，此时P（4，4），则d=1+ 



2
2
4
0
1 4
-
+
-
=6，不符合定义，不是关联点；


4
M
0
4
-
，
，x=0 时，y=
2
1 x
4
=0，此时P（0，0），则d=4+5=9，不不符合定义，是关联点，
故答案为
1
2
M
M
，
；
（2）①当t
4
=
时，


A 41，，

B 51，，

C 5 3
，，


D 4 3
，，
此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线
2
1
y
x
4
=
的下方，
∴d
MF
=
，
∴AF
d
CF
£
£
，
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∵AF=4
CF= 29
，
，
∴4
d
29
£
£
；
 ②由①d
MF
=
，AF
d
CF
£
£
，
如图2 所示时，CF 最长，当CF=4 时，即

2
2
1
(3 1)
t +
+
-
=4，解得：t= 2 3 1
- ，
如图3 所示时，DF 最长，当DF=4 时，即DF=
2
2
(3 1)
t +
-
=4，解得 t= 2 3
-
， 
故答案为2 3
t
2 3 1.
-
£ £
-  
【点睛】本题考查了新定义题，二次函数的综合，题目较难，读懂新概念，能灵活应用新概念，结合图形
解题是关键.
【题型4  反比例函数综合】
主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、
解直角三角形及反比例函数是解题的关键．
14．（北京市2024 年九年级中考押题卷）在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点坐标分别是A（x1，
y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC 的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，
|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC 的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC
的纵长，记作Dy；将
y
x
D
D 叫做△ABC 的纵横比，记作λ=
y
x
D
D ．
例如：如图1，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣
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（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ=
y
x
D
D = 5
3 ．
（1）如图2，点A（1，0），
①点B（2，1），E（﹣1，2），则△AOB 的纵横比λ1=　 　；△AOE 的纵横比λ2=　 　；
②点F 在第四象限，若△AOF 的纵横比为1，写出一个符合条件的点F 的坐标；
③点M 是双曲线y= 1
2x 上一个动点，若△AOM 的纵横比为1，求点M 的坐标；
（2）如图3，点A（1，0），⊙P 以P（0，3 ）为圆心，1 为半径，点N 是⊙P 上一个动点，直接写出△AON
的纵横比λ 的取值范围．
【答案】     
①1
2 ；1；②


1, 1
F
-
；③1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 或1
3
1
3
,
2
2
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
     
3
1
3
3
l
£
£ +
【来源】【全国市级联考】北京市2024 年九年级中考押题卷数学试题
【详解】分析：（1）①根据纵横比的定义计算即可；
②点F 在第四象限的角平分线上即可；
③分三种情形讨论即可．
（2）如图3 中，当当


01
3
N
+
，
时，可得AON
V
的纵横比l 的最大值
1
3
1
3
1
+
=
= +
，
当
'
AN 与
P
e
相切时，切点在第二象限时，可得AON
V
的纵横比l 的最小值.
详解：
1 
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由题意AOB
V
的纵横比
1
1
2
AOE
V
，
l =
的纵横比
2
2
1
2
l =
= ，
故答案为1 1
2，．
②由点F 在第四象限，若AOF
V
的纵横比为1，则


1
1 (
F
-
，
在第四象限的角平分线上即可) ．
③如图设

.
M
M
M x
y
，
 
 
a、当0
1
M
x
<
£ 时，点M 在
1
2
y
x
=
上，则
0
M
y
>
，
此时AOM
V
的横长
1
x
D
AOM
= V
，
的纵长为
y
M
D
y
=
，
AOM
QV
的纵横比为1，
1
y
D
\
= ，
1
M
y
\
= 或1(
-
舍弃) ，
1
2
M
x
\
=
，
1 1
2
M æ
ö
\
ç
÷
è
ø
，．
b、当
1
M
x
> 时，点M 在
1
2
y
x
=
上，则
0
M
y
>
，
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此时AOM
V
的横长
x
M
D
x
AOM
V
，
=
的纵长为
y
M
D
y
=
，
AOM
QV
的纵横比为1，
y
x
D
D
\
=
，
M
M
x
y
\
=
 
