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八年级数学上学期第一次月考·培优卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一.选择题(共10 小题,满分30 分,每小题3 分)
1.(3 分)如图,��= ��,∠1 = ∠2,请问添加下面哪个条件不能判断△���≌△���的是(
)
A.∠�= ∠�
B.∠���= ∠���
C.��= ��
D.��= ��
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、HL.注意:
AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,
角必须是两边的夹角.本题要判定△���≌△���,已知��= ��,∠1 = ∠2,则∠���= ∠���,具备了
一组边一个角对应相等,对选项一一分析,选出正确答案.
【详解】解:∵∠1 = ∠2,
∴∠1 + ∠���= ∠2 + ∠���,即∠���= ∠���.
A、添加∠�= ∠�,可根据ASA 判定△���≌△���,故正确,不符合题意;
B、添加∠���= ∠���,可根据ASA 判定△���≌△���,故正确,不符合题意;
C、添加��= ��,可根据SAS 判定△���≌△���,故正确,不符合题意;
D、添加��= ��,SSA 不能判定△���≌△���,故错误,符合题意.
故选:D.
2.(3 分)下列四个图形中,线段��是△���的高的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】此题考查了三角形的高,解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线,垂足与顶点之间的
线段叫作三角形的高.
利用三角形高的定义即可求解.
【详解】解:线段��是△���的高的是选项A 中的图形;
故选:A.
3.(3 分)如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,∠C=2∠CDB,AB=12,CD=3,则△ABC 的周长为
(
)
A.21
B.24
C.27
D.30
【答案】C
【分析】根据题意在AB 上截取BE=BC,由“SAS”可证△CBD≌△EBD,可得∠CDB=∠BDE,∠C=∠DEB,
可证∠ADE=∠AED,可得AD=AE,进而即可求解.
【详解】解:如图,在AB 上截取BE=BC,连接DE,
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△CBD 和△EBD 中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△CBD≌△EBD(SAS),
∴∠CDB=∠BDE,∠C=∠DEB,
∵∠C=2∠CDB,
∴∠CDE=∠DEB,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE,
∴△ABC 的周长=AD+AE+BE+BC+CD=AB+AB+CD=27,
故选:C.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质,注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角
形是解题的关键.
4.(3 分)如图在四边形����中,∠���和∠���都是直角,且��= ��.现将△���沿��翻折,点�的对
应点为�′,��′与��边相交于�点,恰好��′是∠���的角平分线,若��= 1,则��的长为(
)
A.1.5
B.2
C.2
D.3
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义,全等三角形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的性质
和折叠的性质是解决问题的关键.延长��′和��相交于点�,根据翻折的性质可以证明△��′�≌△��′�,可
得��= 2,再证明△���≌△���,可得��= ��= 2.
【详解】解:如图,延长��'和��相交于点�,
由翻折可知:∠��'�= ∠�= 90°,��' = ��= 1,
∵��'是∠���的角平分线,
∴∠���' = ∠���',
∵��' = ��',
∴△��'�≌△��'�(ASA),
∴�'�= ��' = 1,
∴��= 2,
∵∠���+ ∠�= 90°,∠���+ ∠�= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���= 90°,��= ��,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��= 2.
故选:C.
5.(3 分)(24-25 七年级下·广东深圳·期末)如图,Rt △���中,∠���= 90°,��= ��,�为平面上一
点,连接��,点�为��中点,连接��,��,��,��,��= ��,且∠���= 90°,若��= 6,则△���
的面积为(
)
A.3
B.2
C.
9
2
D.
9
4
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质.证明△���≌△���,可得��=
��, ∠���= ∠���,再结合等腰直角三角形的性质,可得∠���= ∠���−∠���= 90°,即可求解.
【详解】解:∵∠���= 90°,∠���= 90°,
∴∠���−∠���= ∠���−∠���,
∴∠���= ∠���,
∵��= ��,��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��, ∠���= ∠���,
∵��= ��,且∠���= 90°,
∴∠���= ∠���= 45°,
∴∠���= ∠���= 135°,
∴∠���= ∠���−∠���= 90°,
∵点�为��中点,��= 6,
∴��=
1
2 ��= 3,
∴△���的面积为
1
2 ��× ��=
1
2 × 3 × 3 =
9
2.
