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专题05 解三角形
（新课标全国Ⅰ卷）1．已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
（新课标全国Ⅱ卷）2．记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中
点，且
．
1
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(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
.
（2）方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
2
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整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
（全国乙卷数学（文））3．在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，由于
，故
，
据此可得
，
则
.
故选：C.
（全国甲卷数学（文））4．在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
3
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则
，
，
.
（2）由三角形面积公式可得
，
则
.
（全国甲卷数学（文））5．记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，解得：
．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：
，即
，
而
，所以
，又
，所以
，
故
的面积为
．
（全国甲卷数学（理））6．在
中，
，
，D 为BC 上一点，AD 为
的平分线，则
_________．
【答案】
4
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【详解】
如图所示：记
，
方法一：由余弦定理可得，
，
因为
，解得：
，
由
可得，
，
解得：
．
故答案为：
．
方法二：由余弦定理可得，
，因为
，解得：
，
由正弦定理可得，
，解得：
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以
，即
．
故答案为：
．
（新高考天津卷）7．在
中，角
所对的边分別是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
（2）由余弦定理可得，
，即
，
5
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解得：
或
（舍去）．
（3）由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
故
．
1．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，若点M 满足
，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC 的面积
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：
，
化简得：
，又
，则
.
又
，则
，
.
因
，则
，
，
则在
MAC 中，
，解之：
.
则
，
则
MAC 中，边
对应高
，
则
MAC 面积
．
6
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2．（2023·河南开封·统考三模）已知点
是椭圆
上一点，椭圆的左、右焦点分别为
、
，且
，则
的面积为（ ）
A．6
B．12
C．
D．
【答案】C
【详解】由椭圆
，得
，
，
.
设
，
，
∴
，在
中，由余弦定理可得：
，
可得
，得
，
故
.
故选：C.
3．（2023·广西·校联考模拟预测）在
中，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，由正弦定理可得
，且
，
7
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由余弦定理可得：
.
故选：C．
4．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N 间架设一条索道．为
测量M，N 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度
，在BC 同
一水平面上选一点A，测得M 点的仰角为
，N 点的人仰角为
，以及
， 则M，N 间的距
离为（ ）
A．
B．120m
C．
D．200m
【答案】A
【详解】由题意，可得
，
且
，
在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
.
故选：A.
5．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在
中，
，
，M 点为BC 的中点，N 点在线段
AC 上且
，
.
(1)求AC；
(2)若点P 为AM 与BN 的交点，求
的余弦值.
【答案】(1)
8
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(2)
【详解】（1）在
中，
，
，
由余弦定理得
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
所以
，即
，解得
；
（2）由（1）知
，又
，所以
，
所以
，又M 点为BC 的中点，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
又
，且
，
所以
.
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）
的内角
的对边分别为
且
．
(1)判断
的形状；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
的最大值．
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形．
(2)
【详解】（1）由题意：
，
整理得
，
故
或
，
9
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因为
，所以
或
，
为直角三角形或等腰三角形．
（2）由正弦定理
得
，
∴
，又
，
，
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
令
，易知
，
∴
，
故当
时，即
取最大值，最大值为
，
综上，
最大值为
．
7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，满足
，且
．
(1)求证：
；
(2)已知
是
的平分线，若
，求线段
长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得
，即
．
所以
，
由正弦定理得
，又由余弦定理得
，
所以
，故
，
故
，整理得
．
又
为锐角三角形，则
，
，
，
所以
，因此
．
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（2）在
中，由正弦定理得
，所以
．
所以
．因为
为锐角三角形，且
，
所以
，解得
．
故
，所以
．因此线段
长度的取值范围
.
8．（2023·河南·校联考模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，点
在
边上，且
平分
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
则
，
，
又
，
，则
，
又
，所以
，
则
.
（2）由（1）知
，则
，
由
得
，
即
，
则
，即
，解得
，
11
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所以
的面积
.
9．（2023·广东东莞·校考三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，.已知
.
(1)求角
的大小；
(2)设
，
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，由正弦定理得：
，
因为
，所以
，可得
，
即
，
，又
，可得
；
（2）在
中，由余弦定理得：
，
由
，以及
，可得
，
因为
，所以A 是锐角，所以
，
因此
，
，
所以，
，
综上，
，
.
10．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知
的内角A，
，
所对的边分别为
，
，，
的最大值为
.
(1)求角
；
(2)若点
在
上，满足
，且
，
，解这个三角形.