2 (
2
M
y
\
= ±
舍弃) ，
c、当
0
M
x
<
时，点M 在
1
2
y
x
=
上，则
0
M
y
<
，
此时AOM
V
的横长
1
x
M
D
x
AOM
= -
V
，
的纵长为
y
M
D
y
= -
，
AOM
QV
的纵横比为1，
1
M
M
x
y
\ -
= -
，
1
3
2
M
x
-
\
=
或1
3 (
2
+
舍弃) ，
1
3
2
M
y
+
\
= -
，
1
3
1
3
'
2
2
M æ
ö
-
+
\
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
，
综上所述，点M 坐标为1 1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
，或1
3
1
3 .
2
2
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
 

2 如图3 中，当


01
3
N
+
，
时，可得AON
V
的纵横比l 的最大值
1
3
1
3
1
+
=
= +
，
当
'
AN 与
P
e
相切时，切点在第二象限时，可得AON
V
的纵横比l 的最小值，
3
1
OP
OA
=
=
Q
，
，
2
2
2.
'
'
3
PA
AN
PA
PN
\
=
=
-
=
，
tan
'
3
APN
\
Ð
=
，
'
60
APN
\Ð
=
o，易知
30
APO
Ð
=
o ，作
'
N H
OP
^
于H．
'
30
HPN
\Ð
=
o，
1
3
'
2
2
N H
PH
\
=
=
，
，
此时AON
V
的纵横比
3
3
2
3
3
2
l =
=
，
3
1
3
3
l
\
£
£ +
．
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点睛：属于新定义的问题，对于此类题目需要认真分析题目的定义再求解.
15．（北京市平谷区2023 年九年级中考二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点


2,3
A
，点


6,3
B
，连接AB ．如果线段AB 上有一个点与点P 的距离不大于1，那么称点P 是线段AB 的“环
绕点”．
(1)已知点


31.5
C
，
，


4 3.5
D
，
，


13
E ，，则是线段AB 的“环绕点”的点是 ；
(2)已知点


,
P m n 在反比例函数
8
y
x
=
的图象上，且点P 是线段AB 的“环绕点”，求出点P 的横坐标m 的取
值范围；
(3)已知
M
e
上有一点P 是线段AB 的“环绕点”，且点


4 1
M
，，求
M
e
的半径r 的取值范围．
【答案】(1)点D 和点E
(2) 2
4
m
£
£
(3)1
2 2
1
r
£
£
+
【来源】【全国区级联考】北京市平谷区2023 年九年级中考二模试卷数学试题
【详解】（1）解：由“环绕点”的定义可知：点P 到线段AB 上某一点的距离d 应满足：
1
d £ ，  
A
Q
、B 两点的纵坐标都是3，
AB
x
\
∥
轴，
∴点C 到线段AB 的距离为1.5
3
1.5
1
-
=
> ，
点D 到线段AB 的距离为3.5
3
0.5
1
-
=
< ，
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点E 到点A 的距离为2 1
1
-
= ，
∴点D 和E 是线段AB 的环绕点，
故答案为：点D 和点E；
（2）解：当点P 在线段AB 的上方，点P 到线段AB 的距离为1 时，8
4
m =
，
解得
2
m =
；
当点P 在线段AB 的下方，点P 到线段AB 的距离为1 时，8
2
m =
，
解得
4
m =
；
所以点P 的横坐标m 的取值范围为：2
4
m
£
£ ；
（3）解：当点P 在线段AB 的下方时，且到线段AB 的最小距离是1 时，
3
2
1
r =
-
= ；
当点P 在线段AB 的上方时，且到点A 的距离是1 时，如图，过点M 作MC
AB
^
于点C，连接MA 并延长
交
M
e
于P，
Q点