故选:C
6.(3 分)(2025·湖南长沙·三模)在下列各组线段中,能组成三角形的是(
)
A.1、6、6
B.2、3、5
C.2,6,9
D.5、3、10
【答案】A
【分析】此题考查组成三角形的条件:较短两条线段的和大于较长线段,据此依次判断即可.
【详解】解:A.由1 + 6 > 6,则三条线段能组成三角形,符合题意;
B.由2 + 3 = 5,则三条线段不能组成三角形,不符合题意;
C.由2 + 6 < 9,则三条线段不能组成三角形,不符合题意;
D.由5 + 3 < 10,则三条线段不能组成三角形,不符合题意;
故选:A.
7.(3 分)(24-25 七年级下·江苏南京·期末)如图,△���中,��平分∠���,点�在��上,��= ��,若
要求∠���的度数,则只需知道(
)
A.∠���的度数
B.∠���的度数
C.∠���的度数
D.∠���的度数
【答案】B
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质,理解等腰三角形的性质,熟练掌握
三角形的内角和定理,三角形的外角性质是解决问题的关键.
在��上截取��= ��,连接��,设∠���= �,∠���= �,证明△���和△���
��= ��= ��,则∠���= 2�,∠���= ∠���,由三角形外角性质得∠���= �+ �,则∠���= 180° −
2�−2�,进而得∠���= ∠���+ ∠���= 180° −2�,由此得∠���= 90° −
1
2 ∠���,据此即可得出答案.
【详解】解:在��上截取��= ��,连接��,如图所示:
设∠���= �,∠���= �,
∵��平分∠���,
∴∠���= ∠���= �,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(SAS),
∴∠���= ∠���= �,��= ��,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 2�,
∵��= ��,
∴��= ��,
∴∠���= ∠���
∵∠���是△���的外角,
∴∠���= ∠���+ ∠���= �+ �,
∴∠���= ∠���= �+ �,
在△���中,∠���= 180° −(∠���+ ∠���) = 180° −2�−2�,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 180° −2�−2�+ 2�= 180° −2�,
∴�= 90° −
1
2 ∠���,
即∠���= 90° −
1
2 ∠���,
∴要求∠���的度数,则只需知道∠���的度数即可.
故选:B.
8.(3 分)(25-26 八年级上·全国·单元测试)如图,在△���中,��> ��, �是��边上的中点,��= 10,
△���与△���的周长之差为2,则��的长为(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】C
【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差,根据图中信息找到线段的关系是解题的关键.
根据中点的定义得出��= ��,再根据线段的和差即可得出��−��= 2,从而得出答案.
【详解】解:∵�是��边上的中点,
∴��= ��,
∵△���与△���的周长之差为2,
∴��+ ��+ ��−��+ ��+ ��= 2,
即��+ ��+ ��−��−��−��= 2,
∴��−��= 2,
∵��= 10,
∴��= ��−2 = 10 −2 = 8,
故选C.
9.(3 分)(24-25 八年级上·全国·期末)如图,△���中,∠�= 20°,沿��将此三角形对折,又沿��′再
一次对折,点�落在��上的�′处,此时∠�′��= 27°,则原三角形的∠�的度数为(
)
A.27°
B.59°
C.79°
D.69°
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质,三角形内角和定理,由折叠的性质可知∠���=
∠�′��= 27°,求出∠���= 81°,然后通过三角形内角和定理即可求解,掌握知
【详解】解:由折叠的性质可知∠���= ∠�′��= 27°,∠���= ∠�′��= 27°,
∴∠���= ∠���+ ∠�′��+ ∠���= 27° + 27° + 27° = 81°.
在△���中,∠�= 20°,∠���= 81°,
∴∠�= 180° −∠�−∠���= 180° −20° −81° = 79°.
故选:C.
10.
(3 分)
(24-25 八年级上·山东日照·阶段练习)如图,在△���中,∠���= 90°,��= 6,��= 8,��= 10,
��是高,��是中线,��是角平分线,��交��于点�,交��于点�,下面说法正确的是(
)
①△���的周长−△���的周长= 4;②△���的面积=△���的面积;③∠���= ∠���;④∠���=
2∠���;⑤��= 2.4.