【答案】(1)
12
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(2)
【详解】（1）由
由题意及三角函数的性质可知：
，即
，
又
，∴
；
（2）
如图所示，易得
，
∴
(负值舍去)，
由余弦定理可得：
，
，
显然：
，由勾股定理逆定理可得
.
综上
.
11．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
且
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)20
【详解】（1）
，因为
，
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所以
，解得
；
（2）在
中，由（1）可得
，
∵
，即
，
因为
，则
，
由正弦定理可得
即
，
由余弦定理得
∴
，则
，
∴三角形周长
.
12．（2023·河南驻马店·统考三模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
.
(1)求A；
(2)已知D 为边BC 上一点，
，若
，
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
,所以由正弦定理可得
,
所以
,
所以
,
所以
.
因为
,
所以
或
或
，
即
或
（舍去）或
（舍去），
又
,所以
；
（2）由题意得
,
14
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即
,
因为
,
,
所以
,所以
,即
,
由余弦定理得
,
所以
,所以
或
（舍去），
所以
的周长为
.
13．（2023·浙江·统考模拟预测）在△ABC 中，内角
的对边分别为
，
，且
___________.在①
，②
，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答
下列问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求
；
(2)若
，求.
【答案】(1)6
(2)
【详解】（1）由已知
，
选择条件①
，所以
，
∴
，
∵
∴
，
所以
；
选择条件②
因为
，∵
，
∵
，
15
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所以
，即
，
又
，所以
，又
，
∴
为锐角，
∵
.
∵
，
所以
，所以
；
（2）∵
（
为
的外接圆直径）
∴
，
所以
，
所以
，
所以
，
∴
14．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，点
在
边上，且
，
，求
的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）解：由
，可得
，
所以
，
因为
，可得
，即
，
又由正弦、余弦定理得
，可得
，
可得
.
（2）解：因为
，由（1）知
，可得
，
由余弦定理得
，
16
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又因为
，可得
，
又由
，所以
，可得
，
因为
，整理得
，解得
，
所以
，可得
，
所以
的周长为
.
15．（2023·青海海东·统考模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的值；
(2)若
，求
边上的中线
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
，
，又
，
.
（2）由余弦定理得：
（当其仅当
时取等号），
，
，
，
，
，即
的最大值为
.
16．（2023·福建厦门·统考模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)点
在线段
上，
，求
的面积．
【答案】(1)
；
17
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(2)
.
【详解】（1）由正弦定理得：
．
所以
所以
．
所以
，
因为
，所以
；
（2）法1；因为
，即
，
又
，
所以
，即
．
在
中，由余弦定理得，
，所以
，所以
，
所以
.
法2：
设
，在
中，由正弦定理得：
，
同理，在
中，
，
所以
，
所以
，所以
，又
，
所以
，即
.
在
中，由余弦定理得，
得
，所以
.
所以
.
18
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17．（2023·山东烟台·统考三模）在
中，
为
中点，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，
，
由余弦定理可知
，
因为
，所以
，
所以
;
（2）在
中，设
,
则由正弦定理
，
即
，得
，所以
，
，
所以
，
所以
，
由正弦定理得：
，即
．
18．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，已
知
．
19
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(1)求角
；
(2)若
为边
上一点（不包含端点），且满足
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由
结合正弦定理可得：
，则
，
因为
、
，则
，所以，
，
可得
，故
.
（2）解：由
可得
，所以，
，
所以，
，故
，
在
中，
，
，
由正弦定理可得
，
所以，
，
因为
，则
，所以，
.
所以，
的取值范围是
.
19．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，且
，则当边取得最大值时，
的周长为________.
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【答案】
/
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，
因为
、
，所以，
，则
，故
，
由正弦定理可得
，
整理可得
，
因为
，当
时，取最大值，且的最大值为
，
此时，
，
，所以，
，
因此，当边取得最大值时，
的周长为
.
故答案为：
.
20．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，且
为正
数，
，
为
边上的中线，
，则
的取值范围是__________.
【答案】
【详解】依题意得，
，
为正数.
又
中，
为
边上的中线，
，
所以
，两边平方得
，
则
，故
①，
设
，代入①得
，
整理得
②，此方程至少有1 个正根，
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首先
，解得
③，
对于方程②：
若对称秞
，则方程②至少1 个正根，符合题意；
若对称轴
，要使方程②至少有一个正根，则需
，解得
；
在三角形
中，由余弦定理得
恒成立，
所以
，则
恒成立，
由于
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，结合③可得
.
综上所述，也即
的取值范围是
.
故答案为：
.
22