2,3
A
，点


6,3
B
，点


4 1
M
，，
\点C 是AB 的中点，
则
3 1
2
CM =
- =
，


2
1
1
6
2
2
2
AC
AB =
´
-
=
=
，
1
PA = ，
2
2
2
2
2
2
2 2
AM
AC
CM
\
=
+
=
+
=
∴
2 2
1
MP =
+ ，即
2 2 1.
r =
+
 
M
\e
的半径r 的取值范围是1
2 2
1
r
£
£
+ ．
16．（2024 年北京市顺义区中考二模）定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，
△PBC，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．
例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P 为△ABC 的自
相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
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在平面直角坐标系中，点M 是曲线C：
3 3 (
0)
y
x
x
=
>
上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．
（1） 如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP=∠M，试说明点P 是△MON 的自相似点； 当点M 的坐标是
( 3,3) ，点N 的坐标是( 3,0)时，求点P 的坐标；
（2） 如图3，当点M 的坐标是(3, 3) ，点N 的坐标是(2,0) 时，求△MON 的自相似点的坐标；
（3） 是否存在点M 和点N，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）
3 3
,
4
4
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
；（2）
3
1, 3
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
或
2 3
2,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
；（3）存在，
( 3,3),
(2 3,0)
M
N
【详解】解：(1)在△ONP 和△OMN 中， 
∵∠ONP=∠OMN，∠NOP=∠MON，
∴△ONP∽△OMN，
∴点P 是△MON 的自相似点. 
过点P 作PD⊥x 轴于D 点．
tan
3
MN
POD
ON
Ð
=
=
，
∴
60
MON
Ð
=
°，
∵△NOP∽△MON，M 的坐标是( 3,3) ，点N 的坐标是( 3,0)，
∴
90
MON
Ð
=
° , 
∴
90
OPN
Ð
=
°，
在Rt△OPN 中，
3
cos60
2
OP
ON
=
° =
，
3
1
3
cos60
2
2
4
OD
OP
=
° =
´
=
，
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∴
3
3
3
sin 60
2
2
4
PD
OP
=
=
´
=
o
，
∴
3 3
,
4
4
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
（2）①如图3，过点M 作MH⊥x 轴于H 点，
∵
(3, 3),
(2,0)
M
N
∴
2 3
OM =
，
∴直线OM 的表达式为
3
3
y
x
=
，
2
ON =
，
∵P 是△MON 的自相似点，
∴△PON ∽△NOM，
过点P 作PQ⊥x 轴于Q 点，
∴
1
,
1
2
PO
PN OQ
ON
=
=
= ，
∴P 的横坐标为1，
∴
3
3
1
3
3
y =
´ =
，
∴
3
1, 3
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
如图4，
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△PNM ∽△NOM，
∴PN
MN
ON
MO
=
，
∴
2 3
3
PN =
．
∵P 的纵坐标为2 3
3
，
∴2 3
3
3
3 x
=
，
∴
2
x =
，
∴
2 3
2,
3
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
综上所述，
3
1, 3
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
或
2 3
2,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
（3）存在点M 和点N，使△MON 无自相似点，
( 3,3),
(2 3,0)
M
N
．理由如下：
( 3,3),
(2 3,0)
M
N
Q
，
2 3
,
60
OM
ON
MON
\
=
=
Ð
=
°
∴△MON 是等边三角形，
∵点P 在△MON 的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M 和点N，使△MON 无自相似点．
17．（北京市燕山区2023 年九年级一模）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为
梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（2 ，2 ），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．
（1）若点 P（2，b）是反比例函数
n
y
x
=
 (n 为常数，n ≠ 0) 的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；
（2）⊙ O 的半径是2 ，
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①求出⊙ O 上的所有梦之点的坐标；
②已知点 M（m，3），点 Q 是（1）中反比例函数
n
y
x
=
 图象上异于点 P 的梦之点，过点Q 的直线 l 
与 y 轴交于点 A，tan∠OAQ＝ 1．若在⊙ O 上存在一点 N，使得直线 MN ∥ l 或 MN ⊥ l，求出 m 的取值
范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为
4
y
x
=
；
（2）①⊙ O 上的所有梦之点的坐标为（1,1）或（-1,-1）；②m 的取值范围是-5≤m≤-1 或1≤m≤5.
【来源】北京市燕山区2023 年九年级一模考试数学试题
【详解】试题分析：（1）由梦之点坐标特点可得b=2,再将P 坐标代入
n
y
x
=
中，即可求得n 的值；
（2）①设⊙O 上梦之点坐标是（a,a），由圆的半径是
2 得：