A.①③⑤
B.②③④⑤
C.①③④⑤
D.①③④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算,同时还考查了等积法.
解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用.
【详解】①∵��是△���的中线,
∴��= ��,
∵△���的周长= ��+ ��+ ��,
△���的周长= ��+ ��+ ��,
∴△���的周长−△���的周长= ��−��= 10 −6 = 4,
故①说法正确;
②在△���中,∠���= 90°,
∴��⊥��,
∴�△���=
1
2 × ��× ��,
�△���=
1
2 × ��× ��,
又∵��= 6,��= 8,��= 10,��是角平分线,
∴��≠��,
∴�△���≠�△���,
故②说法不正确;
③∵∠���= 90°,��是△���的高,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∠���+ ∠���= 90°,
∵��是△���的角平分线,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
故③说法正确;
④∵∠���= 90°,��是△���的高,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵��是△���的角平分线,
∴∠���= 2∠���,
∴∠���= 2∠���,
故④说法正确;
⑤∵��= 6,��= 8,��= 10,∠���= 90°,��是△���的高,
∴�△���=
1
2 × ��× ��=
1
2 × ��× ��,
∴
1
2 × 6 × 8 =
1
2 × ��× 10,
∴��= 4.8,
故⑤说法错误.
∴①③④说法正确.
故选:D.
二.填空题(共6 小题,满分18 分,每小题3 分)
11.(3 分)(24-25 八年级上·福建莆田·期中)如图,一扇窗户打开后,用窗钩��可将其固定,这里运用
的几何原理是
.
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题主要考查三角形的稳定性,熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键.根据题意即可得到答案.
【详解】解:一扇窗户打开后,用窗钩��可将其固定,这里运用的几何原理是三角形的稳定性.
故答案为:三角形的稳定性.
12.(3 分)如图中每个小方格的面积都是1 平方厘米,阴影部分的面积是
.
【答案】5.5 平方厘米
【分析】本题主要考查了三角形的面积,根据提题意得图中每个小方格的边长都是1 厘米,先求出�△���= 4,
�△���= 3,�△���= 2,�△���= 2.5,�长方形����= 12,�长方形����= 6,由此即可得出阴影部分的面积.
【详解】解:如图所示,
∵图中每个小方格的面积都是1 平方厘米,
∴图中每个小方格的边长都是1 厘米,
∴�△���=
1
2 × 2 × 4 = 4,�△���=
1
2 × 2 × 3 = 3,�△���=
1
2 × 1 × 4 = 2,�△���
�长方形����= 2 × 6 = 12,�长方形����= 2 × 3 = 6,
∴�阴影= 12 + 6 −4 −3 −2 −2.5 −1 = 5.5(平方厘米).
故答案为:5.5 平方厘米.
13.(3 分)在△���中,��是∠���的平分线,且��= ��+ ��,若∠���= 81°,则∠���的大小为
.
【答案】33°
【分析】可在AB 上截取AE=AC,先根据SAS 证明△AED≌△ACD,可得DE=DC,然后根据全等三角形的
性质、题中条件可得BE=ED,进而可得∠C=∠AED=2∠B,而由三角形的内角和易求得∠B+∠C 的度数,
进一步即可求出答案.
【详解】解:如图,在AB 上截取AE=AC,
在△AED 和△ACD 中,
∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴DE=DC,∠C=∠AED,
∵AB=AC+CD,AB=AE+EB,
∴CD=BE,
∴BE=ED,
∴∠EDB=∠B,
∴∠C=∠AED=2∠B,
又∵∠B+∠C=180°﹣∠BAC=99°,
∴∠B=33°.
故答案为:33°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角
性质等知识,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.
14.(3 分)(25-26 八年级上·全国·单元测试)如图,在△���中,�, �分别是��, ��的中点,连接��, ��
交于点�.若四边形����的面积为5,则△���的面积为
.
【答案】15
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质,熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键.
连接��,利用�、�是中点的性质,得出多组等面积三角形,通过面积的等量代换,结合四边形����的面
积,推导出△���的面积.
【详解】解:如图所示,连接��,
∵�,�分别是��,��的中点,
∴��= ��,��= ��,
∴�△���= �△���,�△���= �△���,�△���= �△���,�△����= �△���,
∴�△���−�△���= �△���−�△���,�△���−�△���= �△���−�△���,
∴�△���= �△���= �△���,
∵四边形����的面积为5,
∴
1
2 �△���+
1
2 �△���= 5,
∴�△���+ �△���= 10,
∴�△���= �△���= �△���= 5,
∴�△���= �△���+ �△���+ �△���= 15.
故答案为:15.
15.(3 分)(24-25 八年级上·广东东莞·期末)如图,�是△���中∠���的平分线与外角∠���的平分线的
交点.若∠�= 60°,则∠���的大小为
.
【答案】30°/30 度
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质,熟练掌握三角形的外角性质是解题关键.先根据
角平分线的定义可得∠���=
1
2 ∠���,∠���=
1
2 ∠���,再根据三角形的外角性质可得∠���−∠���=
60°,然后根据三角形的外角性质求解即可得.
【详解】解:∵�是△���中∠���的平分线与外角∠���的平分线的交点,
∴∠���=
1
2 ∠���,∠���=
1
2 ∠���,
∵∠�+ ∠���= ∠���,∠�= 60°,
∴∠���−∠���= 60°,
∵∠���+ ∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���−∠���
= 1
2 ∠���−1
2 ∠���
= 1
2 ∠���−∠���
= 1
2 × 60°
= 30°,
故答案为:30°.
16.(3 分)(24-25 九年级下·重庆沙坪坝·期末)在Rt △���中,∠���= 90°
与线段��延长线上的点�重合,折痕分别与��边交于点�,与��边交于点�,连接
3��,且��= 1,则��边的长度为
.
【答案】3
【分析】本题考查折叠的性质,等腰三角形,全等三角形,掌握折叠轴对称的性质、等腰三角形的性质以及
全等三角形的性质是解决问题的关键.
过点�作��⊥��,根据直角三角形两锐角互余可得出三角形���是等腰三角形,进而得出��= ��,由
��= 3��,得出��= ��= ��,再根据��∥��,利用全等三角形的性质可得��= ��= 2,��= 1,从
而可求��= 3.
【详解】解:过点�作��⊥��于点�,
∵∠���= 90°,
∴∠�+ ∠�= 90°,
由折叠得,��= ��,∠�= ∠�,
又∵∠�+ ∠���= 90°,∠���= ∠���,
∴∠�= ∠���,
∴��= ��,
∵��⊥��,
∴��= ��,
又∵��= 3��,
∴��= ��= ��,
∵��∥��,
∴∠���= ∠���= 90°,∠���= ∠���
在△���和△���中,
∠���= ∠���
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��= 1 = ��,
∴��= ��= 2��= 2,
∴��= ��+ ��= 3,
故答案为3.
第Ⅱ卷
三.解答题(共8 小题,满分72 分)
17.(6 分)如图,四边形����中,��= ��,��= ��,E、F 分别为��、��的中点,连接��、��.
(1)∠�与∠�相等吗?请说明理由;
(2)求证:��= ��.
【答案】(1)∠�与∠�相等,理由见解析;
(2)证明见解析.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质,以及线段中点定义,
(1)在△���和△���中,利用SSS 即可证明△���≌△���,则∠�= ∠�;
(2)根据题意得��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,则��= ��,结合(1)得∠���= ∠���,即可证明△���≌△���,
有��= ��.
【详解】(1)解:∠�与∠�相等,
理由如下:连接��,
在△���和△���中,
��= ��
��= ��
��= ��
,
免
∴△���≌△���SSS ,
∴∠�= ∠�;
(2)证明:∵点E 与F 分别是��、��的中点,
∴��=
1
2 ��,��=
1
2 ��,
∵��= ��,
∴��= ��,
∵△���≌△���,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��.
18.(6 分)(24-25 八年级上·全国·期末)如图,在△���中,��平分∠���交��于点�,过点�作��∥��,
且交��的延长线于点�,点�在��的延长线上,且∠�= ∠�.
(1)求证:��∥��;
(2)若∠���= 50°,∠���= 2∠���,求∠���的度数.