2
2
2
2
a
a
+
=
则a=1 或a=-1，所以⊙O 上所有梦之点坐标是（1,1）或（-1,-1）；② 由（1）可得，异于点P
的梦之点是（-2,-2），设直线MN 为y=-x+b，求得m 的取值范围；当直线MN 为y=x+b 时，求
得m 的取值范围；
试题解析：
解：(1)   ∵P（2,b）是梦之点
∴b=2
∴P（2,2）                                         
将P（2,2） 代入
n
y
x
=
 中得n=4
∴反比例函数解析式是
4
y
x
=
                         
(2) ①∵⊙O 的半径是
2
设⊙O 上梦之点坐标是（a,a）
∴


2
2
2
2
a
a
+
=
∴
2
1
a =
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a=1 或a=-1
∴⊙O 上所有梦之点坐标是（1,1）或（-1,-1）     
②由(1)知，异于点P 的梦之点是（-2,-2）                
∵tan∠OAQ=1  
∴∠OAQ==45°                                      
由已知MN∥l 或MN⊥l，如图所示：
∴直线MN 为y=-x+b 或y=x+b
当MN 为y=-x+b 时，m=b-3
由图可知，当直线MN 平移至与⊙O 相切时，
且切点在第四 象限时，b 取得最小值，
此时MN  记为
1
1
M N  ，
其中 
1
N 为切点，
1T 为直线与y 轴的交点．
∵△O
1T 
1
N 为等要直角三角形，
∴O
1
N   =
2  ∴O
1T =2
∴b 的最小值是-2，
∴m 的最小值是-5
当直线MN 平移至与⊙O 相切时，且切点在第二象限时，               
b 取得最大值，此时MN  记为
2
2
M N  ，
其中 
2
N 为切点，
2T 为直线
2
2
M N 与y 轴的交点．
同理可得，b 的最大值为2，m 的最大值为-1.
∴m 的取值范围为-5≤m≤-1
当直线MN 为y=x+b 时， 
同理可得，m 的取值范围为1≤m≤5，
综上所述，m 的取值范围为-5≤m≤-1 或1≤m≤5.    
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18．（2023 年北京市房山区中考一模）我们规定：形如


ax
k
y
a
b
k
k
ab
x
b
+
=
¹
+
、、为常数，且
 的函数叫做“奇
特函数”.当
0
a
b
=
=
时，“奇特函数” 
ax
k
y
x
b
+
=
+
就是反比例函数


0
k
y
k
x
=
¹
.
（1） 若矩形的两边长分别是2 和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x
之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A，C 的坐标分别为（9，0）、（0，
3）．点D 是OA 的中点，连结OB，CD 交于点E，“奇特函数”
6
ax
k
y
x
+
=
-
的图象经过B，E 两点.
① 求这个“奇特函数”的解析式；
② 把反比例函数
3
y
x
=
的图象向右平移6 个单位，再向上平移  个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图
象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P，Q 两点，若以B、E、P、Q 为顶点组成
的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）
3
2
2
x
y
x
-
+
=
+
，是 “奇特函数”；（2）①
2
9
6
x
y
x
-
=
-
；②

7, 5 或
5
3, 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 或
7
15, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 或

5, 1
-
.
【来源】2023 年北京市房山区中考一模数学试卷
【详解】试题分析：（1）根据题意列式并化为
3
2
2
y
x
x
-
=
+
+
，根据定义作出判断. 
（2）①求出点B，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点
E 的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数
6
ax
k
y
x
+
=
-
即可求得这个“奇特函数”的解析式.
②根据题意可知，以B、E、P、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP，据此求出点P 的坐
标.
试题解析：（1）根据题意，得


2
3
8
x
y
+
+
= ，
∵2
0
x
+
¹
，∴ 
8
3
2
y
x
+
=
+
.∴ 
8
3
2
3
2
2
x
y
x
x
-
+
=
-
=
+
+
.
根据定义，
3
2
2
y
x
x
-
=
+
+
是 “奇特函数”.
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（2）①由题意得，