【答案】(1)证明见解析
(2)75°
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义,三角形的内角和定理,
(1)由平行线的性质可得∠�= ∠���,由角平分线的定义可得∠���= ∠���,
到∠���= ∠�,据此即可求证;
(2)由平行线的性质可得∠���= ∠���= 50°,进而得到∠���= 25°,再根据
【详解】(1)证明:∵��∥��,
免
∴∠�= ∠���,
∵��平分∠���交��于点�,
∴∠���= ∠���=
1
2 ∠���,
∴∠�= ∠���,
∵∠�= ∠�,
∴∠���= ∠�,
∴��∥��;
(2)∵��∥��,
∴∠���= ∠���= 50°,
∵∠���= 2∠���,
∴∠���= 25°,
∵∠���是△���的一个外角,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 25° + 50° = 75°.
19.(8 分)(24-25 七年级下·福建泉州·期末)如图,在△���中,∠���= 24°,∠���= 54°,将△���
绕点�逆时针旋转得到△���,点�,�的对应点分别为�,�,连接��.
(1)求证:��+ ��> ��;
(2)当点�,�,�在同一条直线上时,求∠���的度数.
【答案】(1)证明见解析
(2)80°
【分析】(1)由旋转的性质得��= ��,再根据三角形三边关系即可求证;
(2)由旋转可得∠�= ∠���= 24° ∠���= ∠���,��= ��,即得∠���= ∠��
∠���,又可得∠���= ∠���+ 54°,利用三角形内角和定理求出∠���即可求解
本题考查了旋转的性质,三角形三边关系,等腰三角形的性质等,掌握旋转的性
【详解】(1)证明:由旋转可得,��= ��,
免
∵��+ ��> ��,
∴��+ ��> ��;
(2)解:由旋转可得,∠�= ∠���= 24° ∠���= ∠���,��= ��,
∵点�,�,�在同一条直线上,
∴∠���= ∠���= ∠�+ ∠���= 24° + ∠���,
∵∠���= 54°,
∴∠���= ∠���+ 54°,
∵∠���+ ∠���+ ∠���= 180°,
∴24° + ∠���+ 24° + ∠���+ ∠���+ 54° = 180°,
解得∠���= 26°,
∴∠���= 26° + 54° = 80°.
20.(8 分)(24-25 八年级上·安徽池州·期末)【问题提出】
数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在△���中,��= 8,��= 6,D 是��的中
点,求��边上的中线��的取值范围.
【问题探究】
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长��到E,使��= ��,请补充完整证明“△���≌△
���”的推理过程.
(1)试说明:△���≌△���.
解:延长��到点E,使��= ��,
∵D 是��的中点(已知),
∴��= ��(中点定义),
在△���和△���中,
免
∵
��= ��
∠���= ∠���_____
��= ��
,
∴△���≌△���(__________).
(2)探究得出��的取值范围是__________;
【问题解决】
(3)如图2,△���中,∠�= 90°,��= 3,��是△���的中线,��⊥��,��= 6,且∠���= 90°,求��
的长.
【答案】(1)对顶角相等;SAS;(2)1 < ��< 7;(3)��= 9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质,解题的关键是
通过“倍长中线”法构造全等三角形,将分散的线段和角的关系集中,进而解决问题.
(1)根据中点定义得到��= ��,结合对顶角相等的性质,利用SAS 判定定理证明△���≌△���;
(2)由全等三角形性质得��= ��,再根据三角形三边关系求出��的取值范围,进而得到��的取值范围;
(3)延长��交��延长线于F,利用ASA 证明△���≌△���,得出��= ��、��= ��,结合∠���= 90°
得��= ��,最后计算��长度即得��的长.
【详解】(1)解:延长��到点E,使��= ��,
∵D 是��的中点(已知),
∴��= ��(中点定义),
在△���和△���中,
∵
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,(对顶角相等)
∴△���≌△���SAS
¯
;
故答案为:对顶角相等;SAS.
(2)由题意可得:��= ��= 6,
∵8 −6 < ��< 8 + 6,
即2 < 2��< 14,
∴1 < ��< 7.
故答案为:1 < ��< 7.
(3)延长��交��的延长线于点F,如图:
免
∵∠�= 90°,��⊥��,
∴∠���= ∠���
在△���和△���中.
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���
∴△���≌△���(ASA),
∴��= ��= 3,��= ��,
∵∠���= 90°,
∴��垂直平分��
∴��= ��,
∴��= ��+ ��= 6 + 3 = 9.
21.(10 分)(24-25 七年级上·山东东营·期中)如图,在△���中,��是△���的角平分线,点�在边��
上(不与点�,�重合),��与��交于点�.
(1)若��是中线,��= 7,��= 5,则△���与△���的周长差为_____;
(2)若∠�= 80°,��是角平分线,求∠���=_____;
(3)若∠���= 62°,��是高,求∠���的度数.
【答案】(1)2
(2)130°
(3)121°
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高,熟记它们的概念是解题的
(1)根据三角形的中线的概念得到��= ��,再根据三角形周长公式计算;
免
(2)根据三角形内角和定理得到∠���+ ∠���= 100°,再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算;
(3)根据直角三角形的性质求出∠���,再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算.
【详解】(1)解:∵��是��的中线,
∴��= ��,
∵��= 7,��= 5,
∴△���与△���的周长差为:(��+ ��+ ��) −(��+ ��+ ��) = ��−��= 2,
故答案为:2;
(2)解:∵∠�= 80°,
∴∠���+ ∠���= 180° −80° = 100°,
∵��是△���的角平分线,��是角平分线,
∴∠���=
1
2 ∠���,∠���=
1
2 ∠���,
∴∠���+ ∠���=
1
2 (∠���+ ∠���) = 50°,
∴∠���= 180° −50° = 130°,
故答案为:130°;
(3)解:∵��是高,
∴∠���= 90°,
∵∠���= 62°,
∴∠���= 90° −62° = 28°,
∵��平分∠���,
∴∠���=
1
2 ∠���=
1
2 × 62° = 31°,
在△���中,∠���= 180° −28° −31° = 121°.
22.
(10 分)如图,以△���的边��、��分别向外作等腰直角△���与等腰直角△���,∠���= ∠���= 90°,
连接��和��相交于点O,��交��于点F,��交��于点G.
免
(1)试说明:△���≌△���;
(2)试说明:��⊥��;
(3)试说明:点A 到边��,��所在直线的距离相等.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到��= ��,��= ��,∠���= ∠���= 90°,进一步利用SAS 证
明即可;
(2)根据全等三角形的性质得到��= ��,∠���= ∠���,利用三角形内角和以及对顶角相等得到∠���+
∠���= 90°,可得∠���= ∠���= 90°,即可证明;
(3)设点A 到边��,��所在直线的距离分别为�1,�2,根据全等三角形的性质可得�△���= �△���,利用
三角形面积公式可得�1 = �2,即可证明.
【详解】(1)解:证明:∵△���和△���都是等腰直角三角形,
∴��= ��,��= ��,
又∵∠���= ∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���,
即∠���= ∠���,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ;
(2)∵△���≌△���,
∴��= ��,∠���= ∠���,
免
又∵∠���= ∠���,∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���= 90°,
即��⊥��.
(3)设点A 到边��,��所在直线的距离分别为�1,�2,
∵△���≌△���,
∴�△���= �△���,
即
1
2 × ��× �1 =
1
2 × ��× �2,
∵��= ��,
∴�1 = �2,即点A 到边��,��所在直线的距离相等.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形的面积,熟练掌握全等三角形的
判定与性质是解本题的关键.
23.(12 分)如图,等边三角形纸片���中,点�在边��(不包含端点�,�)上运动,连接��,将∠���
对折,点�落在直线��上的点�′处,得到折痕��;将∠���对折,点�落在直线��上的点�′处,得到折痕��.
(1)若∠���= 70°,求∠���的度数;
(2)试问:∠���的大小是否会随着点�的运动而变化?若不变,求出∠���的度数;若变化,请说明理由.
【答案】(1)∠���= 55°
(2)不变,∠���= 90°
【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题,解题的关键是熟练掌握折叠的性质,数形结合.
(1)根据折叠得出∠���= ∠�′��,∠���= ∠�′��,根据∠���= 70°,求出∠���
70° = 110°,即可求出结果;
(2)根据∠�′��=
1
2 ∠���,∠�′��=
1
2 ∠���,得出∠���=
1
2 ∠���+ ∠���=
结论.