9
9,3 ,
,0
2
B
Dæ
ö
ç
÷
è
ø
.
易得直线OB 解析式为
1
3
y
x
=
，直线CD 解析式为 
2
3
3
y
x
= -
+ ，
由
1
3
{
2
3
3
y
x
y
x
=
= -
+
解得 
3
1
x
y
=
ì
í
=
î
.∴点E（3，1）.
将B（9，3），E（3，1）代入函数
6
ax
k
y
x
+
=
-
，得
9
3
9
6
{
3
1
3
6
a
k
a
k
+
=
-
+
=
-
，整理得 
9
9
{3
3
a
k
a
k
+
=
+
= - ，解得 
2
{
9
a
k
=
= - .
∴这个“奇特函数”的解析式为
2
9
6
x
y
x
-
=
-
.
②∵
2
9
6
x
y
x
-
=
-
可化为 
3
2
6
y
x
=
+
-
，
∴根据平移的性质，把反比例函数
3
y
x
=
的图象向右平移6 个单位，再向上平移2 个单位就可得到 
2
9
6
x
y
x
-
=
-
.
∴
2
9
6
x
y
x
-
=
-
关于点（6，2）对称.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE 中点M（6，2），即点M 是
2
9
6
x
y
x
-
=
-
的对称中心.
∴以B、E、P、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP.
由勾股定理得，




2
2
9
3
4
2
2 10
EB =
-
+
-
=
.
设点P 到EB 的距离为m，
∵以B、E、P、Q 为顶点组成的四边形面积为16，
∴
1
4 10
2
2 10
16
2
5
m
m
×
×
×
=
Þ
=
.
由直线OB 解析式为
1
3
y
x
=
,则向上平移8
3 单位过点P
∴点P 在平行于EB 的直线
1
8
3
3
y
x
=
±
上.
∵点P 在
2
9
6
x
y
x
-
=
-
上，
∴
1
8
3
3
{
2
9
6
y
x
x
y
x
=
+
-
=
-
或 
1
8
3
3
{
2
9
6
y
x
x
y
x
=
-
-
=
-
.
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解得
2
3
1
4
1
4
2
3
3
15
7
5
{
,{
,{
,{
5
7
5
1
3
3
x
x
x
x
y
y
y
y
= -
=
=
=
=
= -
=
=
.
∴点P 的坐标为

7,5 或
5
3, 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø或 
7
15, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø或

5, 1
-
.
（建议用时：60 分钟）
19．(22-23 九·北京师范大学实验中学·二模)在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:l y
kx
b
=
+
，给出如下定义：
若直线l 与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l 关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，
O
e
的半径为1，当
1
1
k
b
=
=
，
时，直接写出直线l 关于
O
e
的“圆截距”；
(2)点M 的坐标为( 1,0)
-
，
①如图2，若
M
e
的半径为1，当
1
b = 时，直线l 关于
M
e
的“圆截距”小于4
5
5
，求k 的取值范围；
②如图3，若
M
e
的半径为2，当k 的取值在实数范围内变化时，直线l 关于
M
e
的“圆截距”的最小值为
2 2 ，直接写出b 的值．
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【答案】(1) 2
(2)①
1
0
2
k
<
<
或
2
k >
；②
1
b = ±
【来源】北京师范大学实验中学2022-2023 学年九年级数学二模
【详解】（1）解：当
1
1
k
b
=
=
，
时，则一次函数解析式为
1
y
x
=
+ ，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为


1 0
01
，，，，
∵


1 0
01
，，，到原点的距离都为1，
∴


1 0
01
，，，都在
O
e
上，即
O
e
与一次函数的交点坐标即为


1 0
01
，，，，
∴“圆截距”
2
2
1
1
2
=
+
=
；
（2）解：①如图2-1 所示，当直线l 经过点



01
2 0
A
B -
，，
，时，
∴
2
0
1
k
b
b
-
+
=
ì
í =
î
，
∴
1
2
k =
；
∵
1
2
90
OA
OB
AOB
=
Ð
°
=
=
，
，
．
∴
2
2
5
AB
OA
OB
=
+
=
．
∴
2
cos
5
5
OA
ABO
AB
Ð
=
=
．
设AB 与
M
e
的另一个交点为C，连接OC ，可知
90
OCB
Ð
=
° ．
∴
4
cos
5
5
BC
OB
ABO
=
×
Ð
=
．即此时直线l 关于
M
e
的“圆截距”为4
5
5
．
结合图形可知
1
0
2
k
<
<
．
如图2-2 所示，当直线l 经过点