免
【详解】(1)解:∵将∠���对折,得到折痕��,
∴∠���= ∠�′��,
∵将∠���对折,得到折痕��,
∴∠���= ∠�′��,
∵∠���= 70°,
∴∠���= 180° −∠���= 180° −70° = 110°,
∴∠���=
1
2 ∠���=
1
2 × 110° = 55°.
(2)解:不变.理由如下:
∵∠���+ ∠���= 180°,∠�′��=
1
2 ∠���,∠�′��=
1
2 ∠���,
∴∠�′��+ ∠�′��=
1
2 ∠���+
1
2 ∠���,
即∠���=
1
2 ∠���+ ∠���=
1
2 × 180° = 90°.
∴∠���的大小不随点�的运动而变化.
24.(12 分)如图,在△���中,点�在��上,过点�作��∥��,交��于点�,��平分∠���,交∠���
的平分线于点�,��与��相交于点�,∠���的平分线��与��相交于点�.
(1)若∠�= 40°,∠�= 60°,则∠���= °,∠�= °;
(2)若∠�= �,当∠�的度数发生变化时,∠���、∠�的度数是否发生变化?若要变化,说明理由;若不变化,
求出∠���、∠�的度数(用�的代数式表示);
(3)若△���中存在一个内角等于另一个内角的三倍,请求出∠�的度数.
【答案】(1)110;20
(2)90° +
1
2 �;
�
2
(3)∠�= 45°或60°或120°或135°
免
【分析】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,三角形内角和定理等知识.利用数形结合和分类讨论的
思想是解题关键.
(1)由平行线的性质,角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解;
(2)同理由平行线的性质,角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解;
(3)设∠�= �,由(2)可知∠���= 90° −
1
2 �,∠�=
1
2 �.再由∠���= 90°不变,即可分类讨论①当∠���=
3∠���时,②当∠���= 3∠�时,③当∠���= 3∠�时和④当3∠���= ∠�时,分别列出关于�的等式,
解出�即可.
【详解】(1)解:∵∠�= 40°,∠�=60°,
∴∠���= 180° −∠�−∠�= 80°.
∵��平分∠���,
∴∠���= ∠���=
1
2 ∠���= 40°.
∵��∥��,
∴∠���= ∠�= 60°,∠���= ∠���= 40°.
∵��平分∠���,
∴∠���=
1
2 ∠���= 30°.
∴∠���= 180° −∠���−∠���= 110°;
∴∠���= 180° −110° = 70°.
∵��平分∠���,��平分∠���,
∴∠���=
1
2 ∠���,∠���=
1
2 ∠���.
∵∠���+ ∠���= 180°,
∴∠���+ ∠���= 90°,即∠���= 90°,
∴∠�= 90° −∠���= 20°.
故答案为:110,20;
(2)解:∵∠�= �,
∴∠���+ ∠�= 180° −�.
∵��∥��,
∴∠���= ∠�,∠���= ∠���.
∵��平分∠���,��平分∠���,
免费
∴∠���=
1
2 ∠���=
1
2 ∠�,∠���=
1
2 ∠���= ∠���.
∴∠���= 180° −∠���+ ∠���
= 180° −1
2 ∠�+ ∠���
= 180° −1
2 × 180 −�°
= 90° +
1
2 �.
∴∠���= 180° −90° +
1
2 �= 90° −
1
2 �.
由(1)可知∠���= 90°不变,
∴∠�= 90° −∠���= 90° −90° −
1
2 �=
1
2 �.
(3)解:设∠�= �,
由(2)可知∠���= 90° −
1
2 �,∠�=
1
2 �.
∵∠���= 90°,
∴可分类讨论:①当∠���= 3∠���时,
∴90° −
1
2 �=
1
3 × 90°,
解得:�= 120°,
∴∠�= 120°;
②当∠���= 3∠�时,
∴
1
2 �=
1
3 × 90°,
解得:�= 60°,
∴∠�= 60°;
③当∠���= 3∠�时,
∴90° −
1
2 �= 3 ×
1
2 �,
解得:�= 45°,
∴∠�= 45°;
④当3∠���= ∠�时,
∴3 × 90° −
1
2 �=
1
2 �,
免费
解得:�= 135°,
∴∠�= 135°.
综上可知∠�= 45°或60°或120°或135°.
免费