01
1
1
-
-
，，，
时，同理可得
2
k = - ．
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由对称性可知此时直线l 关于
M
e
的“圆截距”为4
5
5
．
结合图形可知
2
k >
．
综上，当
1
0
2
k
<
<
或
2
k >
时直线l 关于
M
e
的“圆截距”小于4
5
5
；
②如图所示，设直线l 与
M
e
交于B、C，与y 轴交于D，过点M 作ME
BC
^
于E，连接MB ，
∴
2
BC
BE
=
，
在RtVMBE 中，由勾股定理得
2
2
2
4
BE
BM
ME
ME
=
-
=
-
，
∴当ME 最大时，BE 最小，即此时BC 最小，
∵ME
MD
£
，
∴当点E 与点D 重合时，ME 最大，即此时BC 最小，
∵直线l 关于
M
e
的“圆截距”的最小值为2 2 ，即
2 2
BC
=
最小
，
∴
1
2
2
BD
BC
=
=
，
∴
2
2
2
MD
MB
BD
=
-
=
，
∵


0
D
b
，
，
∴
2
1
2
b
+
=
，
解得
1
b = ± ．
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20．(22-23 九下·北京首都师范大学附属中学二模·)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任
意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴
随点”．
例如：如图1，已知点


1,2
A
，

3,2
B
，


2,2
P
在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．
  
(1)如图2，已知点(
)
1,0
A
，


3,0
B
，P 是线段AB 上一点，直线EF 过


1,0
G -
，
3
0, 3
T æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
两点，当点P 是
直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；
(2)如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC
y
^
轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，
5
OC =
，点P 是
ABC
V
上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；
(3)如图4，以(
)
1,0
A
，

2,0
B
，

2,1
C
为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y
x
b
= - +
的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．
【答案】(1) 

3,0
P
(2) 2
(3) 1
1
b
- £
£ 或3
5
b
£
£
【详解】（1）解：如图所示，过点P 作PQ
EF
^
于点Q ，
  
∵(
)
1,0
A
，


3,0
B
，则
2
AB =
，点P 是直线EF 的“伴随点”时，
∴
2
PQ =
，
∵


1,0
G -
，
3
0, 3
T æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
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∴
3
1
3
OG
TO
=
=
，
，
∵
3
3
3
tan
1
3
TGO
Ð
=
=
，
∴
30
TGO
Ð
=
°，
∴
2
4
GP
PQ
=
=
，
∴

3,0
P
；
（2）解：当P 到x 轴的距离最小时，
∴点P 在线段BC 上，
设
ABC
V
的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当
C
e
与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是
直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，
    
则C 的纵坐标为a ，即CH
a
=
，
∵
ABC
V
是等边三角形，且BC
y
^
轴，设BC 交于点D ，则AD
BC
^
，
∴BD
DC
=
1
2 a
=
，
∴
1 ,
2
C
a a
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
∵
5
OC =
，
∴
2
2
1
5
2 a
a
æ
ö +
=
ç
÷
è
ø
，
解得：
2
a =
或2
- （舍去），
∴等边三角形ABC 的边长为2 ；
（3）解：由题意知，正方形ABCD 的边长为1，所以正方形ABCD 上任意两点距离的最大值为
2
2
1
1
2
+
=
,即正方形ABCD 上始终存在点P，P 到EF 的距离为2 .则EF 向上或者向下平移2 个单位长
度得到直线1l
∵1l 与EF 平行，且两直线间的距离为2 ，
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∴P 既在1l 上，又在正方形ABCD 的边上，
∴1l 与正方形ABCD 有交点.
当
1
b £ 时，1l 为
2
y
x
b
= - +
+
，
当1l 过A 时，0
1
2
b
= - +
+
，即
1
b = - ,
当1l 过C 时，1
2
2
b
= - +
+
，即
1
b = ;
∴1
1
b
- £
£ ；
当
1
b > 时，1l 为
2
y
x
b
= - +
-
，
当1l 过A 时，0
1
2
b
= - +
-
，即
3
b =
,
当1l 过C 时，1
2
2
b
= - +
-
，即
5
b =
;
∴3
5
b
£
£
；
综上，当1
1
b
- £
£ 或3
5
b
£
£
时，正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y
x
b
= - + 的“伴随
点”．